Matematica-Domanda olimpiadi di Matematica
Allora, io sono dubbioso su un quesito delle olimpiadi di Matematica! Il quesito è il seguente:
L'età di Angelo è 8 volte la somma delle sue cifre aumentata di 1. Qual è l'età di Angelo?
Io ho impostato in questo modo:
indico con x ed y rispettivamente le 2 cifre ed ottengo:
Io ho scritto 41 anni alla fine perchè 4+1=5*8=40+1=41, in pratica perchè il risultato è uguale al numero stesso... mi spiego meglio:
Se abbiamo 51 la sua somma è 5+1=6 dove 6*8=48+1=49...51 è diverso da 41. Invece:
Se abbiamo 41 la sua somma è 4+1=5 dove 5*8=40+1=41 e 41 è uguale a 41
Secondo voi?
L'età di Angelo è 8 volte la somma delle sue cifre aumentata di 1. Qual è l'età di Angelo?
Io ho impostato in questo modo:
indico con x ed y rispettivamente le 2 cifre ed ottengo:
[math]8(x+y)-->8[(x+1)+(y+1)][/math]
Io ho scritto 41 anni alla fine perchè 4+1=5*8=40+1=41, in pratica perchè il risultato è uguale al numero stesso... mi spiego meglio:
Se abbiamo 51 la sua somma è 5+1=6 dove 6*8=48+1=49...51 è diverso da 41. Invece:
Se abbiamo 41 la sua somma è 4+1=5 dove 5*8=40+1=41 e 41 è uguale a 41
Secondo voi?
Risposte
Ciao! Bada bene che l'età di una persona (mediamente) è scrivibile come
[math]10d + u[/math]
dove [math]d[/math]
rappresenta la cifra delle decine mentre [math]u[/math]
quella delle unità. Dunque, traducendo in "matematichese" il testo del problema si ha [math]10d+u=8\left(\left(d+u\right)+1\right)[/math]
, dalla quale si ottiene [math]d = \frac{7}{2}u + 4[/math]
. A questo punto non credo sia difficile capire che l'unica età che soddisfa quell'equazione è [math]40 \, anni[/math]
in quanto occorre tenere ben presente che [math]u[/math]
e [math]d[/math]
sono due numeri naturali, entrambi compresi tra [math]0[/math]
e [math]9[/math]
. Spero sia un po' più chiaro ;)
la tua risposta è ovviamente giusta ma l'equazione da impostare è un'altra
detta x la cifra delle decine ed y quella delle unità si ha
10x+y=8(x+y)+1 cioè
2x-7y=1
non è difficile vedere che l'unica coppia di numeri naturali
detta x la cifra delle decine ed y quella delle unità si ha
10x+y=8(x+y)+1 cioè
2x-7y=1
non è difficile vedere che l'unica coppia di numeri naturali
Io vorrei sapere perchè all'inizio avete scritto:
10x+y oppure 10d+u, perchè bisogna porre 10?
10x+y oppure 10d+u, perchè bisogna porre 10?
Il motivo è perché usualmente contiamo nel sistema numerico decimale. Quindi un numero con "2 cifre" è scrivibile come dieci volte la cifra delle decine più quella delle unità. Un numero con "3 cifre", d'altro canto, è scrivibile come cento volte la cifra delle centinaia più dieci volte quella delle decine più quella delle unità. E così via :)
perché x è la cifra delle decine
ad esempio 83=8*10+3
Aggiunto 12 minuti più tardi:
comunque la risposta giusta è 41 non 40
se diciamo 8 volte una quantità z aumentata di 1 intendiamo 8z+1
qundi,ribadisco,l'equazione da impostare è
10x+y=8(x+y)+1
ad esempio 83=8*10+3
Aggiunto 12 minuti più tardi:
comunque la risposta giusta è 41 non 40
se diciamo 8 volte una quantità z aumentata di 1 intendiamo 8z+1
qundi,ribadisco,l'equazione da impostare è
10x+y=8(x+y)+1
Lascio in sospeso questo post, ne parlo domani anche con la professoressa e v faccio sapere ;)
che non farà che confermarti quanto ho detto
10x+y=8(x+y)+1
10x+y=8x+8y+1
10x-8x+y-8y=1
2x-7y=1
Da qui come continuo?
10x+y=8x+8y+1
10x-8x+y-8y=1
2x-7y=1
Da qui come continuo?
ciao anthrax
leggi il mio primo post
leggi il mio primo post
Eh l'ho visto! Ma come faccio a capire che sono 4 e 1
a tentativi:è l'unico modo,ma si fa anche molto rapidamente
Cioè tu dici che sostituendo x ed y con:
x=4
y=1
Si ottiene: 2x-7y=1-->8-7=1-->1=1
x=4
y=1
Si ottiene: 2x-7y=1-->8-7=1-->1=1
esatto,e questa è l'unica coppia di numeri naturali minori di 10 che verifica l'equazione
Si potrebbe anche eseguire impostando un sistema?
no,perchè,come vedi,in nessun modo si può impostare un'altra equazione oltre a quella che abbiamo ricavato
quindi,la soluzione è empirica
quindi,la soluzione è empirica
Si, ma a livello di disequazioni.
Sappiamo che sia x che y devono essere interi positivi minori di 9, ora possiamo scrivere due sistemi di disequazioni, una rispetto a x e una rispetto a y partendo dall'equazione data da rino6999:
2x - 7y = 1
Iniziamo a scriverla rispetto a x:
ora impostiamo che tutto ciò che si trova a destra dell'uguale sia minore o uguale a 9 e, contemporaneamente maggiore di 0, e risolviamo il sistema:
si ricava che:
Quindi y dovrà essere un intero maggiore o uguale a 0 (abbiamo escluso -1/7 perchè non ha significato come valore per noi) e minore o uguale a 17/7 ovvero minore di 2.
Abbiamo, cioè tre soli valori possibili:
y = 0, y = 1 e y = 2
Calcoliamo allora il relativo valore di x per questi tre valori di y e vediamo quale risultato rispetta le nostre condizioni:
Visto che i due valori da assegnare a x e y devono essere numeri interi, il primo e il secondo risultato li dobbiamo scartare, quindi i valori definitivi da dare a x e y saranno:
x = 4 e y = 1
da cui l'età:
età = 10x + y = 10*4 + 1 = 41 anni.
Nota se partivi a scrivere il sistema di disequazioni mettendo in evidenza la y nell'equazione iniziale ottenevi:
Procediamo, adesso come in precedenza, e scriviamo il sistema di disequazioni composto da:
da cui otteniamo
da cui si ottiene che x dovrà essere un intero maggiore di 1/2, cioè maggiore o uguale a 1, e minore o uguale a 32...
... cioè 9 possibili soluzioni (noi ci limitiamo, ovviamente, agli interi fino a 9), e avresti dovuto analizzare, giocoforza anche il sistema di disequazioni rispetto a y, per vedere (come effettivamente è) se è possibile ridurre le possibili soluzioni valide.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nella spiegazione matematica della soluzione finale del problema, se hai dei dubbi scrivimi pure.
:hi
Massimiliano
Aggiunto 1 ora più tardi:
... oppure puoi utilizzare un approccio grafico alla soluzione del problema:
L'equazione 2x - 7y + 1 rappresenta, in un piano cartesiano, l'equazione di una retta (in viola in figura).
Visto che x e y devono essere positivi e minori o uguali a 9 per rappresentare le cifre degli anni di una persona (oltre, naturalmente, essere numeri interi), tracciamo le rette x=9 (in verde) e y=9 (in blu) come limiti della nostra retta (l'altro limite è l'origine degli assi).
Si vede immediatamente che x=9 intercetta la retta in y= 17/7 (punto D), da cui ricaviamo che i valori di y ammessi nella nostra soluzione dovranno essere minori o uguali a questo valore, e più precisamente, dovendo essere interi, dovranno essere minori o uguali a 2 (e, naturalmente, maggiori o uguali a 0).
Cerchiamo allora i punti di intersezioni sulla retta per i valori 0, 1 e 2 di y (rispettivamente i punti A, B, C) e troviamo che ad essi corrispondo i valori 1/2, 4 e 15/2 di x.
Dovendo essere intero anche il valore di x, l'unica soluzione ammissibile sarà:
x = 4, y = 1....
... come per la soluzione matematica.
:hi
Sappiamo che sia x che y devono essere interi positivi minori di 9, ora possiamo scrivere due sistemi di disequazioni, una rispetto a x e una rispetto a y partendo dall'equazione data da rino6999:
2x - 7y = 1
Iniziamo a scriverla rispetto a x:
[math] x = \frac {7y+1}{2} [/math]
ora impostiamo che tutto ciò che si trova a destra dell'uguale sia minore o uguale a 9 e, contemporaneamente maggiore di 0, e risolviamo il sistema:
[math] \frac {7y+1}{2} \le 9 [/math]
[math] \frac {7y+1}{2} \> 0 [/math]
si ricava che:
[math] 7y \le 17 [/math]
[math] 7y \> -1 [/math]
Quindi y dovrà essere un intero maggiore o uguale a 0 (abbiamo escluso -1/7 perchè non ha significato come valore per noi) e minore o uguale a 17/7 ovvero minore di 2.
Abbiamo, cioè tre soli valori possibili:
y = 0, y = 1 e y = 2
Calcoliamo allora il relativo valore di x per questi tre valori di y e vediamo quale risultato rispetta le nostre condizioni:
[math] x_0 = \frac {7\;.\;0 + 1}{2} = \frac {1}{2} [/math]
[math] x_1 = \frac {7\;.\;1 + 1}{2} = 4 [/math]
[math] x_2 = \frac {7\;.\;2 + 1}{2} = \frac {15}{2} [/math]
Visto che i due valori da assegnare a x e y devono essere numeri interi, il primo e il secondo risultato li dobbiamo scartare, quindi i valori definitivi da dare a x e y saranno:
x = 4 e y = 1
da cui l'età:
età = 10x + y = 10*4 + 1 = 41 anni.
Nota se partivi a scrivere il sistema di disequazioni mettendo in evidenza la y nell'equazione iniziale ottenevi:
[math] y = \frac {2x - 1}{7} [/math]
Procediamo, adesso come in precedenza, e scriviamo il sistema di disequazioni composto da:
[math] \frac {2x - 1}{7} \le 9 [/math]
[math] \frac {2x - 1}{7} \> 0 [/math]
da cui otteniamo
[math] 2x \le 64 [/math]
[math] 2x \> 1 [/math]
da cui si ottiene che x dovrà essere un intero maggiore di 1/2, cioè maggiore o uguale a 1, e minore o uguale a 32...
... cioè 9 possibili soluzioni (noi ci limitiamo, ovviamente, agli interi fino a 9), e avresti dovuto analizzare, giocoforza anche il sistema di disequazioni rispetto a y, per vedere (come effettivamente è) se è possibile ridurre le possibili soluzioni valide.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nella spiegazione matematica della soluzione finale del problema, se hai dei dubbi scrivimi pure.
:hi
Massimiliano
Aggiunto 1 ora più tardi:
... oppure puoi utilizzare un approccio grafico alla soluzione del problema:
L'equazione 2x - 7y + 1 rappresenta, in un piano cartesiano, l'equazione di una retta (in viola in figura).
Visto che x e y devono essere positivi e minori o uguali a 9 per rappresentare le cifre degli anni di una persona (oltre, naturalmente, essere numeri interi), tracciamo le rette x=9 (in verde) e y=9 (in blu) come limiti della nostra retta (l'altro limite è l'origine degli assi).
Si vede immediatamente che x=9 intercetta la retta in y= 17/7 (punto D), da cui ricaviamo che i valori di y ammessi nella nostra soluzione dovranno essere minori o uguali a questo valore, e più precisamente, dovendo essere interi, dovranno essere minori o uguali a 2 (e, naturalmente, maggiori o uguali a 0).
Cerchiamo allora i punti di intersezioni sulla retta per i valori 0, 1 e 2 di y (rispettivamente i punti A, B, C) e troviamo che ad essi corrispondo i valori 1/2, 4 e 15/2 di x.
Dovendo essere intero anche il valore di x, l'unica soluzione ammissibile sarà:
x = 4, y = 1....
... come per la soluzione matematica.
:hi
Ciaooooo Massimiliano!!!!! :D
La disequazione è perfetta!! Proverò a fare il grafico con GeoGebra!
Grazie mille :D
La disequazione è perfetta!! Proverò a fare il grafico con GeoGebra!
Grazie mille :D
Prego, di nulla...
... comunque anch'io ho utilizzato GeoGebra per il grafico.
:hi
... comunque anch'io ho utilizzato GeoGebra per il grafico.
:hi
Massimiliano ma come faccio a fare la frazione, perché se io nel campo di inserimento metto ad esempio 1/2 non me lo da, ma devo mettere per forza un comando. Tu come hai fatto?!?
Inserisci
x=1/2
e ti viene la retta passante per x = 1/2 parallela all'asse y
x=1/2
e ti viene la retta passante per x = 1/2 parallela all'asse y
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