Un paradosso curioso by R.Smullyan
Consideriamo due interi positivi $x$ e $y$, uno dei quali è il doppio dell'altro.
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Ora proverò le due seguenti proposizioni ovviamente incompatibili.
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).
Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD
Dimostrazione della Proposizione 2:
Sia $d$ la differenza tra $x$ e $y$ (o, che è lo stesso, il minore dei due).
Allora, ovviamente, l'weccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è pari a $d$, e l'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$ è di nuovo pari a $d$.
Quindi $d=d$.
CVD
Adesso, Proposizione 1 e Proposizione 2 non possono essere entrambe vere!
Quale delle due pensiate sia vera?
Breve commento di R.Smullyan (da leggere solo dopo aver espresso il proprio parere
)
Cordialmente, Alex
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Ora proverò le due seguenti proposizioni ovviamente incompatibili.
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).
Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD
Dimostrazione della Proposizione 2:
Sia $d$ la differenza tra $x$ e $y$ (o, che è lo stesso, il minore dei due).
Allora, ovviamente, l'weccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è pari a $d$, e l'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$ è di nuovo pari a $d$.
Quindi $d=d$.
CVD
Adesso, Proposizione 1 e Proposizione 2 non possono essere entrambe vere!
Quale delle due pensiate sia vera?
Breve commento di R.Smullyan (da leggere solo dopo aver espresso il proprio parere
)Cordialmente, Alex
Risposte
Cordialmente, Alex
L'affermazione "siano $x$ e $y$ due numeri naturali [...] se $x$ è maggiore di $y$ e [...] se $y$ è maggiore di $x$" non vuol dire niente. Se $x$ e $y$ sono due numeri naturali allora sono delle quantità fissate, la cui differenza è un numero naturale. Non c'è nessun caso. Se provi a dare un senso matematico a quella frase, ti accorgerai che non c'è nessuna contraddizione tra quelle due proposizioni.
L'affermazione "siano $x$ e $y$ due numeri naturali [...] se $x$ è maggiore di $y$ e [...] se $y$ è maggiore di $x$" non vuol dire niente. Se $x$ e $y$ sono due numeri naturali allora sono delle quantità fissate, la cui differenza è un numero naturale. Non c'è nessun caso. Se provi a dare un senso matematico a quella frase, ti accorgerai che non c'è nessuna contraddizione tra quelle due proposizioni.
Cosa intendi con "non vuol dire niente"?
Concordo sul fatto che fissati due numeri, la loro differenza in valore assoluto sia univoca ma, in generale, non lo è la "semplice" differenza.
Nel mio esempio mostro concretamente, senza giochi di parole o scambi fittizi, che i due "eccessi" (come li chiama) sono diversi.
Detto ciò, anch'io penso che le due proposizioni non siano "ovviamente incompatibili"; se lo sono, non lo sono in modo ovvio
Cordialmente, Alex
Concordo sul fatto che fissati due numeri, la loro differenza in valore assoluto sia univoca ma, in generale, non lo è la "semplice" differenza.
Nel mio esempio mostro concretamente, senza giochi di parole o scambi fittizi, che i due "eccessi" (come li chiama) sono diversi.
Detto ciò, anch'io penso che le due proposizioni non siano "ovviamente incompatibili"; se lo sono, non lo sono in modo ovvio
Cordialmente, Alex
Mi pare che hydro stia dicendo, detto meglio, la stessa cosa che dico io.
Abbiamo due numeri naturali, due oggetti fissati, quelli sono. Uno sarà maggiore dell'altro e quello è: non ci sono 'due casi', se no ci sarebbero quattro numeri.
Che questi due numeri-oggetti fissati li chiami $x$ e $y$ o li chiami Giovanni e Giuseppe, è la stessa cosa.
In questo senso la prima dimostrazione è solo un trucchetto che si fa rinominando questi due oggetti fissati (ecco, avrei dovuto dire così, invece di dire 'rinominare le 'variabili', perché non sono variabili).
Nella prima parte della dimostrazione li chiamo Giovanni e Giuseppe, nella seconda parte della dimostrazione li chiami Giuseppe e Giovanni, scambiando i nomi. Ma fai la stessa cosa.
Abbiamo due numeri naturali, due oggetti fissati, quelli sono. Uno sarà maggiore dell'altro e quello è: non ci sono 'due casi', se no ci sarebbero quattro numeri.
Che questi due numeri-oggetti fissati li chiami $x$ e $y$ o li chiami Giovanni e Giuseppe, è la stessa cosa.
In questo senso la prima dimostrazione è solo un trucchetto che si fa rinominando questi due oggetti fissati (ecco, avrei dovuto dire così, invece di dire 'rinominare le 'variabili', perché non sono variabili).
Nella prima parte della dimostrazione li chiamo Giovanni e Giuseppe, nella seconda parte della dimostrazione li chiami Giuseppe e Giovanni, scambiando i nomi. Ma fai la stessa cosa.
Non è così.
Non sto ridenominando niente.
Certamente fissati due numeri, quelli sono e quelli rimangono (infatti hai due buste chiuse, ciascuna con un numero dentro, che non apri mai) ma per te ovvero per le conoscenze che tu hai i casi sono due: o l'altro numero è meta del tuo oppure l'altro numero è il doppio del tuo.
Ma NON sto cambiando nome a nessuno,
Questo è, non è un gioco di parole, nessun trucchetto.
E a seconda del caso che ti capita, i due "eccessi" sono diversi fra loro.
Con ciò, ripeto, non voglio sostenere che la prima proposizione sia vera e l'altra no o viceversa o siano vere entrambe, ma solamente che non vedo falle nella Proposizione 1.
Se ci sono, non sono dovute a scambi o giochetti (nel mio esempio, dove sarebbe "lo scambio"?)
Non sto ridenominando niente.
Certamente fissati due numeri, quelli sono e quelli rimangono (infatti hai due buste chiuse, ciascuna con un numero dentro, che non apri mai) ma per te ovvero per le conoscenze che tu hai i casi sono due: o l'altro numero è meta del tuo oppure l'altro numero è il doppio del tuo.
Ma NON sto cambiando nome a nessuno,
Questo è, non è un gioco di parole, nessun trucchetto.
E a seconda del caso che ti capita, i due "eccessi" sono diversi fra loro.
Con ciò, ripeto, non voglio sostenere che la prima proposizione sia vera e l'altra no o viceversa o siano vere entrambe, ma solamente che non vedo falle nella Proposizione 1.
Se ci sono, non sono dovute a scambi o giochetti (nel mio esempio, dove sarebbe "lo scambio"?)
Nella dimostrazione secondo me c'è senz'altro un cambio di nomi, detto così con le buste è ancora più evidente che non c'è nessuna differenza.
Caso mai l'inghippo sta nel dire 'per le conoscenze che tu hai': cioè stai introducendo un aspetto aleatorio, diventa un problema di probabilità, che nella formulazione iniziale del problema non si vede.
Caso mai l'inghippo sta nel dire 'per le conoscenze che tu hai': cioè stai introducendo un aspetto aleatorio, diventa un problema di probabilità, che nella formulazione iniziale del problema non si vede.
"gabriella127":
Caso mai l'inghippo sta nel dire 'per le conoscenze che tu hai': cioè stai introducendo un aspetto aleatorio, diventa un problema di probabilità, che nella formulazione iniziale del problema non si vede.
Come "non si vede"?
"axpgn":
Non ci viene però detto se sia $ x $ o $ y $ il maggiore dei due.
La questione, infatti, non sta in quello che è (due numeri fissati) ma in quello che NON SI SA (qual è il maggiore?); il paradosso nasce da qui, non ci fosse quella "clausola", non ci sarebbe niente su cui discutere.
Io non so quale sia la soluzione "giusta" (ammesso che esista), quello che non mi convince sono le vostre argomentazioni basate sul fatto che i dati sono fissati e la differenza assoluta univoca (ma lo sappiamo fin dall'inizio) o su giochetti (come lo scambio di denominazione).
Riprendo il mio esempio: all'inizio avete preso in mano una busta, che non avete scambiato con l'altra, quindi il vostro numero e l'altro nell'altra busta sono sempre quelli fissati all'inizio.
Ora, aprite solo la vostra busta, leggete il vostro numero e ditemi qual è l'altro: non avrete nessuna difficoltà né incertezza a farlo, dato che la differenza è univoca ed è la stessa dall'inizio, no? Non è indifferente?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Riprendo il mio esempio: all'inizio avete preso in mano una busta, che non avete scambiato con l'altra, quindi il vostro numero e l'altro nell'altra busta sono sempre quelli fissati all'inizio.
Ora, aprite solo la vostra busta, leggete il vostro numero e ditemi qual è l'altro: non avrete nessuna difficoltà né incertezza a farlo, dato che la differenza è univoca ed è la stessa dall'inizio, no?
Infatti la differenza è univoca, se le buste contengono $x$ e $y$ la differenza è $|x-y|$. Nessuno sostiene che data la conoscenza di uno dei due numeri si possa dedurre la differenza dei due.
"hydro":
Infatti la differenza è univoca, ...
La differenza in valore assoluto è univoca, mentre generalmente $x-y$ e $y-x$ sono differenti.
"hydro":
Nessuno sostiene che data la conoscenza di uno dei due numeri si possa dedurre la differenza dei due.
Se si sostiene che la differenza è univoca, sì.
Sostanzialmente ciò che voglio dire è questo: a mio parere, Smullyan, con la prima proposizione, sostiene che, in mancanza dell'informazione d'ordine, sorgono due situazioni differenti e non è possibile determinare quale sia la differenza tra i due nonostante questa sia fissata in partenza.
IHMO
IHMO
"axpgn":
Sostanzialmente ciò che voglio dire è questo: a mio parere, Smullyan, con la prima proposizione, sostiene che, in mancanza dell'informazione d'ordine, sorgono due situazioni differenti e non è possibile determinare quale sia la differenza tra i due nonostante questa sia fissata in partenza.
IHMO
Cosa vuol dire "determinare la differenza tra i due"? All'atto pratico proprio. Stai dicendo che se prendi due buste contenenti una il doppio dei soldi dell'altra e ne apri una non sai determinare qual è la differenza tra le due quantità? Questo mi sembra lapalissiano, dove sta il paradosso? Il fatto che la differenza sia un numero naturale fissato non vuol dire che tu debba essere in grado di determinarla senza tutte le informazioni.
Ci stiamo perdendo, resetto
Secondo te, le due proposizioni sono incompatibili? Se sì, perché? Se no, perché? Thanks
Cordialmente, Alex
P.S.: Dati due numeri $x$ e $y$, la loro differenza può essere questa $x-y$ o questa $y-x$, se non ci sono ulteriori specificazioni. IHMO
Secondo te, le due proposizioni sono incompatibili? Se sì, perché? Se no, perché? Thanks
Cordialmente, Alex
P.S.: Dati due numeri $x$ e $y$, la loro differenza può essere questa $x-y$ o questa $y-x$, se non ci sono ulteriori specificazioni. IHMO
"axpgn":
Ci stiamo perdendo, resetto
Secondo te, le due proposizioni sono incompatibili? Se sì, perché? Se no, perché? Thanks
Cordialmente, Alex
No, sto dicendo che falso implica falso è vero, ma non è interessante. Come dire: "siano $x=1$ e $y=2$. Se $y
"axpgn":
P.S.: Dati due numeri $x$ e $y$, la loro differenza può essere questa $x-y$ o questa $y-x$, se non ci sono ulteriori specificazioni. IHMO
Esatto. Ovvero, la differenza è sempre $|x-y|$.
So come funziona un'implicazione (peraltro quella del tuo esempio è falsa, la premessa è vera e la conclusione è falsa) ma non mi è chiaro come la utilizzi nella prima proposizione (per affermare che è nello stato falso -> falso)
Cordialmente, Alex
P.S.: sulla differenza non insisto più perché non ci intendiamo proprio
Cordialmente, Alex
P.S.: sulla differenza non insisto più perché non ci intendiamo proprio
"hydro":
[quote="axpgn"]
P.S.: Dati due numeri $x$ e $y$, la loro differenza può essere questa $x-y$ o questa $y-x$, se non ci sono ulteriori specificazioni. IHMO
Esatto. Ovvero, la differenza è sempre $|x-y|$.[/quote]
"axpgn":
P.S.: sulla differenza non insisto più perché non ci intendiamo proprio
Aò, mo' non stiamo a discutere pure su cose da quinta elementare.
Certo che la differenza può avere segno più o meno.
Il testo del problema parla di 'eccesso', ed è il modulo della differenza.
Ossia $|x-y|$ che, come mi insegnava la maestra dell'asilo nido, è uguale a $|y-x|$.
$leftarrow$ la mia maestra di asilo nido.
"gabriella127":
Naaaa, oggi se va bene lo impari alle Superiori ...
"gabriella127":
Aò, mo' non stiamo a discutere pure su cose da quinta elementare.
Eh, no, tutto il thread si basa su questo.
Il claim di Smullyan nella prima proposizione sostiene che ci sono due eccessi e che sono diversi (sotto certe ipotesi).
Se apri tutte e due le buste, la differenza è quella; ma se ne apri una sola, allora i casi sono due, tant'è che non sei in grado di dire quale sia l'altro numero, nonostante tu conosco il loro rapporto.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
So come funziona un'implicazione (peraltro quella del tuo esempio è falsa, la premessa è vera e la conclusione è falsa)
Sì certo ho editato. Il mio claim è che la proposizione 1 non ha senso. Una proposizione ha un'ipotesi e una tesi. Tipo: "sia $p$ un numero primo diverso da $3$. Allora $p^2\equiv 1\mod 3$" è una proposizione. L'ipotesi è: "$p$ è un numero primo diverso da $3$" e la tesi è "$p^2\equiv 1\mod 3$". Siccome mi sembra che tu capisca qual è lo statement della proposizione 1 ti chiedo: quali sono ipotesi e tesi? Tra l'altro nota che la “dimostrazione” vive nel mondo dell'aritmetica di $\mathbb Z$, quindi deve potersi formalizzare in Lean, se è giusta.
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