Un paradosso curioso by R.Smullyan

[axpgn]

Consideriamo due interi positivi $x$ e $y$, uno dei quali è il doppio dell'altro.
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Ora proverò le due seguenti proposizioni ovviamente incompatibili.

Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.

Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).

Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD

Dimostrazione della Proposizione 2:
Sia $d$ la differenza tra $x$ e $y$ (o, che è lo stesso, il minore dei due).
Allora, ovviamente, l'weccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è pari a $d$, e l'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$ è di nuovo pari a $d$.
Quindi $d=d$.
CVD

Adesso, Proposizione 1 e Proposizione 2 non possono essere entrambe vere!
Quale delle due pensiate sia vera?


Breve commento di R.Smullyan (da leggere solo dopo aver espresso il proprio parere )

La maggior parte della gente opta per la Proposizione 2.
Ma, un attimo, supponiamo che $y$ sia, diciamo, $100$.
Allora l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è sicuramente $100$ mentre se $y$ è maggiore di $x$, l'eccesso di $y$ su $x$ è certamente $50$.
E $100$ non è sicuramente maggiore di $50$ ?

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":[quote="gabriella127"]Aò, mo' non stiamo a discutere pure su cose da quinta elementare.

Eh, no, tutto il thread si basa su questo.
Il claim di Smullyan nella prima proposizione sostiene che ci sono due eccessi e che sono diversi (sotto certe ipotesi).
Se apri tutte e due le buste, la differenza è quella; ma se ne apri una sola, allora i casi sono due, tant'è che non sei in grado di dire quale sia l'altro numero, nonostante tu conosco il loro rapporto.
[/quote]

Ho capito, Alex, precisavo definizioni ovvie, sembrava che uno discuteva pure su questo.

"axpgn":[quote="gabriella127"] $leftarrow$ la mia maestra di asilo nido.

Naaaa, oggi se va bene lo impari alle Superiori ... [/quote]

Ho fatto un buon asilo nido

[axpgn]

Ci avevo provato a formalizzarla prima di scrivere l'altro post ma non ci sono riuscito

Ci riprovo ...

- $x, y in N$
- $x=2y vv x=y/2$
- Se $x>y$ allora $x-y=y$
- Se $x -------------------------------------
$:.$ $\ \ \ y>y/2$ ovvero $x-y > y-x$


Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":Ci avevo provato a formalizzarla prima di scrivere l'altro post ma non ci sono riuscito

Il che non mi stupisce affatto, perchè sei una persona pensante e la proposizione non ha senso.

"axpgn":
Ci riprovo ...

- $x, y in N$
- $x=2y vv x=y/2$
- Se $x>y$ allora $x-y=y$
- Se $x

La terza e la quarta riga sono ridondanti: siccome $x,y\in \mathbb N$ e $x=2y$ oppure $y=2x$, allora $x>y$ se e solo se $x=2y$ se e solo se $x-y=y$, e analogamente la quarta riga.

"axpgn":
-------------------------------------
$:.$ $\ \ \ y>y/2$ ovvero $x-y > y-x$

Stai usando "ovvero" come sinonimo di "equivalentemente" oppure come sinonimo di "oppure"? Nel primo caso non è vero che $y>y/2$ è equivalente a $x-y>y-x$, nel secondo caso la tesi è vera perchè $y>y/2$ comunque preso $y\in \mathbb N$, ma non c'è bisogno di tutte le altre ipotesi.

[axpgn]

Ridondanti però non significa false, no?

Intendevo "equivalentemente" deducendolo pedissequamente dal fatto che sia la 3 che la 4 fossero vere (e quindi sostituendo banalmente) dimenticando però che non sarebbero vere entrambe allo stesso modo e cioè che se, poniamo, la 3 fosse vera perché sia la premessa che la conclusione sono vere, allora la 4 è vera perché sia la premessa che la conclusione sono false e non perché la premessa è falsa e la conclusione vera.


Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":Ridondanti però non significa false, no?

No certo, intendevo solo che seguono automaticamente dalle altre due righe, quindi è inutile includerle.

[3m0o]

"axpgn":
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.

Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD

Nel caso 1) in cui \(x > y \) chiama \( d_1= \left| x - y \right| \) nel caso 2) in cui \( y > x \) chiama \(d_2 = \left| x-y \right| \) quello che hai dimostrato è che \( d_1 = y \) nel caso 1) e \( y > d_2 \) nel caso due, ma questo è ovvio. Ma è sbagliato concludere che \( d_1 > d_2 \).
Il punto è che stai rinominando le variabili senza rendertene conto e non puoi concludere che \( y > y/2 \) perché sono due variabili diverse!
Chiama nel caso 1) \(x_1 = 2y_1 \) e nel caso 2) \( x_2 = y_2/2 \) allora chiaramente \( x_1=y_2 \) e \( y_1 = x_2 \) non puoi dire concludere che \( y_1 > y_2/2 \) perché in realtà \(y_1 = y_2/2=x_2 \).

Nessun paradosso. È lo stesso errore che hai fatto nel gioco delle due buste.

[gabriella127]

"3m0o":

Il punto è che stai rinominando le variabili senza rendertene conto e non puoi concludere che \( y > y/2 \) perché sono due variabili diverse!
Chiama nel caso 1) \(x_1 = 2y_1 \) e nel caso 2) \( x_2 = y_2/2 \) allora chiaramente \( x_1=y_2 \) e \( y_1 = x_2 \) non puoi dire concludere che \( y_1 > y_2/2 \) perché in realtà \(y_1 = y_2/2=x_2 \).

3m0o ti voglio bene ! E' la stessa cosa che ho detto io fin da subito!
Ci sono due numeri fissati, che una volta li chiami Giuseppe e Giovanni, una volta Giovanni e Giuseppe.

[3m0o]

"axpgn":
Se apri tutte e due le buste, la differenza è quella; ma se ne apri una sola, allora i casi sono due, tant'è che non sei in grado di dire quale sia l'altro numero, nonostante tu conosco il loro rapporto.


Cordialmente, Alex

Fissati \(x,y\), allora è fissato anche \( \left| x -y \right| \) e questo è indubbio, sapendo che uno dei due è il doppio del altro ma non sapendo quale sia il doppio di chi. È vero che aprendo una sola busta (sai il valore di \(y\) ma non di \(x\)) allora con queste informazioni che possiedi non sai determinare qual è il valore di \( \left| x-y \right| \) poiché per le informazioni che possiedi hai due casi possibili, ovvero la differenza potrebbe essere \(y \) oppure \(y/2 \). Ma questo non significa che la differenza sia entrambi
La differenza è sempre solo una sola e vale in entrambi i casi \( \left| x-y \right| \) il fatto è che tu non sai se è vero che \( \left| x - y \right| = y \) oppure se è vero che \( \left| x- y \right| = y/2 \) ma non rende vera la proposizione 2, che è falsa, e l'errore nella dimostrazione della proposizione 2 sta proprio nella ragione spiegata da gabriella prima e da me successivamente, ovvero che non puoi dire che \( y > y/2 \) perché è falso, in realtà hai \( y = y/2 \) (perché sono due oggetti differenti a cui dai lo stesso nome).

"gabriella127":



3m0o ti voglio bene ! E' la stessa cosa che ho detto io fin da subito!
Ci sono due numeri fissati, che una volta li chiami Giuseppe e Giovanni, una volta Giovanni e Giuseppe.

Anche io ti voglio bene

[3m0o]

Il fatto è che i due casi non possono avverarsi contemporaneamente o sei nel caso 1) oppure nel caso 2) ma non sai in quale dei due sei.
Il tuo problema originale diventa quindi equivalente al seguente problema.
Sai che \(x \) vale il doppio di \(y \) ma di non sai il valore di nessuno dei due. Io ti dico che uno dei due vale \( z \) ma non ti dico quale dei due. È vero che tu non puoi sapere se \( \left| x-y \right| = z \) oppure se \( \left| x-y \right| = z/2 \) ma è sempre vero \( \left| x-y \right| = y \) il punto è che tu non sai se \(z = y \) oppure se \( z/2 = y \).
È vero che \( z>z/2\) ma è falso che \(y>y\)
Equivalentemente
In entrambi i casi 1) e 2) la differenza vale il più piccolo, ma tu non sai se il numero che "guardi" è il più piccolo o il più grande, questo non rende la differenza diversa a dipendenza del numero che guardi.

[Quinzio]

Ho letto il testo originale dell'esercizio, e poi ho letto parte della discussione che ne e' seguita.
A me sembra che il testo dell'esercizio sia poco chiaro e si presti a delle contraddizioni logiche.
Non riesco bene ad individuare dove sta l'eventuale fallacia logica, ma ci spendero' un po' di tempo anche perche'
delle questioni simili creano problemi a non finire nelle situazioni piu' disparate.
Ovvero, concetti ambigui e formulati male che molte volte e' difficile dimostrare che sono ambigui e formulati male, e proprio per questo motivo creano problemi a non finire.

Alle elementari, dove andavo io, girava tra i ragazzini un indovinello stupido che diceva cosi:
"Di che colore era il cavallo bianco di Napoleone ?"
Ovviamente lo scherzo da bambini era di stare a pensare 5 minuti di che colore fosse questo cavallo, per poi accorgersi che la domanda contiene gia' la risposta.
Ora, la domanda non e' una vera domanda perche' contiene gia' una risposta, ammesso che sia quella giusta.
In ogni caso non e' una domanda "reale" perche' chi fa la domanda ipotizza gia' una risposta, quindi si tratta o di confutare la risposta implicita, o di accettarla.
Mentre in questo caso e' facile accorgersi della fallacia della domanda, in situazioni piu' complesse puo' essere tuttaltro che banale scovare la contraddizione o la banalita' della domanda.
Mi sembra che la domanda di questo thread possa essere un caso del genere.

[axpgn]

Caro 3m0o, il fatto che tu abbia scritto tre post di fila (e pure lunghi) significa che forse non è così ovvio, no?
Prima di tutto, qual errore "mio"? L'ha scritto Smullyan il testo (l'ho pure messo nel titolo apposta ) così come il problema delle due punte
Poi, insistete sul valore assoluto della differenza ma Smullyan non ne parla e chiama "eccessi" le due differenze proprio per tenerle distinte (finezza ), non è quello il punto.
Ma soprattutto siete "fissati" ( ) con lo scambio di variabili, ridenominazioni, ecc. e come le chiamate, ma non è così!
Solamente se si aprono tutte e due le buste esiste una distanza univoca e ben definita tra il mio numero e l'altro (adesso la chiamo così) eventualità però categoricamente esclusa dal testo del problema.
Aprendo una sola busta la possibile distanza tra il mio numero e l'altro può assumere due valori: il mio numero o metà del mio numero.
Ovvero la possibile distanza tra il mio numero e l'altro è un unico oggetto che può assumere due valori, non due oggetti diversi (o vorresti sostenere che quando una variabile cambia valore deve cambiare anche nome? ), è sempre lo stesso oggetto e i due valori che assume sono diversi (e sappiamo pure come cioè "mio numero > metà del mio numero")

Ciao, Alex

P.S.: io mi diverto, voi anche?

[axpgn]

@Quinzio
Smullyan è un "maestro" di logica ricreativa ovvero è un grande logico ma anche un grande burlone, perciò non è facile capire sempre dov'è il confine tra le due cose.
Sicuramente a me diverte
È l'inventore degli "Knight & Knaves" cioè di un sacco di quesiti su coloro che mentono sempre vs coloro che dicono sempre la verità (e variazioni), problemi che dovrebbero piacere a 3m0o

Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":
Solamente se si aprono tutte e due le buste esiste una distanza univoca e ben definita tra il mio numero e l'altro (adesso la chiamo così) eventualità però categoricamente esclusa dal testo del problema.
Aprendo una sola busta la possibile distanza tra il mio numero e l'altro può assumere due valori: il mio numero o metà del mio numero.
Ovvero la possibile distanza tra il mio numero e l'altro è un unico oggetto che può assumere due valori, non due oggetti diversi (o vorresti sostenere che quando una variabile cambia valore deve cambiare anche nome? ), è sempre lo stesso oggetto e i due valori che assume sono diversi (e sappiamo pure come cioè "mio numero > metà del mio numero")

Il problema è che queste sono chiacchere in libertà "esiste una distanza univoca" "aprendo una busta" non sono concetti matematici. Dal mio punto di vista è proprio inutile discuterne: o c'è una proposizione formulata in termini rigorosi e con una sua dimostrazione, oppure si può andare avanti all'infinito su posizioni diverse. Tu sostieni che quella proposizione vuol dire una cosa, 3m0o ne sostiene un'altra ed è impossibile convincersi a vicenda. La matematica è lo strumento giusto per dirimere la questione perché permette di formulare concetti non ambigui.

[axpgn]

Con quest'ultima frase dai per assodato che in Matematica non ci siano ambiguità?

[hydro1]

"axpgn":Con quest'ultima frase dai per assodato che in Matematica non ci siano ambiguità?

E' esattamente così, non esistono statement ambigui se formulati correttamente.

[veciorik]

La natura del paradosso è "filosofica". La formulazione matematica serve all'autore per attrarre il pubblico matematico e meritarsi onori e compensi.
Propongo una semplificazione, con carte da gioco, che può essere ulteriormente depurata di ogni aspetto matematico e logico.

[ot]Il mazziere ha tre carte: 2 4 8.
Scopre il 4.
Mette una carta in tasca, o nel mazzo o nel cestino, e la terza coperta sul tavolo.
Ora le carte sono due: una nota e una coperta, ignota a me e al pubblico, che può valere 2 o 8.

Se il mazziere conosce la carta coperta, conosce anche l'eccesso che quindi è predeterminato ( solo per lui ! ), altrimenti tutti noi ignoranti dobbiamo considerare l'alternativa 2 o 8, con eccessi diversi 2 e 4.

La matematizzazione (doppio, eccesso, maggiore, minore, if then else ...) può essere rimossa tranquillamente senza inficiare la sostanza del paradosso che verte sulla teoria della conoscenza.
Al posto del mazziere possiamo mettere Dio, la Natura, la Realtà o la Verità in senso fideistico o magico o filosofico realistico.

La questione fondamentale è se la realtà/verità precede la percezione/conoscenza oppure la segue ?

Io sono per la seconda: non posso affibbiare alla "realtà" nessun attributo prima di averla percepità, più volte, con accuratezza scientifica.
Solo dopo posso affermare di conoscere.
Comunque resta sempre il dubbio che future percezioni/sperimentazioni o maturazioni intellettive o evoluzioni culturali possano invalidare le conoscenze consolidate che dopo saranno chiamate apparenze, credenze, approssimazioni, illusioni, falsità, etc...[/ot]

[hydro1]

La questione filosofica posso anche capirla, ma qual è il paradosso? Il mazziere ha delle informazioni in più di me sulla situazione, quindi può permettersi delle deduzioni che io non posso fare. Mi spiegate gentilmente qual è il problema?

[veciorik]

Il paradosso sta nel ritenere vere due proposizioni contrastanti relative ad un fatto dichiarato "unico".
Nel mio esempio precedente la proposizione corretta è la prima mentre la seconda descrive uno scenario diverso, come il seguente.

[ot]Due carte prefissate chiamate X e 2X.
Io ne conosco una ma non so se X oppure 2X.[/ot]

In cosa differisce questo scenario dal precedente ?

[ot]Nel precedente si fissa la carta nota, X, mentre l'ignota può valere X/2 oppure 2X.
L'alternativa è sulla carta ignota.

Nel secondo scenario prima si fissa la coppia e poi se ne scopre una: X oppure 2X. In corrispondenza l'ignota vale 2X oppure X.
L'alternativa è sulla carta nota.[/ot]

[3m0o]

Con \(x \) ed \(y \) mi riferisco ai termini che indicano il valore nelle due buste.
Interpretazione 1)
La proposizione 2) prevede come ipotesi la formula seguente, dove \(x_1,x_2 \) sono le variabili
\[ \exists z ( (x_1=2z \wedge x_2=z) \vee (x_1=z \wedge x_2=2z) ) \]
ora in questo caso in qualunque modo la si voglia mettere si ha che \( \left| x_1-x_2 \right| = z \).
È vero che
\[ \exists z ( (x_1=2z \wedge x_2=z) \vee (x_1=z \wedge x_2=2z) ) \rightarrow z=z \]
È falso che
\[ \exists z ( (x_1=2z \wedge x_2=z) \vee (x_1=z \wedge x_2=2z) ) \rightarrow z>z \]

In questo caso quindi posso assegnare ad \(x =2z \) e \(y= z \) oppure assegnare ad \(x = z \) e \(y=2z \), ovvero fisso uno dei due casi, indipendentemente da come ho fissato la differenza rimane \(z \). Poi posso interpretare il problema di aprire la busta \(x\), ma non sapere comunque il valore di \(z \) e non sapere in quale dei due casi mi trovo e quindi non conosco \( \left| x - y \right| \).
Edit: Osservando solo \(x\) non posso sapere se sto osservando la realizzazione di \(x=z \) oppure la realizzazione di \(x=2z\).


Interpretazione 2)
La proposizione 1) prevede come ipotesi la seguente
\[ ( \exists z ( x_1=2z \wedge x_2=z) ) \vee ( \exists w (x_2=2w \wedge x_3=w) ) \]
e questo rende vero la proposizione 1, cioè che \( z > w \) ed è pure evidente. È importante distinguere in questo caso la variabile \(x_1\) dalla variabile \(x_3 \).
La dimostrazione è molto semplice: \(x_1 > x_2 \) allora \( x_1 - x_2 = z \) se \(x_2 > x_3 \) allora \(x_2 - x_3 = w \) chiaramente segue che \(x_1 > 2 x_3 \) segue che \( z > w \).
Se chiami con \(x \) e con \(y \) i termini associati al valore che trovi nelle due buste rimane sbagliato fare la sostituzioni nella formula \(x= x_1 \) e \(y=x_2 \) nella prima sotto-formula e \(y=x_2 \) e \(x=x_3 \) nella seconda, e il motivo è che le variabili \(x_1,x_2,x_3 \) occorrono vincolate all'interno della formula dal quantificatore esistenziale, i.e. non sono variabili libere. Richiede dunque più cautela sostituirle e non può essere fatto nel modo in cui è stato fatto.

È vero che
\[ ( \exists z ( x_1=2z \wedge x_2=z) ) \vee ( \exists w (x_2=2w \wedge x_3=w) ) \rightarrow z > w \]
Ed è falso che
\[ ( \exists z ( x_1=2z \wedge x_2=z) ) \vee ( \exists w (x_2=2w \wedge x_3=w) ) \rightarrow z = w \]


Ora posso assegnare ad \( x= x_1 \) e \(y=x_2 \) oppure posso assegnare ad \(x=x_3 \) ed \(y=x_2 \). Dopo aver assegnato i valori ho che la differenza è una soltanto, può essere \(z\) oppure può essere \(w\), io non so quale sia quindi sapendo \(x\) non posso sapere il valore della differenza \( \left| x - y \right| \).
Edit: Io non posso sapere osservando solo \(x\) se sto osservando la realizzazione di \(x=x_1 =2z \) oppure la realizzazione di \(x=x_3 = w\).


Il paradosso comunque non sussiste poiché le due ipotesi sono delle formule non equivalenti.


Io personalmente "interpreto" la lettura del problema nel primo modo poiché assegno dei valori ad \(x\) ed \(y \), ma non penso sia sbagliato "interpretarla" nel secondo modo. Ciò che è sbagliato è affermare che vi sia un paradosso e fare quella sostituzione nella dimostrazione della proposizione 2.

[axpgn]

Non sono d'accordo, nel senso che tu dai due interpretazioni "comode" ovvero funzionali alle tue tesi ed è quindi ovvio che poi torni tutto.
Ma, a mio parere, il problema afferma altro.

Cordialmente, Alex