Un paradosso curioso by R.Smullyan
Consideriamo due interi positivi $x$ e $y$, uno dei quali è il doppio dell'altro.
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Ora proverò le due seguenti proposizioni ovviamente incompatibili.
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).
Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD
Dimostrazione della Proposizione 2:
Sia $d$ la differenza tra $x$ e $y$ (o, che è lo stesso, il minore dei due).
Allora, ovviamente, l'weccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è pari a $d$, e l'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$ è di nuovo pari a $d$.
Quindi $d=d$.
CVD
Adesso, Proposizione 1 e Proposizione 2 non possono essere entrambe vere!
Quale delle due pensiate sia vera?
Breve commento di R.Smullyan (da leggere solo dopo aver espresso il proprio parere
)
Cordialmente, Alex
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Ora proverò le due seguenti proposizioni ovviamente incompatibili.
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).
Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD
Dimostrazione della Proposizione 2:
Sia $d$ la differenza tra $x$ e $y$ (o, che è lo stesso, il minore dei due).
Allora, ovviamente, l'weccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è pari a $d$, e l'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$ è di nuovo pari a $d$.
Quindi $d=d$.
CVD
Adesso, Proposizione 1 e Proposizione 2 non possono essere entrambe vere!
Quale delle due pensiate sia vera?
Breve commento di R.Smullyan (da leggere solo dopo aver espresso il proprio parere
)Cordialmente, Alex
Risposte
"axpgn":
Un problema (reale, diciamo), in generale, non nasce ben definito, con tutte le condizioni al loro posto e senza informazioni superflue, quindi si prova a semplificarlo, a schematizzarlo, a modellizzarlo, eliminando ciò che non conta, che non serve.
E quindi si fanno delle scelte.
Questo non è "filosofeggiare"? Questa "parte" non è Matematica?
Assolutamente sì, modellizzare un problema è senza dubbio parte del pensiero matematico. Discutere dei vari modelli possibili è anche parte della matematica, ed è sicuramente interessante. Ma quando dici "questo modello non rispecchia il problema originario", i casi sono due: se a questa frase fai seguire un tuo modello che secondo te lo rispecchia, allora sono interessato a sapere quale sia questo modello e a discuterne. Se invece è una critica "filosofica" e basta (e con "filosofica" intendo "che esula dal linguaggio matematico"), non lo trovo interessante. Ma questa è una mia personalissima opinione, capisco che a te possa piacere.
Ok, ti ringrazio. 
Questo "paradosso" fu pubblicato la prima volta nel 1992 nel libro "[size=110]Satan, Cantor, And Infinity[/size] and other mind boggling puzzles" col titolo "the envelope paradox" che rimanda al famigerato TwoEnvelopeProblem aka TEP su cui discuteste nel Luglio 2021 qui : Il paradosso delle due buste.
L'autore presentò questa variante con le parole "But I suspect that probability is not the heart of the matter, and I have thought of a new version of the paradox which doesn't involve probability at all."
Riprendo la discussione perché la conclusione non mi ha soddisfatto.
IMHO la formalizzazione in matematichese complica la faccenda per i non addetti ai lavori e distrae dal nocciolo della questione.
Il paradosso svanisce se si specifica che i due scenari differiscono nel dominio:
L'autore presentò questa variante con le parole "But I suspect that probability is not the heart of the matter, and I have thought of a new version of the paradox which doesn't involve probability at all."
Riprendo la discussione perché la conclusione non mi ha soddisfatto.
IMHO la formalizzazione in matematichese complica la faccenda per i non addetti ai lavori e distrae dal nocciolo della questione.
Il paradosso svanisce se si specifica che i due scenari differiscono nel dominio:
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