Un paradosso curioso by R.Smullyan
Consideriamo due interi positivi $x$ e $y$, uno dei quali è il doppio dell'altro.
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Ora proverò le due seguenti proposizioni ovviamente incompatibili.
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).
Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD
Dimostrazione della Proposizione 2:
Sia $d$ la differenza tra $x$ e $y$ (o, che è lo stesso, il minore dei due).
Allora, ovviamente, l'weccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è pari a $d$, e l'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$ è di nuovo pari a $d$.
Quindi $d=d$.
CVD
Adesso, Proposizione 1 e Proposizione 2 non possono essere entrambe vere!
Quale delle due pensiate sia vera?
Breve commento di R.Smullyan (da leggere solo dopo aver espresso il proprio parere
)
Cordialmente, Alex
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Ora proverò le due seguenti proposizioni ovviamente incompatibili.
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).
Dimostrazione della Proposizione 1:
Supponiamo che $x$ sia maggiore di $y$.
Allora $x=2y$, quindi l'eccesso di $x$ su $y$ è pari a $y$.
Ora, supponiamo che sia $y$ maggiore di $x$.
Allora avremo $x=y/2$, quindi l'eccesso di $y$ su $x$ è $y-y/2=y/2$.
Dato che $y$ è maggiore di $y/2$, questo prova che l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
CVD
Dimostrazione della Proposizione 2:
Sia $d$ la differenza tra $x$ e $y$ (o, che è lo stesso, il minore dei due).
Allora, ovviamente, l'weccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è pari a $d$, e l'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$ è di nuovo pari a $d$.
Quindi $d=d$.
CVD
Adesso, Proposizione 1 e Proposizione 2 non possono essere entrambe vere!
Quale delle due pensiate sia vera?
Breve commento di R.Smullyan (da leggere solo dopo aver espresso il proprio parere
)Cordialmente, Alex
Risposte
"axpgn":
Ma, a mio parere, il problema afferma altro.
... ma non sei in grado di spiegarci quale sia questo "altro" con un'ipotesi e una tesi ben chiare.
Allora cosa afferma il problema, formalmente? Cosa significa formalmente per te questa frase:
Il problema sta tutto lì.
Sono molto sicuro che in qualunque modo tu interpreti questa frase le variabili \(x\) ed \(y \) sono vincolate da degli operatori esistenziali e/o universali, dunque non puoi fare la sostituzione di variabile come è stato fatto nella dimostrazione della proposizione 1. Così come sono molto sicuro che puoi trovare un formalismo che renda vera la proposizione 1 oppure la proposizione 2 ma non entrambe contemporaneamente. È questo che sto dicendo io, dunque in qualunque modo tu guardi il problema non c'è il paradosso. Se mi trovi invece una definizione formale del problema che renda vera entrambe sono d'accordo con te che c'è un paradosso, ma non credo sia possibile.
"axpgn":
Consideriamo due interi positivi $x$ e $y$, uno dei quali è il doppio dell'altro.
Non ci viene però detto se sia $x$ o $y$ il maggiore dei due.
Il problema sta tutto lì.
Sono molto sicuro che in qualunque modo tu interpreti questa frase le variabili \(x\) ed \(y \) sono vincolate da degli operatori esistenziali e/o universali, dunque non puoi fare la sostituzione di variabile come è stato fatto nella dimostrazione della proposizione 1. Così come sono molto sicuro che puoi trovare un formalismo che renda vera la proposizione 1 oppure la proposizione 2 ma non entrambe contemporaneamente. È questo che sto dicendo io, dunque in qualunque modo tu guardi il problema non c'è il paradosso. Se mi trovi invece una definizione formale del problema che renda vera entrambe sono d'accordo con te che c'è un paradosso, ma non credo sia possibile.
@hydro
Io ho postato un problema quindi, a rigore, le spiegazioni andrebbero richieste all'autore.
Peraltro credo di aver scritto come io lo intendo (ed anche più volte, però ammetto di non aver ora riletto quanto ho scritto).
Inoltre cosa intendi per "chiare"? Perché se intendi che sono "chiare" ipotesi e tesi solo quelle scritte in un linguaggio formale, permettimi di dissentire.
@3m0o
È semplice ( ):
$x, y in NN$
$x=2y vv x=y/2$
In Italiano, il significato principale di paradosso (perché in effetti l'argomento non è breve) è quello di una proposizione controintuitiva ma corretta; si usa anche per il contrario ma non è (non sarebbe) il modo corretto di usarlo.
Tu in quale significato lo intendi?
Cordialmente, Alex
Io ho postato un problema quindi, a rigore, le spiegazioni andrebbero richieste all'autore.
Peraltro credo di aver scritto come io lo intendo (ed anche più volte, però ammetto di non aver ora riletto quanto ho scritto).
Inoltre cosa intendi per "chiare"? Perché se intendi che sono "chiare" ipotesi e tesi solo quelle scritte in un linguaggio formale, permettimi di dissentire.
@3m0o
È semplice (
):$x, y in NN$
$x=2y vv x=y/2$
In Italiano, il significato principale di paradosso (perché in effetti l'argomento non è breve) è quello di una proposizione controintuitiva ma corretta; si usa anche per il contrario ma non è (non sarebbe) il modo corretto di usarlo.
Tu in quale significato lo intendi?
Cordialmente, Alex
Beh è semplice ( )
\[ \forall x \forall y ( x=2y \vee x=y/2) \leftrightarrow \forall x \forall y (\exists z ( (x=2z \wedge y=z) \vee (x=z \wedge y=2z) ) ) \]
Ergo la tua interpretazione è la stessa dell'interpretazione 1, solo che ti ostini a sostenere il contrario.
)\[ \forall x \forall y ( x=2y \vee x=y/2) \leftrightarrow \forall x \forall y (\exists z ( (x=2z \wedge y=z) \vee (x=z \wedge y=2z) ) ) \]
Ergo la tua interpretazione è la stessa dell'interpretazione 1, solo che ti ostini a sostenere il contrario.
Eh, no! Che c'entrano i quantificatori? Non è affatto equivalente alla mia o a quella del problema.
Questa tua qualche volta è vera e quasi sempre è falsa mentre la mia è sempre vera.
Cordialmente, Alex
Questa tua qualche volta è vera e quasi sempre è falsa mentre la mia è sempre vera.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
@hydro
Io ho postato un problema quindi, a rigore, le spiegazioni andrebbero richieste all'autore.
Peraltro credo di aver scritto come io lo intendo (ed anche più volte, però ammetto di non aver ora riletto quanto ho scritto).
Inoltre cosa intendi per "chiare"? Perché se intendi che sono "chiare" ipotesi e tesi solo quelle scritte in un linguaggio formale, permettimi di dissentire.
Il nocciolo della questione è che ci sono due proposizioni con annessa dimostrazione. Questa è una cosa che ha senso solo nel linguaggio formale della matematica. Quindi per avere senso, devono essere formulate con ipotesi e tesi. Capisco che dovrei chiedere all'autore, ma visto che non posso lo chiedi a te perchè tu sostieni di capire quale sia il senso di quelle proposizioni. Quindi rinnovo la domanda: quali sono ipotesi e tesi? Ovviamente non puoi omettere i quantificatori dalle ipotesi, perchè altrimenti stai scrivendo una cosa che in linguaggio matematico è priva di senso. Scrivere $x,y\in \mathbb N$ come ipotesi tecnicamente non ha senso, in genere quando lo si fa si intende $\forall x,y\in \mathbb N$.
"hydro":
Questa è una cosa che ha senso solo nel linguaggio formale della matematica. Quindi per avere senso, devono essere formulate con ipotesi e tesi.
Mi pare una restrizione un po' stringente, non lo trovo necessario, non sempre e non in questo caso.
Come ho già scritto parecchie volte, le ipotesi che fa sono quelle che ho appena scritto, se vuoi avrei dovuto aggiungere "Fissati $x, y in NN$" ma mi sembrava superfluo dopo averlo ripetuto per cinque pagine (oltre all'OP, ho contato almeno 15 occorrenze della parola "fissati" all'interno del thread, i quantificatori universali non c'entrano niente).
Le tesi sono quelle dell'OP (che ho anche riscritto varie volte)
Proposizione 1:
L'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è maggiore dell'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$.
Proposizione 2:
I due valori sono realmente gli stessi (cioè l'eccesso di $x$ su $y$, se $x$ è maggiore di $y$, è uguale all'eccesso di $y$ su $x$, se $y$ è maggiore di $x$).
Cordialmente, Alex
Dire "fissati $x,y\in \mathbb N$ tali che..." è la stessa identica cosa di dire "$\forall x,y\in \mathbb N$ tali che...". Nulla è necessario, ma la matematica ha delle regole. Nessuno ti costringe ad usarle, ci mancherebbe, ma se non lo fai non stai facendo matematica ma chiacchere in libertà. E lì vale tutto, per carità. Che è quello che vado ripetendo da qualche post: nessuno ti impedisce di mettere insieme delle frasi concatenando parole, ma questo non crea alcun paradosso, sono solo sequenze di simboli. Chiamarle "proposizione" e "dimostrazione" non le rende tali.
Okay facciamo così, siano \(R, P \) delle relazioni binarie, e \(d \) una funzione binaria, considera la seguente formula
\[ \phi(x_1,y_1,x_2,y_2) : ( ( (R(x_1,2y_1) \vee R(2x_2,y_2)) \wedge P(x_1,y_1) \wedge P(y_2,x_2) ) \rightarrow P(d(x_1,y_1), d(y_2,x_2) ) ) \]
Se prendi \( R \) la relazione \(= \), \( P \) la relazione \( > \) e \( d \) la funzione "differenza".
ora stai (Smullyan, proposizione 1 o chicchessia) dicendo questo
\[ \exists x \exists y \phi(x,y,x,y) \]
Ti rendi conto che le ipotesi non sono mai soddisfatte? Infatti non è possibile avere \( P(x,y) \wedge P(y,x) \). Hai che
\[ \exists x \exists y ( ( (x=2y \vee 2x=y) \wedge x>y \wedge y>x ) \rightarrow (x-y> y-x ) ) \]
il punto è che le ipotesi di \( \phi \) non sono mai soddisfatte...
Nota però che è vero che
\[ \exists x \exists y \exists z \phi(x,y,z,y) \]
infatti
\[ \exists x \exists y \exists z ( ( (x=2y \vee 2z=y) \wedge x>y \wedge y>z ) \rightarrow (x-y> y-z ) ) \]
\[ \phi(x_1,y_1,x_2,y_2) : ( ( (R(x_1,2y_1) \vee R(2x_2,y_2)) \wedge P(x_1,y_1) \wedge P(y_2,x_2) ) \rightarrow P(d(x_1,y_1), d(y_2,x_2) ) ) \]
Se prendi \( R \) la relazione \(= \), \( P \) la relazione \( > \) e \( d \) la funzione "differenza".
ora stai (Smullyan, proposizione 1 o chicchessia) dicendo questo
\[ \exists x \exists y \phi(x,y,x,y) \]
Ti rendi conto che le ipotesi non sono mai soddisfatte? Infatti non è possibile avere \( P(x,y) \wedge P(y,x) \). Hai che
\[ \exists x \exists y ( ( (x=2y \vee 2x=y) \wedge x>y \wedge y>x ) \rightarrow (x-y> y-x ) ) \]
il punto è che le ipotesi di \( \phi \) non sono mai soddisfatte...
Nota però che è vero che
\[ \exists x \exists y \exists z \phi(x,y,z,y) \]
infatti
\[ \exists x \exists y \exists z ( ( (x=2y \vee 2z=y) \wedge x>y \wedge y>z ) \rightarrow (x-y> y-z ) ) \]
"hydro":
Dire "fissati $x,y\in \mathbb N$ tali che..." è la stessa identica cosa di dire "$\forall x,y\in \mathbb N$ tali che...".
Ma no, dai, non dirai sul serio ... "qualcosa" che vale per ogni coppia $x,y$ non è automaticamente equivalente a "qualcosa" che vale per due ben precisi $x,y$.
E non è assolutamente vero che se non uso il "tuo" linguaggio, le "mie" sono chiacchiere in libertà.
In pratica sarà anche vero la stragrande maggioranza delle volte, ma non esiste un unico modo per formalizzare le cose, anche in Matematica.
@3m0o
Quando l'avrò capita, ti rispondo
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="hydro"]Dire "fissati $x,y\in \mathbb N$ tali che..." è la stessa identica cosa di dire "$\forall x,y\in \mathbb N$ tali che...".
Ma no, dai, non dirai sul serio ... "qualcosa" che vale per ogni coppia $x,y$ non è automaticamente equivalente a "qualcosa" che vale per due ben precisi $x,y$.
Cordialmente, Alex[/quote]
EDIT: leggi il commento di hydro sotto che dice sostanzialmente quello che volevo dire io ma meglio.
Ha ragione hydro. Quando si dice "fissato \(x \in \mathbb{N} \)" lo si fa per sottolineare che le variabili non cambiano più valore, le "fissi" cioè che non cambiano più valore nel argomentazione o dimostrazione. Ma gli assegni un valore ben preciso e il valore che gli hai assegnato era arbitrario e poteva essere un qualunque altro. Scelgo in modo arbitrario \(x \in \mathbb{N} \) e lo fisso, o in modo del tutto equivalente \( \forall x \in \mathbb{N} \). È proprio questo il significato di "fissiare" il valore di una variabile, ovvero può a priori prendere un qualunque valore però, ne scelgo uno qualunque ed è quello per il seguito, ma la stessa argomentazione funziona anche se ne avessi scelto un altro.
Ora se le tue ipotesi richiedono anche altre "cose"/ "proprietà", ad esempio \(x = 2y \) sulle variabili non vuol dire che il \( \forall x \forall y \in \mathbb{N} \rightarrow x=2y \), semplicemente sono due ipotesi ovvero richiedi che per tutte quelle variabili \( x,y \) tale che soddisfano pure la relazione \(x=2y \) allora puoi sceglierle arbitrariamente e fissare una volta per tutte, ma avresti potuto scegliere qualunque coppia \((x,y) \) che soddisfa \(x=2y \). L'ipotesi sul valore di \(x,y \) si scrive quindi
\[ \forall x \forall y \in \mathbb{N} ( x=2y \vee 2x=y ) \]
ovvero questa cosa risulta vera ogni volta che scelgo arbitrariamente (per ogni) \(x \) e \( y \) che soddisfano \( x=2y \) oppure che soddisfano \( 2x=y \). Poi con "fissato" generalmente s'intende che tra tutte le coppie di variabili che soddisfano \( x=2y \) oppure che soddisfano \( 2x=y \) ne scelgo una e la fisso una volta per tutte. Quindi ora vale \(x=2y \) e \(2x \neq y \) oppure \( x \neq 2 y \) e \( 2x = y \) , quindi non puoi scambiare i ruoli come ti pare. Ed è indifferente in quale dei due casi ti trovi, proprio perché le hai fissate.
"axpgn":
[quote="hydro"]Dire "fissati $x,y\in \mathbb N$ tali che..." è la stessa identica cosa di dire "$\forall x,y\in \mathbb N$ tali che...".
Ma no, dai, non dirai sul serio ... "qualcosa" che vale per ogni coppia $x,y$ non è automaticamente equivalente a "qualcosa" che vale per due ben precisi $x,y$.[/quote]
Ah, allora mi sa che qua siamo arrivati al nocciolo della questione. No, le due cose non sono equivalenti nel senso che dire "esistono $x,y\in\mathbb N$ tali che..." ovviamente non è uguale a dire "per ogni $x,y\in\mathbb N$ tali che...". Ma se si omettono i quantificatori, o si scrive "fissati" si sta sottointendendo "per ogni". Se apri un paper a caso di matematica leggerai molti teoremi/proposizioni/lemmi che iniziano con cose del tipo: "let $x,y\in \mathbb N$ such that...", equivalente del nostro "fissati". Questo significa "for every $x,y\in\mathbb N$ such that...", ma colloquialmente si usa quella forma. Se invece si vuol dire che una certa proprietà vale per due $x,y$ ben precisi, allora si deve specificare quali sono questi $x,y$. Oppure si può voler dire che esistono $x,y$ che soddisfano qualche proprietà anche se non si sa quali siano, e allora si dice "there exist $x,y\in\mathbb N$ such that...". Nota che questa non è una mia opinione, è proprio un dato di fatto. Se chiedi a qualsiasi altra persona che fa matematica di lavoro ti darà la stessa risposta.
In sostanza, tutti gli statement per avere senso devono essere formulati in termini di quantificatori, insiemi e relazioni. Poi nella prassi comune si possono saltare dei pezzi per comodità di lettura, ma si stanno solo sottointendendo e non eliminando, è una differenza fondamentale.
"axpgn":
E non è assolutamente vero che se non uso il "tuo" linguaggio, le "mie" sono chiacchiere in libertà.
In pratica sarà anche vero la stragrande maggioranza delle volte, ma non esiste un unico modo per formalizzare le cose, anche in Matematica.
Esiste un unico linguaggio, mi spiace deluderti. E non è "mio" proprio per niente, è quello in cui si scrive la matematica e la cosa bellissima è che è universale. Lo usano anche in cina, in india e negli usa. Sei libero di non usarlo, ma a quel punto non c'è più nulla di matematico, questo intendevo con "chiacchere in libertà".
@3m0o, @hydro
Non ho inteso quella scrittura di 3m0o come "per ogni coppia $x,y$ tale che ...", se intendeva quello, sono d'accordo.
Non è così, a me pare che tu sia troppo fondamentalista.
Tra le molte cose da dire, ne scelgo una: se esistesse un solo linguaggio "perfetto, fatto e finito", da tutti condiviso e recepito senza dubbi, non ci sarebbe bisogno di "perfezionarlo" e "migliorarlo", no?
O mi stai dicendo che in quest'ambito abbiamo raggiunto la meta? Nessuno ricerca più niente?
Chiaramente mi sto riferendo ad un linguaggio formale non al linguaggio naturale (che è ovviamente e naturalmente imperfetto)
@3m0o
Se vai avanti ancora un po' non avrai più variabili da usare
Comunque, non ho voglia di faticare nell'analizzare la tua ultima per confutarla, quindi hai vinto, anzi avete vinto (siamo nella stanza dei giochi, non dimenticatelo )
Però ...
Però, ti propongo un gioco (appunto), riprendendo l'esempio delle buste ...
Una persona scrive due numeri diversi, uno centuplo dell'altro, su due fogli e mette ciascun foglio in una busta.
Un numero, una busta. Chiusa ermeticamente.
Una seconda persona, che non conosce i numeri, che non ha assistito all'imbustamento, insomma completamente estranea, scrive casualmente una grande $X$ rossa su una delle due buste e scrive una grande $Y$ verde sull'altra busta.
Qui arriviamo io e te e prendiamo la busta con la $X$ (prendiamo sempre quella con la $X$).
La apriamo e leggiamo, entrambi, il numero scritto sul foglio contenuto nella busta con la grande $X$ rossa.
A questo punto ti faccio una proposta: se il numero nella busta $X$ è maggiore di quello nella busta $Y$ ti pago (in Euro non in un altra valuta ) la differenza tra i due numeri mentre se il numero nella busta $X$ è minore di quello nella busta $Y$, tu paghi a me la differenza tra i due.
Ci stai? Ci staresti? Tanto è uguale ...
Cordialmente, Alex
Non ho inteso quella scrittura di 3m0o come "per ogni coppia $x,y$ tale che ...", se intendeva quello, sono d'accordo.
"hydro":
Esiste un unico linguaggio, mi spiace deluderti.
Non è così, a me pare che tu sia troppo fondamentalista.
Tra le molte cose da dire, ne scelgo una: se esistesse un solo linguaggio "perfetto, fatto e finito", da tutti condiviso e recepito senza dubbi, non ci sarebbe bisogno di "perfezionarlo" e "migliorarlo", no?
O mi stai dicendo che in quest'ambito abbiamo raggiunto la meta? Nessuno ricerca più niente?
Chiaramente mi sto riferendo ad un linguaggio formale non al linguaggio naturale (che è ovviamente e naturalmente imperfetto)
@3m0o
Se vai avanti ancora un po' non avrai più variabili da usare
Comunque, non ho voglia di faticare nell'analizzare la tua ultima per confutarla, quindi hai vinto, anzi avete vinto (siamo nella stanza dei giochi, non dimenticatelo
)Però ...
Però, ti propongo un gioco (appunto), riprendendo l'esempio delle buste ...
Una persona scrive due numeri diversi, uno centuplo dell'altro, su due fogli e mette ciascun foglio in una busta.
Un numero, una busta. Chiusa ermeticamente.
Una seconda persona, che non conosce i numeri, che non ha assistito all'imbustamento, insomma completamente estranea, scrive casualmente una grande $X$ rossa su una delle due buste e scrive una grande $Y$ verde sull'altra busta.
Qui arriviamo io e te e prendiamo la busta con la $X$ (prendiamo sempre quella con la $X$).
La apriamo e leggiamo, entrambi, il numero scritto sul foglio contenuto nella busta con la grande $X$ rossa.
A questo punto ti faccio una proposta: se il numero nella busta $X$ è maggiore di quello nella busta $Y$ ti pago (in Euro non in un altra valuta
) la differenza tra i due numeri mentre se il numero nella busta $X$ è minore di quello nella busta $Y$, tu paghi a me la differenza tra i due.Ci stai? Ci staresti? Tanto è uguale ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="hydro"]Esiste un unico linguaggio, mi spiace deluderti.
Non è così, a me pare che tu sia troppo fondamentalista.
Tra le molte cose da dire, ne scelgo una: se esistesse un solo linguaggio "perfetto, fatto e finito", da tutti condiviso e recepito senza dubbi, non ci sarebbe bisogno di "perfezionarlo" e "migliorarlo", no?
O mi stai dicendo che in quest'ambito abbiamo raggiunto la meta? Nessuno ricerca più niente?
Chiaramente mi sto riferendo ad un linguaggio formale non al linguaggio naturale (che è ovviamente e naturalmente imperfetto)[/quote]
Parli come se fosse una mia opinione, ma non è così. Tutti i paper della storia della matematica sono scritti nello stesso linguaggio, che è quello dei quantificatori, degli insiemi e delle relazioni. Poi chiaramente esistono formulazioni equivalenti di uno stesso concetto, ma sono tutte quante scritte in quel linguaggio. Io non ti sto dicendo che esiste un unico modo di formalizzare quelle proposizioni, ti sto dicendo: scegli la tua interpretazione preferita, scrivila nel linguaggio dei quantificatori, degli insiemi e delle relazioni e vedrai che non c'è alcun paradosso.
"axpgn":
Però, ti propongo un gioco (appunto), riprendendo l'esempio delle buste ...
Mi sembra di ricordare che questo è stato ampiamente discusso di recente sul forum no? Ma il problema è sempre lo stesso: quando parli di valore atteso devi parlare di variabili aleatorie, perchè la definizione di valore atteso richiede la nozione di variabile aleatoria. Ora formalizza il problema, ovvero scrivi la variabile aleatoria di cui vuoi calcolare il valore atteso, poi calcolalo e vedrai che non c'è alcun paradosso.
Mi ripeto, lo so, ma la tua posizione (in merito al linguaggio) la trovo un po' troppo rigida come se, appunto, tutto fosse chiaro e codificato per bene; sarebbe questa la risposta alla mia domanda nel post precedente?
Non mi ero peraltro accorto di quanto fosse simile questa discussione a quelle delle due buste (ahi ahi
); comunque, in questo caso (intendo il "gioco" che ho proposto nell'ultimo post), mi interessa il comportamento e non l'aspetto matematico/probabilistico ovvero "che fareste?".
Perché uno fa tutte le sue elucubrazioni sensate ma poi esegue quello che ha pensato sia giusto fare o no?
Cordialmente, Alex
Non mi ero peraltro accorto di quanto fosse simile questa discussione a quelle delle due buste (ahi ahi
); comunque, in questo caso (intendo il "gioco" che ho proposto nell'ultimo post), mi interessa il comportamento e non l'aspetto matematico/probabilistico ovvero "che fareste?".Perché uno fa tutte le sue elucubrazioni sensate ma poi esegue quello che ha pensato sia giusto fare o no?
Cordialmente, Alex
Beh non accetterei ovviamente, più che altro perché c'è un rischio molto alto che debba pagare 100 volte la differenza (indipendentemente dal suo valore ) e non avendo informazioni sull'ordine di grandezza della differenza non accetterei mai.
A meno che l'euro non si svalutasse se non addirittura in un futuro ipotetico perdere totalmente il suo valore, siccome, e lo hai detto, bisogna pagare in euro
) e non avendo informazioni sull'ordine di grandezza della differenza non accetterei mai.A meno che l'euro non si svalutasse se non addirittura in un futuro ipotetico perdere totalmente il suo valore, siccome, e lo hai detto, bisogna pagare in euro
"axpgn":
Mi ripeto, lo so, ma la tua posizione (in merito al linguaggio) la trovo un po' troppo rigida come se, appunto, tutto fosse chiaro e codificato per bene; sarebbe questa la risposta alla mia domanda nel post precedente?
Allora, ci riprovo. Io NON sto sostenendo che nella vita si debba comunicare solo nel linguaggio della matematica. Sto sostenendo (ma di nuovo, non è una mia opinione) che SE tu formalizzi una proposizione nel linguaggio della matematica la formulazione è completamente priva di ambiguità. Se tu per qualche strano motivo credi che questa cosa sia falsa, ti invito a produrre un controesempio. Le proposizioni che hai riportato nel primo post nel modo in cui sono formulate NON sono dei controesempi perché NON sono formulate nel linguaggio dei quantificatori, degli insiemi e delle relazioni. La mia critica a questo supposto paradosso è che FINGE DI PRESENTARSI come una coppia di proposizioni e relative dimostrazioni formulate in modo rigoroso ma nella realtà NON LO FANNO. Tanto è vero che tu stesso, qualche post fa, hai ammesso di aver provato a formalizzarle e di non esserci riuscito. Dopodiché nel linguaggio comune i paradossi esistono, vedi per esempio il paradosso del mentitore, e le persone discutono di queste cose da millenni ma la discussione NON è di tipo matematico. Anzi, la matematica ha contribuito a "risolvere" questi paradossi, costruendo dei modelli in cui non lo sono.
"axpgn":
Non mi ero peraltro accorto di quanto fosse simile questa discussione a quelle delle due buste (ahi ahi
Perché uno fa tutte le sue elucubrazioni sensate ma poi esegue quello che ha pensato sia giusto fare o no?
Se la domanda è psicologica, allora nel momento in cui mi vengono offerti dei soldi gratis li prendo e corro via immediatamente più veloce possibile perché con la fortuna tipica che mi contraddistingue se cambiassi la busta nella seconda troverei una multa da pagare.
Ma al di là di questo, se la domanda è "cosa ti conviene fare nel lungo periodo" allora la risposta dipende da come vengono scelti i numeri. La questione è delicata, perché ad esempio se sono numeri naturali allora la distribuzione non può essere uniforme, quindi immagino ci sarà una strategia ottimale da seguire che dipende dalla distribuzione. Ma io sono una capra in probabilità, quindi non ho idea di come si risponda a questo tipo di domande. La cosa di cui sono sicuro è che anche questo problema una volta formalizzato, ovvero espresso nel linguaggio delle variabili aleatorie e delle distribuzioni (che, ti faccio notare, sono a loro volta esprimibili come quantificatori, insiemi e relazioni) non sarà più il paradosso che sembra.
"hydro":
Sto sostenendo (ma di nuovo, non è una mia opinione) che SE tu formalizzi una proposizione nel linguaggio della matematica la formulazione è completamente priva di ambiguità.
Ci riprovo anch'io visto che non riesco a farmi capire: io non contesto questo (anche se, secondo me, ci sarebbe un pochino da discutere sul "completamente priva") ma sul fatto che tu ritieni che quello sia l'unico linguaggio privo di ambiguità e non si possano usare altre "modalità" per trattare, con coerenza, argomenti anche complessi.
In questo senso, ritengo tu sia un poco rigido.
IMHO ovviamente.
"hydro":
Anzi, la matematica ha contribuito a "risolvere" questi paradossi, costruendo dei modelli in cui non lo sono.
Non proprio, nel senso che la Matematica ha, eventualmente, risolto i modelli del problema che si è costruita, non necessariamente il problema.
Ma non è detto che se non posso risolverlo in modo "matematico" non lo possa risolvere "assolutamente" per altre vie.
"hydro":
La cosa di cui sono sicuro è che anche questo problema una volta formalizzato, ovvero espresso nel linguaggio delle variabili aleatorie e delle distribuzioni (che, ti faccio notare, sono a loro volta esprimibili come quantificatori, insiemi e relazioni) non sarà più il paradosso che sembra.
Certamente ma solo perché lo hai trasformato a tuo uso e consumo (come sta facendo imperterrito 3m0o
- perdonami 3m0o, è solo una battuta, lo sai che ammiro l'impegno (fin troppo) che ci metti sempre); è però ancora il problema originale? Quest'ultimo è sicuramente irrisolvibile altrimenti?Io non ne sarei sicuro, tu sì
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="hydro"] Sto sostenendo (ma di nuovo, non è una mia opinione) che SE tu formalizzi una proposizione nel linguaggio della matematica la formulazione è completamente priva di ambiguità.
Ci riprovo anch'io visto che non riesco a farmi capire: io non contesto questo (anche se, secondo me, ci sarebbe un pochino da discutere sul "completamente priva") ma sul fatto che tu ritieni che quello sia l'unico linguaggio privo di ambiguità e non si possano usare altre "modalità" per trattare, con coerenza, argomenti anche complessi.
In questo senso, ritengo tu sia un poco rigido.
IMHO ovviamente.[/quote]
Ah ok, ora ho capito cosa vuoi dire. No io non sostengo questo, sostengo che può darsi che tu possa anche fare altre cose, ma non è più matematica, e a me personalmente interessa poco. E soprattutto non è più un "gioco matematico".
"axpgn":
[quote="hydro"]Anzi, la matematica ha contribuito a "risolvere" questi paradossi, costruendo dei modelli in cui non lo sono.
Non proprio, nel senso che la Matematica ha, eventualmente, risolto i modelli del problema che si è costruita, non necessariamente il problema.
[/quote]
Certo, è per questo che "risolvere" è tra virgolette.
"axpgn":
[quote="hydro"]La cosa di cui sono sicuro è che anche questo problema una volta formalizzato, ovvero espresso nel linguaggio delle variabili aleatorie e delle distribuzioni (che, ti faccio notare, sono a loro volta esprimibili come quantificatori, insiemi e relazioni) non sarà più il paradosso che sembra.
Certamente ma solo perché lo hai trasformato a tuo uso e consumo (come sta facendo imperterrito 3m0o
- perdonami 3m0o, è solo una battuta, lo sai che ammiro l'impegno (fin troppo) che ci metti sempre); è però ancora il problema originale? Quest'ultimo è sicuramente irrisolvibile altrimenti?Io non ne sarei sicuro, tu sì
[/quote]
Il punto è che senza un modello non ambiguo del problema è proprio inutile parlarne, per me. Possiamo stare anche 100 anni a discutere di cosa volesse dire l'oracolo quando ripose "ibis redibis non morieris in bello", ma non arriveremo mai ad un punto perchè la formulazione è VOLUTAMENTE ambigua. Il bello della matematica, per me, è che le dimostrazioni sono incontrovertibili, non si può discuterne. Filosofeggiare è uno sport completamente diverso.
Ok, il tuo punto di vista mi è chiaro (anche prima )
Provo ad andare oltre ...
Un problema (reale, diciamo), in generale, non nasce ben definito, con tutte le condizioni al loro posto e senza informazioni superflue, quindi si prova a semplificarlo, a schematizzarlo, a modellizzarlo, eliminando ciò che non conta, che non serve.
E quindi si fanno delle scelte.
Questo non è "filosofeggiare"? Questa "parte" non è Matematica? E se non lo è, ti dedichi solo a problemi già ben definiti?
Cordialmente, Alex
)Provo ad andare oltre ...
Un problema (reale, diciamo), in generale, non nasce ben definito, con tutte le condizioni al loro posto e senza informazioni superflue, quindi si prova a semplificarlo, a schematizzarlo, a modellizzarlo, eliminando ciò che non conta, che non serve.
E quindi si fanno delle scelte.
Questo non è "filosofeggiare"? Questa "parte" non è Matematica? E se non lo è, ti dedichi solo a problemi già ben definiti?
Cordialmente, Alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo