Sommatoria per $[nx]$
Sia $x$ un numero reale positivo e $$ la parte intera inferiore, dimostrare che per ogni $n in NN$ vale
$[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$
stavolta non posterò alcuna soluzione
... perchè non ce ne sarà bisogno 
$[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$
stavolta non posterò alcuna soluzione
... perchè non ce ne sarà bisogno
Risposte
"carlo23":
e $$ la parte intera inferiore
$[*]$vuol dire che x è moltiplicato con n($inNN$)-, giusto??
"fu^2":
[quote="carlo23"]e $$ la parte intera inferiore
$
Non capisco cosa tu intenda, in ogni caso mi rispiego: con $[x]$ intendo la parte intera inferiore di $x$ ovvero il più grande intero minore di $x$, ad esempio $[3.1]=3$ oppure $[17.88]=17$.
ok ora ho compreso...
allora la mia proposta di soluzione è:
come detto $[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$
quindi $[nx]=sum_(n=0)^(n)[x+(n-1)/n]
da notare che $(n-1)/n<1 AAninNN$, essendo sempre minore di uno, qualsiasi cifra gli aggiungiamo a x, il valore di [x+k]= alla parte intera più piccola di x. quindi k (k=(n-1)/n) diventa superfluo.
la sommatoria può essere riscritta come $sum_(n=0)^(n)[x]=[nx]$ l'ipotesi è dimostrata, giusto?
come detto $[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$
quindi $[nx]=sum_(n=0)^(n)[x+(n-1)/n]
da notare che $(n-1)/n<1 AAninNN$, essendo sempre minore di uno, qualsiasi cifra gli aggiungiamo a x, il valore di [x+k]= alla parte intera più piccola di x. quindi k (k=(n-1)/n) diventa superfluo.
la sommatoria può essere riscritta come $sum_(n=0)^(n)[x]=[nx]$ l'ipotesi è dimostrata, giusto?
Secondo me, hai capito male il problema.. Da dove derivano quelle somme infinite?
Io ho ragionato cosi'
$x=a,b => [n(a,b)]=an+[n*0,b]$. Per cui
$sum_(i=1)^(n-1) [(i+n*0,b)/n]=[n*0,b]$.
Il risultato della sommatoria e' il numero di volte in cui $(i+n*0,b)>=n$, dunque se $c<=(n*0,b)<=d$, il risultato della sommatoria e' $n-c$, cioe' la parte intera di $n*0,b$.
Io ho ragionato cosi'
$x=a,b => [n(a,b)]=an+[n*0,b]$. Per cui
$sum_(i=1)^(n-1) [(i+n*0,b)/n]=[n*0,b]$.
Il risultato della sommatoria e' il numero di volte in cui $(i+n*0,b)>=n$, dunque se $c<=(n*0,b)<=d$, il risultato della sommatoria e' $n-c$, cioe' la parte intera di $n*0,b$.
si ho sbagliato, ma nn cambia la sostanza... al posto di sommatorie infinite ho corretto con sommatori da 0 a n.. mi son comnfuso un attimo, ma per il resto della dimostrazione mi sembra che sta in piedi, ora ho editato correggendo..
"Crook":
Secondo me, hai capito male il problema.. Da dove derivano quelle somme infinite?
Si, certamente non ha capito la sua soluzione non è corretta.
Io ho ragionato cosi'
$x=a,b => [n(a,b)]=an+[n*0,b]$. Per cui
$sum_(i=1)^(n-1) [(i+n*0,b)/n]=[n*0,b]$.
Il risultato della sommatoria e' il numero di volte in cui $(i+n*0,b)>=n$, dunque se $c<=(n*0,b)<=d$, il risultato della sommatoria e' $n-c$, cioe' la parte intera di $n*0,b$.
Non so se è corretto, potresti spiegarti un pò meglio e non usare la notazione $a,b$ che è decisamente ambigua, tipo $a=3$ e $b=10$ significa che $a,b=3.10=3.1$ oppure che $a,b=4$? Piuttosto considera che ogni reale $x$ si può scrivere come $m+epsilon$ con $n in Z$ e $epsilon in [0,1[$.
da come avevo capito io $[x]$ come hai detto te è la parte intera minore cioè
$[15.99]=15$,$[16.34]=16$
allora $[x+(n-1)/n] $ è equivalente a scrivere $[x]$, quindi se $[nx]$ è uguale alla somma che hai detto, tutta quella somma può essere riscritta in una sommatoria e visto l'equivalenza sopra citata, quella sommatoria è uguale a $[nx]$, dov'è che ho sbagliato nella dimostrazione?,,,
$[15.99]=15$,$[16.34]=16$
allora $[x+(n-1)/n] $ è equivalente a scrivere $[x]$, quindi se $[nx]$ è uguale alla somma che hai detto, tutta quella somma può essere riscritta in una sommatoria e visto l'equivalenza sopra citata, quella sommatoria è uguale a $[nx]$, dov'è che ho sbagliato nella dimostrazione?,,,
c'è che x non è intero ma reale....
"fu^2":
allora $[x+(n-1)/n] $ è equivalente a scrivere $[x]$
poniamo $n=2$ e $x=1.7$. Abbiamo $[x+(n-1)/n]=[1.7+0.5]=[2.2]=2$ mentre $[x]=[1.7]=1$
giusto giusto...nn avevo pensato a questo...
Anch'io avevo dato una risposta simile alla tua ma poi ho concellato il post 
ancora non sono arrivato a una dimostrazione totale, comunque ho trovato una soluzione per (chiamo la parte decimale di $x$, $decx$):
$decx<1/n$ (ovviamente x è fissato quindi sarebbe più corretto dire per ogni $n$ t.c. $n<[1/(decx)]$)...
ma mi mancano ancora un po' di casi...più o meno aleph-zero...
a presto
ciao
$decx<1/n$ (ovviamente x è fissato quindi sarebbe più corretto dire per ogni $n$ t.c. $n<[1/(decx)]$)...
ma mi mancano ancora un po' di casi...più o meno aleph-zero...
a presto
ciao
"jack":
ancora non sono arrivato a una dimostrazione totale
Direi neanche a una dimostrazione parziale
Abbandonate l'idea di parte decimale di $x$, ricordate che le proprietà dei numeri restano le stesse indipendentemente dal modo in cui si scrivano (se in base 10, in base 2, con la notazione romana o egizia...)
ma non è falsa questa uguaglianza? prendiamo $x=2.2$ $n=3$ $[nx]=6$ $[x+1/3]=2 $ $[x+2/3]=2$ 6=4?
"blackdie":
ma non è falsa questa uguaglianza? prendiamo $x=2.2$ $n=3$ $[nx]=6$ $[x+1/3]=2 $ $[x+2/3]=2$ 6=4?
Attento che dimentichi $[x]$, infatti $[3x]=[x]+[x+1/3]+[x+2/3]$
"carlo23":
[quote="blackdie"]ma non è falsa questa uguaglianza? prendiamo $x=2.2$ $n=3$ $[nx]=6$ $[x+1/3]=2 $ $[x+2/3]=2$ 6=4?
Attento che dimentichi $[x]$, infatti $[3x]=[x]+[x+1/3]+[x+2/3]$[/quote]
cavolo...chiedo scusa
aaaa--- ho finalmente capito la consegna ehehe è stata dura, ma alla fine ho compreso tutto
ora posso iniziare a ragionare alla soluzione... all'inizio l'avevo compreso male... ecco pech+è ho cannato tutte le dim che ho fatto prima
ora posso iniziare a ragionare alla soluzione... all'inizio l'avevo compreso male... ecco pech+è ho cannato tutte le dim che ho fatto prima
"fu^2":
aaaa--- ho finalmente capito la consegna ehehe è stata dura, ma alla fine ho compreso tutto
ora posso iniziare a ragionare alla soluzione... all'inizio l'avevo compreso male... ecco pech+è ho cannato tutte le dim che ho fatto prima
Non posso che augurarti buona fortuna
e suggerire in tal caso ai più esperti di postare la soluzione in piccolo così da permettere a te e ad altri di cimentarsi
ho riprovato a partire daccapo, ma ancora non sono arrivato a una dimostrazione...però forse ho fatto qualche passo avanti...
allora, innanzitutto consideriamo i membri destro e sinistro dell'uguaglianza...entrambi sono riscrivibili come:
$[nx]=n[x]+n-k$ e
$sum_(i=0)^n[x +i/n]=n[x]+n-j$ dove ovviamente j e k sono numeri (interi) che dipendono da x e n; per j, possiamo affermare che $j=sum_(i=0)^n[xmod1+i/n]$ per k ancora non ho trovato niente di buono (ed è qui che salta tutto)...
sono sulla buona strada?qualcuno ha qualche suggerimento?
intanto mi prendo una pausetta....
ciao
allora, innanzitutto consideriamo i membri destro e sinistro dell'uguaglianza...entrambi sono riscrivibili come:
$[nx]=n[x]+n-k$ e
$sum_(i=0)^n[x +i/n]=n[x]+n-j$ dove ovviamente j e k sono numeri (interi) che dipendono da x e n; per j, possiamo affermare che $j=sum_(i=0)^n[xmod1+i/n]$ per k ancora non ho trovato niente di buono (ed è qui che salta tutto)...
sono sulla buona strada?qualcuno ha qualche suggerimento?
intanto mi prendo una pausetta....
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo