Sommatoria per $[nx]$

[carlo232]

Sia $x$ un numero reale positivo e $

$ la parte intera inferiore, dimostrare che per ogni $n in NN$ vale

$[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$

stavolta non posterò alcuna soluzione ... perchè non ce ne sarà bisogno

[fu^2]

quindi si può riscrivere tranquillamente come
$[nx]=sum_(m=1)^n[x+(m-1)/n]$
che è equivalente a $[nx]=sum_(m=1)^n[(nx+m-1)/n]$

la farzione $[(nx+m-1)/n]<=[n(x+1)]AA_x$, visto che $0<=(m-1)/n<1$

dl momento che m=n a fine sommatoria, possiamo scrivere:
$[x+(n(1-1/n))/n]=[x+1-1/n]$ e questo è il valore massimo a cui può arrivare.

quindi $[x]<=[x+(m-1)/n]<=[x+1-1/n]$

e qui son bloccato da 20min

[Aethelmyth]

Forse ci sono
Prendo in prestito la scrittura $[nx]=sum_(m=1)^n[x+(m-1)/n]$ come base per la dimostrazione.
Poniamo $decx<1/n$. In tal caso $[x+1-1/n]$, che è il valore più alto tra tutti i $[x+(m-1)/n]$ per $1<=m<=n$, sarà uguale ad $x$ perchè $(n-1)/n+decx<1$ e quindi $decx<1/n$. Possiamo allora scrivere $[n([x]+decx)]=[x]$, infatti se $decx<1/n$ allora $n(decx) Possiamo affermare inoltre che qualsiasi valore assuma $decx$ sarà necessariamente $(p-1)/n1$ solo in $p-1$ casi. Resta da dimostrare che $[n([x]+decx)]-p+1=n[x]$. Ma essendo $(p-1)/n Mi sa che c'è un passaggio non troppo chiaro e qualcuno inutile, ma spero sia esauriente .

Edit: Corretto

[fu^2]

"Aethelmyth":Forse ci sono
Resta da dimostrare che $[n([x]+decx)]-p+1=n[x]$. Ma essendo $(p-1)/n Mi sa che c'è un passaggio non troppo chiaro e qualcuno inutile, ma spero sia esauriente .

la parte che mancava a me ... però non mi è prorpio chiarissima... soprattutto l'ultima riga,...

[TomSawyer1]

"Aethelmyth":In tal caso $[x+1-1/n]$, che è il valore più alto tra tutti i $[x+(m-1)/n]$ per $1<=m<=n$, sarà uguale ad $x$ perchè $(n-1)/n+decx<1$ e quindi $decx<1/n$. Possiamo allora scrivere $[n([x]+decx)]=x$, infatti se $decx<1/n$ allora $n(decx)

$[x+1-1/n]$ non puo' essere uguale ad $x$. Primo perche' se $x$ e' reale non intero e' chiaramente falsa; secondo perche' e' uguale a $[x-1/n]+1$.

[Aethelmyth]

Ma se $decx<1/n$, come avevo detto prima, allora si che $[x+1-1/n]=[x]$, perchè di può scrivere come $[[x]+1+decx-1/n]$ e dato che $[decx-1/n<0]$ risulta $[[x]+p]$ con $0
Edit: Corretto

[TomSawyer1]

Allora, $x=m+epsilon$, con $epsilon<1/n$. Come fa $[x+1-1/n]$, che è un numero intero, ad essere uguale a $x$, quando $x$ è reale non intero?

[Aethelmyth]

hai ragione è uguale a $[x]

[Aethelmyth]

"fu^2":[quote="Aethelmyth"]Forse ci sono
Resta da dimostrare che $[n([x]+decx)]-p+1=n[x]$. Ma essendo $(p-1)/n Mi sa che c'è un passaggio non troppo chiaro e qualcuno inutile, ma spero sia esauriente .

la parte che mancava a me ... però non mi è prorpio chiarissima... soprattutto l'ultima riga...[/quote]

Ho affermato che $sum_(m=1)^n[x+(m-1)/n]=n[x]+p-1$ che deve essere uguale, per ipotesi del quesito, a $[nx]$. Quindi, dato che posso scrivere $[nx]$ come $[n([x]+decx)]$, devo solo dimostrare che $[nx]=n[x]+p-1$, cioè $[n([x]+decx)]-p+1=n[x]$.
Dato che $(p-1)/n Spero vada meglio così

[fu^2]

ok ora ho capito

[TomSawyer1]

Secondo me è sbagliata, Aethelmyth. Tu praticamente dici che il numero di casi in cui $decx+(m-1)/n>1$ è $p-1$, poi arrivi a dimostrare che $n[x]+p-1=[nx]$ sostituendo a $p-1$ la parte intera di $ndecx$. In poche parole, il gatto si morde la coda .

[Aethelmyth]

Forse devo dimostrare che il numero di casi in cui $decx+(m-1)/n>1$ è $p-1$, ma per il resto mi sembra coerente. Arrivo a dire che $[n(decx)]=p-1$ in maniera diversa dalla parte che ho citato sopra, la quale dovrebbe essere più una constatazione che altro.

[TomSawyer1]

Non e' diversa la maniera in cui dici definisci $p-1$. Concettualmente e' vero, ma secondo me non costituisce una dimostrazione. E' semplicemente un dato di fatto.

[carlo232]

"carlo23":Sia $x$ un numero reale positivo e $

$ la parte intera inferiore, dimostrare che per ogni $n in NN$ vale

$[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$

Riquoto, il problema non era male...

[Aethelmyth]

Vuol dire ke le soluzioni date non sono esaurienti?

[carlo232]

"Aethelmyth":Vuol dire ke le soluzioni date non sono esaurienti?

Ho capito ben poco, sarebbe più bello avere la soluzione tutta scritta in un pezzo solo e con notazioni usuali.

[TomSawyer1]

"Aethelmyth":Vuol dire ke le soluzioni date non sono esaurienti?

Io ti ho gia' detto perche' secondo me non e' una soluzione, ma solo una costatazione.

[Aethelmyth]

"Crook":[quote="Aethelmyth"]Vuol dire ke le soluzioni date non sono esaurienti?

Io ti ho gia' detto perche' secondo me non e' una soluzione, ma solo una costatazione.[/quote]
Forse ho capito. Riscrivo tutto per bene.

Da dimostrare è la formula $[nx]=sum_(m=1)^n[x+(m-1)/n]$ per $x in RR$ e $n in NN$, con $

$ parte intera inferiore.

Chiamiamo $decx$ la parte decimale di x. In quanto tale (numero reale compreso tra 0 e 1) potrà essere definito come $(p-1)/n Per $1=n$ in un solo caso, $(m-1)+2>=n$ in due casi, $(m-1)+p-1>=n$ in p-1 casi ovvero $(m-1)+p>=n+1$ in p-1 casi.
Quindi $sum_(m=1)^n[x+(m-1)/n]=n[x]+p-1$
Allora possiamo riscrivere la nostra ipotesi come $[nx]=n[x]+p-1$, ovvero $[n([x]+decx)]=n[x]+p-1$ quindi come $[n[x]+ndecx]=n[x]+p-1$.
Consideriamo allora una nostra precedente affermazione secondo cui $(p-1)/n
Spero sia esatta e chiara ora

[fu^2]

però x deve essere anche maggiore di uno, se no non vale la sommatoria...

cioè prendiamo $x=0.6$ e $n=4$

avremo $[4*0.6]=[0.6]+[0.6+1/2]+[0.6+2/3]+[0.6+3/4]$

quindi risulta $2=0+1+1+1$ che è impossibile e quindi non vale l'uguaglianza da verificare...

quindi $x>=1$, altrimenti avrei trovato un controesempio e l'ipotesi sarebbe quindi falsa, o no?
però l'ipotesi iniziale dice un x generico $inRR$, quindi essa è falsa come ipotesi... o ho sbagliato a far i calcoli?non mi sembra però..

[Aethelmyth]

"fu^2":però x deve essere anche maggiore di uno, se no non vale la sommatoria...

cioè prendiamo $x=0.6$ e $n=4$

avremo $[4*0.6]=[0.6]+[0.6+1/2]+[0.6+2/3]+[0.6+3/4]$

quindi risulta $2=0+1+1+1$ che è impossibile e quindi non vale l'uguaglianza da verificare...

quindi $x>=1$, altrimenti avrei trovato un controesempio e l'ipotesi sarebbe quindi falsa, o no?
però l'ipotesi iniziale dice un x generico $inRR$, quindi essa è falsa come ipotesi... o ho sbagliato a far i calcoli?non mi sembra però..

Non è $[4*0.6]=[0.6]+[0.6+1/2]+[0.6+2/3]+[0.6+3/4]$ ma $[4*0.6]=[0.6]+[0.6+1/4]+[0.6+2/4]+[0.6+3/4]$ ovvero 2=0+0+1+1

[fu^2]

a ok...