Sommatoria per $[nx]$

[carlo232]

Sia $x$ un numero reale positivo e $

$ la parte intera inferiore, dimostrare che per ogni $n in NN$ vale

$[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$

stavolta non posterò alcuna soluzione ... perchè non ce ne sarà bisogno

[Sk_Anonymous]

"carlo23":Sia $x$ un numero reale positivo e $

$ la parte intera inferiore, dimostrare che per ogni $n in NN$ vale $[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$

Wlog, ammettiamo $0 < x < 1$. Per il principio dei piccioni, esiste allora $m = 0, 1, ..., n-1$ tale che $\frac{m}{n} \le x < \frac{m+1}{n}$, per cui $[nx] = m$ e $\frac{m+k}{n} \le x + \frac{k}{n} < \frac{m+k+1}{n}$, per ogni $k = 0, 1, ..., n-1$. In particolare, $\frac{m+k}{n} \ge 1$ sse $k \ge n-m$, i.e. esattamente per $m$ valori distinti di $k$, e di preciso per $k = n-m, n-m+1, ..., n-1$. Se inoltre $\frac{m+k}{n} < 1$, allora $\frac{m+k+1}{n} \le 1$. Essendo $k = 0, 1, ..., n-1$, ne discende che $[x + k/n] = 1$ sse $k = n-m, n-m+1, ..., n-1$, perciocché $[x] + [x+1/n] + ... + [x+(n-1)/n] = m = [nx]$, q.e.d.

[fu^2]

"DavidHilbert":[quote="carlo23"]Sia $x$ un numero reale positivo e $

$ la parte intera inferiore, dimostrare che per ogni $n in NN$ vale $[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$

Wlog, ammettiamo $0 < x < 1$. Per il principio dei piccioni, esiste allora $m = 0, 1, ..., n-1$ tale che $\frac{m}{n} \le x < \frac{m+1}{n}$, per cui $[nx] = m$ e $\frac{m+k}{n} \le x + \frac{k}{n} < \frac{m+k+1}{n}$, per ogni $k = 0, 1, ..., n-1$. In particolare, $\frac{m+k}{n} \ge 1$ sse $k \ge n-m$, i.e. esattamente per $m$ valori distinti di $k$, e di preciso per $k = n-m, n-m+1, ..., n-1$. Se inoltre $\frac{m+k}{n} < 1$, allora $\frac{m+k+1}{n} \le 1$. Essendo $k = 0, 1, ..., n-1$, ne discende che $[x + k/n] = 1$ sse $k = n-m, n-m+1, ..., n-1$, perciocché $[x] + [x+1/n] + ... + [x+(n-1)/n] = m = [nx]$, q.e.d.[/quote]

che cos'è il principio dei piccioni?...

[Sk_Anonymous]

"fu^2":
che cos'è il principio dei piccioni?...

Principio dei piccioni (o boxing-in principle di Dirichlet): sia $n$ un intero positivo. Se $n+1$ piccioni devono sistemarsi in $n$ piccionaie, allora una fra le piccionaie dovrà a forza contenere almeno due piccioni.

[giuseppe87x]

"DavidHilbert":[quote="fu^2"]
che cos'è il principio dei piccioni?...

Principio dei piccioni (o boxing-in principle di Dirichlet): sia $n$ un intero positivo. Se $n+1$ piccioni devono sistemarsi in $n$ piccionaie, allora una fra le piccionaie dovrà a forza contenere almeno due piccioni.[/quote]

Forse fu^2 lo conosce meglio come principio del pigeonhole.

[fu^2]

"giuseppe87x":[quote="DavidHilbert"][quote="fu^2"]
che cos'è il principio dei piccioni?...

Principio dei piccioni (o boxing-in principle di Dirichlet): sia $n$ un intero positivo. Se $n+1$ piccioni devono sistemarsi in $n$ piccionaie, allora una fra le piccionaie dovrà a forza contenere almeno due piccioni.[/quote]

Forse fu^2 lo conosce meglio come principio del pigeonhole.[/quote]

nn lo conoscevo in nessuno dei due modi ora lo conosco in entrambi però

[carlo232]

"DavidHilbert":[quote="carlo23"]Sia $x$ un numero reale positivo e $

$ la parte intera inferiore, dimostrare che per ogni $n in NN$ vale $[nx]=[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+...+[x+(n-1)/n]$

Wlog, ammettiamo $0 < x < 1$. Per il principio dei piccioni, esiste allora $m = 0, 1, ..., n-1$ tale che $\frac{m}{n} \le x < \frac{m+1}{n}$, per cui $[nx] = m$ e $\frac{m+k}{n} \le x + \frac{k}{n} < \frac{m+k+1}{n}$, per ogni $k = 0, 1, ..., n-1$. In particolare, $\frac{m+k}{n} \ge 1$ sse $k \ge n-m$, i.e. esattamente per $m$ valori distinti di $k$, e di preciso per $k = n-m, n-m+1, ..., n-1$. Se inoltre $\frac{m+k}{n} < 1$, allora $\frac{m+k+1}{n} \le 1$. Essendo $k = 0, 1, ..., n-1$, ne discende che $[x + k/n] = 1$ sse $k = n-m, n-m+1, ..., n-1$, perciocché $[x] + [x+1/n] + ... + [x+(n-1)/n] = m = [nx]$, q.e.d.[/quote]

Ecco, questa è una dimostrazione ben fatta.

[Sk_Anonymous]

@carlo23: troppo buono!