Ipotesi di trisezione di un angolo qualsiasi
approssimazioni di trisezione , con riga e compasso
sono solo buone approssimazioni,
http://immagini.p2pforum.it/out.php/i11 ... ecante.jpg" alt="" />
http://immagini.p2pforum.it/out.php/i11 ... gproc..jpg" alt="" />
OGGETTO
“ trisezione dell’angolo”
Si può dividere in tre parti uguali un qualsiasi angolo dato , con riga e compasso ? seguendo le regole di procedura di tale esecuzione ? (cioè usando questi strumenti secondo i principi euclidei )?
Matematicamente è impossibile , d’accordo, ma spero non ci venga privato il piacere di verificare questa impossibilità.
Quindi un po’ la curiosità, un po’ per gioco, ecc…. ho voluto provare anch’io ,
sono solo buone approssimazioni,
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http://immagini.p2pforum.it/out.php/i11 ... gproc..jpg" alt="" />
OGGETTO
“ trisezione dell’angolo”
Si può dividere in tre parti uguali un qualsiasi angolo dato , con riga e compasso ? seguendo le regole di procedura di tale esecuzione ? (cioè usando questi strumenti secondo i principi euclidei )?
Matematicamente è impossibile , d’accordo, ma spero non ci venga privato il piacere di verificare questa impossibilità.
Quindi un po’ la curiosità, un po’ per gioco, ecc…. ho voluto provare anch’io ,
Risposte
perchè non fai un disegno o più disegni dove illustri il tuo metodo? puoi usare autocad o semplicemente paint, e poi uppare le immagini su imageshack.us
ciao, infatti il disegno , anzi più disegni l'ho già fatti appunto con autocad , ma non sò come inserirli e non ho proprio idea del metodo che tu dici.
"kidwest":
7) tracciare le rette CD e DB e tracciarne il punto medio M tracciando le rette L L ed L” L” date rispettivamente dalle circonferenze di centro C e D e di centro B e D
Scusa, ma non capisco chi sono M L L e L'' L''... M è il punto medio di cosa? indica esplicitamente per quali punti passano le rette L L e L'' L''. iao
"kidwest":
7) tracciare le rette CD e DB e tracciarne il punto medio M tracciando le rette L L ed L” L” date rispettivamente dalle circonferenze di centro C e D e di centro B e D
Scusa, ma non capisco chi sono M L L e L'' L''... M è il punto medio di cosa? indica esplicitamente per quali punti passano le rette L L e L'' L''. iao
se tu sei capace potrei inviarlo a te , l'ho salvato in formato pagina web e potresti inserirlo tu , cosa ne dici?[/img]
M e il punto medio delle rette CD e BD, LL sono le intersezione della circonferenza di centro C e di centro D , L"L" sono le intersezioni della circonferenza di centro B e di centro D, che appunto servono a tracciare il punto medio delle rette CD e BD,
comunque se non si capisce quali sono i punti LL ed L"L" puoi farne a meno perchè ti basta tracciare il punto medio sulle rette CD e BD nel modo che conosci.
comunque se non si capisce quali sono i punti LL ed L"L" puoi farne a meno perchè ti basta tracciare il punto medio sulle rette CD e BD nel modo che conosci.
"kidwest":
M e il punto medio delle rette CD e BD, LL sono le intersezione della circonferenza di centro C e di centro D , L"L" sono le intersezioni della circonferenza di centro B e di centro D, che appunto servono a tracciare il punto medio delle rette CD e BD,
comunque se non si capisce quali sono i punti LL ed L"L" puoi farne a meno perchè ti basta tracciare il punto medio sulle rette CD e BD nel modo che conosci.
Cosa intendi per punto medio di due rette?
intendo dire , il punto medio di ognuna , non di due rette
"kidwest":
intendo dire , il punto medio di ognuna , non di due rette
Ok, quindi tu dici che esiste un punto M che è punto medio sia del segmento CD che del segmento BD? se è così non mi torna...
Ma la trisezione dell'angolo con riga e compasso non era stata dimostrata essere impossibile? ( Salvo alcuni, particolarissimi casi...)
certo, però vi invito ad eseguire questa procedura, è abbastanza semplice , con un programma di disegno ci si impiega un minuto, poi mi dite cosa ottenete e se riuscite a trovarne una qualche incongruenza, anche ingrandendo molto il disegno che eseguirete, chiaramente che non sia matematica
per quanto riguarda il punto medio M , non è il punto medio comune ad entrambe le rette ,ma è il punto medio di ognuna di esse, che poi vanno uniti da un'altra retta così si ottiene il punto O sulla bisettrice. Peccato che non mi riesce di inserire il disegno, sarebbe stato molto più semplice capire la procedura, anche se non mi sembra essere difficile.
per quanto riguarda il punto medio M , non è il punto medio comune ad entrambe le rette ,ma è il punto medio di ognuna di esse, che poi vanno uniti da un'altra retta così si ottiene il punto O sulla bisettrice. Peccato che non mi riesce di inserire il disegno, sarebbe stato molto più semplice capire la procedura, anche se non mi sembra essere difficile.
"kidwest":
certo, però vi invito ad eseguire questa procedura, è abbastanza semplice , con un programma di disegno ci si impiega un minuto, poi mi dite cosa ottenete e se riuscite a trovarne una qualche incongruenza, anche ingrandendo molto il disegno che eseguirete, chiaramente che non sia matematica
per quanto riguarda il punto medio M , non è il punto medio comune ad entrambe le rette ,ma è il punto medio di ognuna di esse, che poi vanno uniti da un'altra retta così si ottiene il punto O sulla bisettrice. Peccato che non mi riesce di inserire il disegno, sarebbe stato molto più semplice capire la procedura, anche se non mi sembra essere difficile.
Non ne capisco l'utilità...
La dimostrazione algebrica dell'impossibilità è pure abbastanza semplice... perchè ostinarsi a fare una cosa che nn porterà a nulla?
" spassky ha scritto:
Non ne capisco l'utilità...
La dimostrazione algebrica dell'impossibilità è pure abbastanza semplice... perchè ostinarsi a fare una cosa che nn porterà a nulla? "
Anche questo è vero, ma non credo di ostinarmi, “ si fanno tante cose inutilmente”, forse anche imparare la matematica visto che la maggioranza degli studenti , terminati gli studi, dopo qualche anno si dimenticano quasi del tutto quello che hanno imparato , a meno che non gli serva per il lavoro.
Non ne capisco l'utilità...
La dimostrazione algebrica dell'impossibilità è pure abbastanza semplice... perchè ostinarsi a fare una cosa che nn porterà a nulla? "
Anche questo è vero, ma non credo di ostinarmi, “ si fanno tante cose inutilmente”, forse anche imparare la matematica visto che la maggioranza degli studenti , terminati gli studi, dopo qualche anno si dimenticano quasi del tutto quello che hanno imparato , a meno che non gli serva per il lavoro.
"kidwest":
" spassky ha scritto:
Non ne capisco l'utilità...
La dimostrazione algebrica dell'impossibilità è pure abbastanza semplice... perchè ostinarsi a fare una cosa che nn porterà a nulla? "
Anche questo è vero, ma non credo di ostinarmi, “ si fanno tante cose inutilmente”, forse anche imparare la matematica visto che la maggioranza degli studenti , terminati gli studi, dopo qualche anno si dimenticano quasi del tutto quello che hanno imparato , a meno che non gli serva per il lavoro.
Imparare la matematica non è inutile. Cercare di dimostrare qualcosa che è stato dimostrato essere impossibile, forse si.
"spassky ha scritto
Imparare la matematica non è inutile. Cercare di dimostrare qualcosa che è stato dimostrato essere impossibile, forse si ."
non è quello che ho voluto dire, anche per me è come dici tu, non fosse altro perchè ti insegna a ragionare con la tua testa e non a imparare solo cose a memoria. però c'è il" fatto" che con le circonferenze si possono ottenere numeri impensabili, penso sarai d'accordo.
Imparare la matematica non è inutile. Cercare di dimostrare qualcosa che è stato dimostrato essere impossibile, forse si ."
non è quello che ho voluto dire, anche per me è come dici tu, non fosse altro perchè ti insegna a ragionare con la tua testa e non a imparare solo cose a memoria. però c'è il" fatto" che con le circonferenze si possono ottenere numeri impensabili, penso sarai d'accordo.
"kidwest":
per quanto riguarda il punto medio M , non è il punto medio comune ad entrambe le rette ,ma è il punto medio di ognuna di esse, che poi vanno uniti da un'altra retta così si ottiene il punto O sulla bisettrice. Peccato che non mi riesce di inserire il disegno, sarebbe stato molto più semplice capire la procedura, anche se non mi sembra essere difficile.
Quindi tu chiami M il punto medio del segmento CD, M' il punto medio del segmento BD e chiami O il punto di intersezione tra la retta passante per M e M' e la retta passante per AD?
no, ho inserito dei link per vedere il disegno, guardali così capirai.
M" è il punto medio della retta A O,
mentre M è il punto medio della retta AC e della retta AB , ma sono due punti medi distinti e separati
M" è il punto medio della retta A O,
mentre M è il punto medio della retta AC e della retta AB , ma sono due punti medi distinti e separati
"kidwest":
mentre M è il punto medio della retta AC e della retta AB , ma sono due punti medi distinti e separati
ok; di solito è meglio non indicare con la stessa lettera due punti distinti...
Hai calcolato l'ampiezza dei tre angoli che ottieni in funzione dell'angolo dato?
Evidentemente c'è un errore da qualche parte, visto che come ben sai è stata dimostrata l'impossibilità di tale costruzione.
Si tratta di trovarlo.
Provo a rifare passo a passo con Cabri.
Immagino che per intersezione tu intenda vertice dell'angolo.
Immagino che il centro sia il punto A precedente e che qualunque si riferisca al raggio, mentre B e C dovrebbero essere le intersezioni fra la circonferenza ed i lati dell'angolo.
Fatto.
La bisettrice in questione è quella dell'angolo CAB e F è l'intersezione di questa con la prima circonferenza disegnata.
Questa circonferenza non la trovo nei disegni, forse è nascosta per non appesantirli ulteriormente, comunque sembra chiaro di quale circonferenza si tratti e ovviamente si avrà che AD=2AF.
Cos'è il punto medio di una retta? Probabilmente usi la parola retta invece della parola segmento. E poi non è il massimo della comodità dare lo stesso nome a due punti distinti: i nomi servono proprio per distinguere un punto dall'altro.
Per i nomi doppi vale quello detto prima; non specifichi i raggi delle circonferenze, B e C sono centri, rispettivamente, di una sola circonferenza e quindi l'ambiguità si risolve così, ma D non è ancora centro di nessuna circonferenza; dal disegno immagino che debba passare per F.
Anche qua, verosimilmente, si tratta dell'intersezione fra circonferenza e bisettrice.
Come sopra.
Se sei coerente con la notazione M1 dovrebbe essere il punto medio del segmento OO".
Fatto.
Bene, sono arrivato in fondo.
Ma manca un piccolo particolare, ovvero la dimostrazione che i tre angoli ottenuti con le trisecanti siano veramente uguali e quindi 1/3 dell'angolo di partenza.
Anche perché così non è. Questo è solo un metodo approssimato per costruire gli angoli, non so quale fosse il tuo obiettivo, se era quello di realizzare un metodo approssimato allora credo che tu ci sia riuscito (ma credo anche che ne esistano di più semplici), se invece volevi trovare una soluzione esatta allora era un tentativo destinato a fallire già in partenza. Da quello che scrivi nelle prime righe non mi è chiaro quale fosse il tuo obiettivo.
Comunque, per la cronaca, se l'angolo di partenza è retto, i tre angoli valgono, rispettivamente, circa 30.007°, 29.986°, 30.007°. Come si vede lo scaro è minimo, ma c'è.
Si tratta di trovarlo.
Provo a rifare passo a passo con Cabri.
"kidwest":
1)tracciare un angolo qualunque. intersezione A
Immagino che per intersezione tu intenda vertice dell'angolo.
"kidwest":
2) tracciare una circonferenza di centro A qualunque e si ottengono i punti B e C
Immagino che il centro sia il punto A precedente e che qualunque si riferisca al raggio, mentre B e C dovrebbero essere le intersezioni fra la circonferenza ed i lati dell'angolo.
"kidwest":
3)tracciare la circonferenza di centro B passante per il punto A
4) tracciare la circonferenza di centro C passante per il punto A
Fatto.
"kidwest":
5) tracciare la bisettrice data dalle circonferenze di centro B e C ottenendo il punto F sulla bisettrice
La bisettrice in questione è quella dell'angolo CAB e F è l'intersezione di questa con la prima circonferenza disegnata.
"kidwest":
6)tracciare la circonferenza di centro F passante per il punto A e si ottiene il punto D sulla bisettrice che sarà prolungata cioè = 2AF
Questa circonferenza non la trovo nei disegni, forse è nascosta per non appesantirli ulteriormente, comunque sembra chiaro di quale circonferenza si tratti e ovviamente si avrà che AD=2AF.
"kidwest":
7) tracciare le rette CD e DB e tracciare il punto medio M di entrambe le rette ,
Cos'è il punto medio di una retta? Probabilmente usi la parola retta invece della parola segmento. E poi non è il massimo della comodità dare lo stesso nome a due punti distinti: i nomi servono proprio per distinguere un punto dall'altro.
"kidwest":
tracciando le rette L L ed L” L” date rispettivamente dalle intersezioni delle circonferenze di centro C e D e di centro B e D
Per i nomi doppi vale quello detto prima; non specifichi i raggi delle circonferenze, B e C sono centri, rispettivamente, di una sola circonferenza e quindi l'ambiguità si risolve così, ma D non è ancora centro di nessuna circonferenza; dal disegno immagino che debba passare per F.
"kidwest":
8) quindi tracciare la circonferenza di centro A passante per i punti M sulle rette CD e DB e si ottiene il punto O” sulla bisettrice
Anche qua, verosimilmente, si tratta dell'intersezione fra circonferenza e bisettrice.
"kidwest":
9)tracciare la retta tra i punti M e si ottiene il punto O sulla bisettrice
Come sopra.
"kidwest":
10)quindi bisecare la retta O O” ottenendo il punto M1 che ho riportato ingrandito nei disegni che seguono e che servono semplicemente a far capire quante volte bisogna bisecare la retta OO” per trovare il punto cercato
Se sei coerente con la notazione M1 dovrebbe essere il punto medio del segmento OO".
"kidwest":
11) bisecare la retta O M1 ottenendo il punto M2
12) bisecare la retta M2 M1 ottenendo il punto M3
13) bisecare la retta M3 M2 ottenendo il punto M4
Fatto.
"kidwest":
14) quindi tracciare la circonferenza di centro M4 passante per i punti M sulle rette CD e DB e tracciarne i punti di tangenza dal punto A ,
questi punti saranno i punti che divideranno esattamente in tre parti uguali l’angolo dato.
Per ottenere i punti di tangenza sulla circonferenza di cento M4 passante per i punti M sulle rette CD e DB , tracciare il punto medio M” sulla retta A M4 quindi tracciare una circonferenza di centro M” passante per A e per M4.
Bene, sono arrivato in fondo.
Ma manca un piccolo particolare, ovvero la dimostrazione che i tre angoli ottenuti con le trisecanti siano veramente uguali e quindi 1/3 dell'angolo di partenza.
Anche perché così non è. Questo è solo un metodo approssimato per costruire gli angoli, non so quale fosse il tuo obiettivo, se era quello di realizzare un metodo approssimato allora credo che tu ci sia riuscito (ma credo anche che ne esistano di più semplici), se invece volevi trovare una soluzione esatta allora era un tentativo destinato a fallire già in partenza. Da quello che scrivi nelle prime righe non mi è chiaro quale fosse il tuo obiettivo.
Comunque, per la cronaca, se l'angolo di partenza è retto, i tre angoli valgono, rispettivamente, circa 30.007°, 29.986°, 30.007°. Come si vede lo scaro è minimo, ma c'è.
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