Lo Spazio

maurer
E' una domanda che mi sta letteralmente ossessionando in questo periodo.

Esiste un modo, al meglio delle nostre attuali conoscenze, di pensare il concetto di "spazio" in modo che risulti essere a priori, ossia tale che non sia soggetto ad ulteriori significative generalizzazioni?

Più terra terra, per voi che cos'è lo spazio?

Preciso che non mi riferisco a spazi strani (anche se la mia attuale risposta è parecchio "strana"), ma vorrei proprio parlare di "spazi geometrici", ovvero luoghi idonei per fare "geometria".

Risposte
maurer
Sì: quello è uno dei due punti di partenza; il programma di Klein descrive molto bene (in senso moderno) che cos'è la geometria. Il teorema di Cayley e il Lemma di Yoneda forniscono una giustificazione a priori del fatto che "non stiamo perdendo niente", ossia stiamo descrivendo tutto quello che c'è da descrivere.

Da questo punto di vista, una geometria di uno spazio è lo studio delle proprietà dello spazio stesso che sono invarianti sotto un'azione esterna. In questo modo si cerca di capire che cos'è uno spazio descrivendo le "geometrie possibili" sullo stesso.

j18eos
Faccio il punto della situazione (sono sempre fermo al III post di kb): si parte dalle idee di Klein riguardanti la geometria, passando per i teoremi di Cayley eppoi di Yoneda è naturale tradurre tali idee in concetti categoriali; ho capito bene?

Mi basta un semplice sì, no oppure qualche breve delucidazione... l'osticità del discorso sta iniziando a sgretolarsi (spero almeno) :D

j18eos
kb Abbi pazienza tu: non conoscendo il linguaggio delle categorie ho difficoltà ad esprimermi.

maurer Grazie per la risposta alla prima domanda: continuerò la riletture; per quanto riguarda la seconda domanda, essa è priva di significato in quanto non avevo letto bene il post di kb. :roll:

maurer
"j18eos":
Forse mi è sfuggito qualche dettaglio: ma partire da una tale dualità, che molto spesso si concretizza con le anti-equivalenza di categorie, ed arrivare alle idee di Grotendieck esposte nel tuo primo intervento non è il classico passo più lungo della gamba? Inoltre, una siffatta dualità, essendo potenzialmente concretizzabile in altri modi, non ha conseguenze alla domanda oggetto di questo thread?

Probabilmente interpreto male queste parole, ma non mi sembra che sia quello che si è fatto. Voglio dire, nel mio intervento spiego un modo di arrivare alle idee di Grothendieck, per successivo raffinamento del concetto di varietà topologica. Il punto cruciale è rendersi conto che per conoscere uno spazio non occorre poterlo descrivere, ma basta saperlo sondare. A questo punto si manifesta la dualità di Isbell, che se vogliamo può un po' essere vista come la formulazione precisa delle idee di Baez.

La seconda domanda mi è oscura... :?

killing_buddha
Non capisco bene la domanda, abbi pazienza :)

j18eos
"killing_buddha":
...La filosofia che uno dovrebbe tenere a mente e' l'idea di Baez per cui "Algebra is like geometry, done backwards": ovunque ci sia qualcosa di geometricamente interessante, c'e' dualmente qualcosa di algebricamente interessante, e guarda caso molto spesso quello che permette di apprezzare questa specularita' e' un'antiequivalenza di categorie...
Premetto, ancora una volta, che sto facendo di proposito l'avvocato del diavolo; ed aggiungo che sono giunto a comprendere il terzo papiro di kb!

Più che papiri li dovrei chiamare manoscritti :lol:

Iniziando a scrivere seriamente: quanto ho quotato delle parole di kb, le considero come la motivazione principe dei miei interessi matematici tra algebra e geometria; penso che chi non faccia sue quelle parole di Baez non possa comprendere le risposte di maurer e kb alla domanda "Che cos'è lo spazio?"

Forse mi è sfuggito qualche dettaglio: ma partire da una tale dualità, che molto spesso si concretizza con le anti-equivalenza di categorie, ed arrivare alle idee di Grotendieck esposte nel tuo primo intervento non è il classico passo più lungo della gamba? Inoltre, una siffatta dualità, essendo potenzialmente concretizzabile in altri modi, non ha conseguenze alla domanda oggetto di questo thread?

killing_buddha
Agli schemi poi in qualche modo si sarebbe dovuti arrivare; forse non alla messe di risultati che Dio ci ha dimostrato, ma il turnaround ci sarebbe comunque stato, in un modo piu' flebile. Il "capitolo zero" degli EGA e' illuminante sotto questo punto di vista. Non si tratta, a posteriori, di niente di diverso da una strano "Mannigfaltigkeit" in accezione riemanniana, dato che viene conservato il punto di vista "locale". Si tratta di spazi strani (in ambito "affine" sempre compatti, ma mai di Hausdorff -in modo quasi ossessivo: ogni coppia di aperti non vuoti si interseca-), ma degli spazi "piu' naturali" in cu fare quella geometria li'. A posteriori ci si accorge anche che e' vero, la definizione di schema e' quanto di piu' semplice si potrebbe pensare, se ci si pone il difficile problema di generalizzare l'approccio riemanniano delle Hypothesen.

killing_buddha
Sono stati anche un punto di partenza per porsi correttamente la domanda: lo spazio, dimostra Grothendieck, e' fatto da ben altro che la somma dei suoi punti, lo spazio e' il topos dei suoi fasci.

Questo ha decine di implicazioni: una di queste l'ho gia' provata a enucleare lungo la discussione: da un punto di vista costruttivista uno spazio non e' "conoscibile" in termini diversi di una sonda che ne valuti il comportamento (locale o globale). Questa sonda, ci si e' accorti lungo gli anni, e' ben modellizzata dal concetto di fascio, dato che esso tratta fin dalle prime battute con il concetto di funzione localmente definita in una regione dello spazio da studiare. Conoscere quelle funzioni equivale a conoscere lo spazio, e d'altra parte non vi e' modo di conoscere certi tipi molto generali di spazio se non attraverso le loro funzioni locali, ossia attraverso il loro fascio strutturale; la concomitanza di piu' strutture sullo stesso spazio si traduce nella concomitante presenza di piu' fasci (strutturale, delle k-forme, di Dolbeault, analitico,...) dai quali si puo' estrarre un certo numero di informazioni che lavorano in sinergia (un risultato classico: le informazioni sull'azione di monodromia del $pi_1$ della base di un rivestimento "stanno" nella collezione dei fasci localmente costanti della base stessa: questo ha ragioni profonde, che spiegano, e sono spiegate da, la teoria delle equazioni differenziali che si possono scrivere sulla base se questa ha struttura di varieta': una esposizione elementare sta in Schapira, cap. 7 di queste note, oppure in B. Iversen, Cohomology of Sheaves, che non e' dissimile dal primo link ma e' meno stringato. Informazioni aggiuntive stanno in un libro -l'unico- di Deligne, che pero' sconsiglio a chiunque: http://www.amazon.com/Equations-Differe ... 3540051902 )

Un'altra direzione in cui si puo' spingere la discussione e' la seguente: nella sua caratterizzazione ancestrale la teoria dei topos si occupa di studiare "luoghi" (da qui il nome) piu' generali che non i semplici spazi topologici, offrendo modo a quella che e' stata la grande intuizione di A. Grothendieck (uno spazio non e' caratterizzato dai suoi punti, ma da un opportuno fascio di anelli su un locale (e' qui che si preferisce enunciare il risultato, per molti motivi: i locales spaziali si scoprono poi essere nient'altro che gli spazi topologici sobri), e quindi tale "spazio" puo' persino smettere di essere un insieme in senso stretto, a patto di generalizzare il concetto di "ricoprimento" e di "incollamento"). Ora, la "logica interna" di questi affari (in un senso che andrebbe precisato) non e' booleana (in un senso che, ancora, andrebbe precisato), nel senso che non vale la proprieta' involutoria della complementazione (ossia il complementare $bar z$ di un elemento $z$ non e' tale che $\bar{\bar z}=z$): situazione bizzarra, ma molto frequente (si prenda l'algebra di Heyting degli aperti di uno spazio topologico) e che secondo molti e' la migliore per modellizzare la condizione fisica dell’inosservabilità di punti materiali isolati, che nel passaggio al (quasi, vista la situazione)-complementare di un elemento dell’algebra “perde” tutto ciò che è “troppo piccolo” per essere osservato, ossia (nel locale associato allo spazio topologico che si studia) la frontiera e i punti isolati di ogni aperto considerato. Invece di tracciare la differenza usuale tra osservabile e non osservabile (un insieme in un universo, dove un punto si trova, e il suo complementare, dove non si trova), se ne traccia una intuizionistica, dove si differenzia l’osservabile dal non refutabile (un insieme dove un punto sicuramente si trova, uno dove sicuramente non si trova, e una “intercapedine” su cui non abbiamo potere ermeneutico).

maurer
Rispondo io.

Sono ragionevolmente sicuro di aver già implicitamente risposto nel corso dei papiri precedenti, comunque espongo sinteticamente il mio punto di vista: non è che gli schemi siano fondamentali per spiegare la risposta che diamo noi a "che cos'è lo spazio"; tuttavia forniscono un esempio concreto (e, allo stato attuale della conoscenza media dell'umanità) altamente controintuitivo di un qualcosa che ha la dignità di essere chiamato spazio. In altre parole, è l'esempio chiave da cui si è partiti a generalizzare; un po' come i modelli di geometrie non euclidee hanno portato lo sviluppo del concetto di spazio "euclideo" curvo, così gli schemi hanno portato all'idea di spazio nella versione astratta che abbiamo proposto in questo thread.

j18eos
"gugo82":
... Buona continuazione.
Grazie! :D
"killing_buddha":
...E' una domanda o ci stai dicendo che ce ne sono? :D personalmente credo che chiunque sappia o voglia sapere cos'e' uno schema debba passare per questo processo e arrivare alla dualita' di Isbell. Pero' parliamone!
La mia è una domanda, ed è meglio che sottolineo che non ho preso posizione nei confronti degli schemi; dato che ignoro il cosa siano... per adesso!
Per quanto riguarda il parlarne: mi devo rileggere i "papiri" :lol:

gugo82
[OT, perché come tale va taggato]

- Premessa -
Prego gli utenti che partecipano a questa discussione di scusarmi per l'Off Topic che sto per fare.
Tuttavia non posso esimermi dal farlo, giacché un utente ora considerato (a torto o a ragione) appartenente al "meglio del forum" (cit. vittorino70) mi muove accuse alle quali ritengo di dover rispondere in qualche modo.
Grazie.


@killing_buddha: Come al solito, i primi due paragrafi del tuo post, super****le travestite abilmente da un linguaggio pieno di citazioni, non hanno alcun senso.

Non ti ho mai imputato nulla di quanto scrivi, quindi: di cosa ti sei risentito?
Del fatto che nessuno partecipi alla vostra discussione? O del fatto che io ritenga quella sfilza di post priva di un vero confronto tra le parti?
Mah...

Ad ogni modo, tanto per sprecare una parola in più circa quanto state costruendo, dirò quanto segue... Ah, nota bene: dato il linguaggio utilizzato da te, mi sento autorizzato a scrivere in tutta la brutale onestà di cui sono capace.

Tu e maurer sostenete posizioni che dire "fondamentaliste" è poco; quindi non dovresti meravigliarti se la maggior parte della gente del forum non vi segue. Dopotutto, come già diceva Orazio: Est modus in rebus, sunt certi denique fines quos ultra citraque nequit consistere rectum.
(Apro e chiudo una parentesi: ci sono utenti rispettabilissimi che mi hanno contattato chiedendomi chi erano quei due lì che sostenevano menate come "tutto è Algebra", "tutto è un fascio", etc, i quali di certo non erano spronati da quelle affermazioni a seguirvi...)

Né, tantomeno, dovresti sentirti autorizzato a pensare di intimorire qualcuno con la tua dialettica o le tue conoscenze: ciò (seppure nascosto da una emoticon carina) è indice di una presunzione notevole, la quale è un grosso handicap.*
Per quanto mi riguarda, ad esempio, non scrivo in questo thread non perché "sono intimorito", ma solamente perché, come già detto qui, lo reputo un inutile spreco di tempo** contrario all'atteggiamento di igiene mentale che ho imparato dalla celeberrima:
Teoria della Mantagna di Merda: Un idiota produce più merda di quanto un gruppo di persone intelligenti possa spalarne.


Inoltre, il fatto che tu e maurer concordiate pressoché su tutto, che abbiate fatto/stiate facendo le stesse esperienze, che vi documentiate dalle stesse fonti, e che tra voi due ci sia una sorta di rapporto docente/discente (o forse sarebbe meglio dire leader/accolito), fa sì che i vostri chilometrici post sembrino più una discussione pianificata a tavolino in perfetto accordo, che una vera discussione... Le uniche discussioni del genere, così piene di assonanze, che ricordi su questo forum sono quelle in cui i seguaci di un certo cialtrone di Latina difendevano a spada tratta le vaccate scritte dal cialtrone medesimo.

Ora, se in maurer ripongo una certa fiducia (grossomodo, dovuta al fatto che sia più recuperabile ad una visione "non fondamentalista" della Matematica), per quel che mi riguarda tu puoi benissimo tornartene sul forum dove sei cresciuto, così da parlare ai "pochi eletti" che vi partecipano.

Ah, a proposito dei "pochi eletti"... Non sapevo che voi steste cominciando una nuova campagna acquisti.
Immagino che l'eco in una stanza vuota, dopo un po', diventi assordante. :snakeman:


__________
* Ho letto pure il tuo delirante "manifesto": a mio modo di vedere, la colpa non è del sistema universitario, ma dell'estrema supponenza di chi lo ha scritto.

** Tanto per chiarire, considero una perdita di tempo anche scrivere questo post. Tuttavia, alcune circostanze mi hanno costretto a farlo.

[/OT]

[xdom="gugo82"]Dopo aver risposto a tono alle accuse che mi erano state poste, mi auguro che più nessuno voglia andare OT.
Invito chi voglia rispondermi a farlo in privato.

Buona continuazione.[/xdom]

maurer
[xdom="gugo82"]Questo post di maurer è stato trasferito qui da un'altra discussione (questa).[/xdom]


"j18eos":

@killing_buddha & maurer Penso che una discussione "sia" di chi partecipa, per adesso non posso partecipare causa esame; ma non è finita lì.


Noi non scappiamo e la discussione dovrebbe restare lì. Ogni partecipazione non potrà che farci piacere! E in bocca al lupo per l'esame! :D

P.S. Il mio "nostra" era riferito (come anche il discorso di k_b) alla "colpa", non alla discussione! ;)

j18eos
[xdom="gugo82"]Questo post di j18eos è stato trasferito qui da un'altra discussione (questa).[/xdom]


@vittorino Beh, quell'elenco non è esatto: ci manca Rigel, e un'infinità di utenti migliori di me!

@gugo82 Stavi scherzando e non l'ho capito oppure mi sfugge qualcosa?

@killing_buddha & maurer Penso che una discussione "sia" di chi partecipa, per adesso non posso partecipare causa esame; ma non è finita lì.

@killing_buddha Leggendo la tua rabbia da offeso sono rimasto amareggiato, la trovo esagerata (opinione libera e personale); ciò che non mi piace è un po di genericismo che vi leggo!

maurer
[xdom="gugo82"]Questo post di maurer è stato trasferito qui da un'altra discussione (questa).[/xdom]


"killing_buddha":
spiegami, in che modo (e soprattutto per quale motivo) dovrebbe essere colpa mia la scarsa partecipazione ad un topic?

Nostra, please...

killing_buddha
Stai attento, sembra che non sia un buon posto per gente come noi. Di Grothendieck, di bellezza (di cos'altro puo' parlare un matematico, seguace della mathesis?), ho parlato qui http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... 79&p=17580

Facci compagnia, c'e' solo che bisogno di individui che danno aria alle meningi almeno ogni tanto.

killing_buddha
[xdom="gugo82"]Questo post di killing_buddha è stato spostato qui da un'altra discussione (questa).

Esso è una risposta alla mia frase (pronunciata in quanto utente, non in quanto moderatore) contenuta in questo mio post (citata all'inizio del post che segue).[/xdom]


E dire che quella mi sembrava una discussione a due, anzi, quasi un monologo (dato che in quel thread non c'è quasi alcuna traccia di una vera discussione)

Ero indeciso se risponderti privatamente o pubblicamente; per farla breve (so che ti viene facilmente a noia anche la lettura del bugiardino della tachipirina, quindi contengo parole e gesti) e' tanto inaccettabile la mia presunta violazione del Regolamento che avete fissato (e taccio di come questi mi sembrino nient'altro che sciacquati argomenti da leguleio!), quanto questo sofisma che stai surrettiziamente insinuando nella discussione: spiegami, in che modo (e soprattutto per quale motivo) dovrebbe essere colpa mia la scarsa partecipazione ad un topic?

Lo trovo inaccettabile non solo perche' e' nient'altro che un sofisma (anche di bassa lega, direi: Gorgia sapeva fare di meglio), ma soprattutto perche' questo sofisma si basa su una ignoranza (dell'argomento, delle circostanze in cui esso e' emerso, delle considerazioni che ha generato sia in me che in Mauro, dei prerequisiti che sono stati, e sono, necessari ad apprezzare una risposta, ...) che non fatico e non mi vergogno a definire suina.
E so cosa stai pensando, tientelo per te: finche' non avrai letto quello che ho scritto, e non lo avrai criticato con degli argomenti leggermente piu' evoluti di queste grida da scimmia ammaestrata, mi sento pienamente in diritto di parlarti anche con piu' acredine (mi trattengo dal risalire a gradi di parentela piu' elevati solo perche' e' un forum di signori, questo). Nondum matura est, nolo acerbam sumere, diceva un animale che ha certamente il pelo piu' elegante del tuo.

Mi dai davvero l'idea di quelle persone che avendo davanti Wiles parlerebbero dei problemi di Matematica delle medie, con Alberto che va a comprare le mele e per strada ne regala due a Beatrice. O quel che e' peggio l'idea di uno che davanti a cio' che non sa reagisce con un perniciosissimo non serve.

Detto questo, bannami e mandami i carabinieri a casa, fammi un voodoo, mi fai solo un favore. Ho gran poco da imparare da un ambiente del genere, e se di quelle quattro cose che so non posso nemmeno chiacchierarne in santa pace, vi lascio con grande piacere discutere di quanto fa la derivata di $e^\pi$.

Richard_Dedekind
Sono io che ti ringrazio! Vi è stato un momento della mia vita (pochi mesi fa) in cui, oltre alle tristi vicende personali che mi affliggevano, sentivo di disinteressarmi alla matematica per tendere alla fisica in quanto più protesa verso l'universale, verso l'ignoto, verso l'esoterico ed il "diverso". Mi sentivo attratto da questa sotterranea "simmetria" che pervade un po' ogni manifestazione fisica e mi sarebbe piaciuto tradurla in un linguaggio universale. Fortunatamente quel periodo è passato (non le tristezze, di fatto), grazie alla consapevolezza che esiste qualcosa di ben più grande a cui aspirare che la pappardella mattutina su integrali doppi, polinomi interpolanti e algebra lineare "per la bisogna".

killing_buddha
Ecco, io parlo alle e per le persone come te. Grazie, hai letteralmente fatto la mia giornata :)

Richard_Dedekind
"killing_buddha":
Capire di cosa si parla, e' forse pretenzioso: ma ricordo con precisione la prima volta in cui ho letto quelle parole, ero poco piu' di una matricola, abituata all'algebra lineare, a fare derivate in una variabile e con poco piu' della definizione di gruppo in tasca. Ricordo pero' distintamente l'emozione che ho provato leggendo quelle parole e quei simboli che non volevano dire assolutamente nulla alle mie orecchie inesperte: schema, ideale, forma, struttura, sostanza, topos, sito erano concetti che faticavo a pensare inclini alla Matematica, e molto piu' appannaggio della metafisica, della filosofia e dell'ermeneutica. Pecchero' forse di ingenuita', ma il mio "risveglio" dal sonno dogmatico e' avvenuto cosi', estasiato dalla presenza dei punti esclamativi ad apice, e da parole come "coomologia cristallina": qualsiasi ente con un nome del genere non puo' che brillare di eternita' nell'universo.

Mi permetto solo di fare una breve osservazione su quanto dici: è vero, è tutto maledettamente vero. Diciamo pure che due su tre delle cose che scrivete in genere non riesco a capirle, visto che non ho (per ora...) gli strumenti adeguati per comprenderle; diciamo anche che la stretta maggioranza dei miei colleghi e dei miei docenti mi darebbero del matto sapendo che, invece di tuffarmi anima e corpo nell'elaborato di analisi numerica, mi metto a leggere di roba che sembra provenire da un qualche oscuro testo da società segreta. Tuttavia - e sembrerò anch'io ingenuo o magari ridicolo - tutta la grandiosa architettura filosofico-matematica che il sommo Grothendieck e tutti i suoi discepoli (più o meno consapevoli) hanno creato mi trasmette una sensazione di curiosità al contempo vorace e reverenziale, come se non vedessi l'ora di saperne tutto pur temendo l'idea di non farlo per bene (o di non esserne in grado). Ti ringrazio, killing_buddha, per le tue parole che in un qualche senso mi hanno dato un briciolo di speranza di non essere del tutto impazzito e soprattutto complimenti per la passione che - io sento - trasmetti nel trattare questi argomenti.
Scusate per lo sproloquio...

P.S. In effetti, a questo punto, darvi la mia idea di spazio geometrico è come pretendere d'innaffiare una sequoia con un contagocce. Comunque, a me il mondo si è aperto quando ho studiato un po' di geometria proiettiva ed ho scoperto le parole del buon Klein: non è lo spazio, l'insieme di supporto, a fare la geometria, ma è il gruppo di trasformazioni che agisce su di esso a fare la differenza. Da quel momento, la mia visione della geometria - ma invero di tutta la matematica - è cambiata radicalmente; non di meno ha contribuito la topologia, detronizzando l'ultimo baluardo della geometria "statica", ossia lo spazio vettoriale. Insomma, per quanto tutto ciò risulti tremendamente banale alla luce delle vostre considerazioni, io credo che si possa fare geometria in qualunque insieme, a patto che si stabilisca una volta per tutte a quali "regole" prestare fede (in termini un po' più seri, purché si specifichi il gruppo di trasformazioni).

killing_buddha
Ti ho risposto, ma credo che la segnalazione qui sia un po' una spammata :D

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