Limite ALLE Funzioni
Ciao,non sapevo dove discutere dell'argomento che sto per proporre e questa sezione mi sembra la piu' adatta.
Da un anno circa mi è nata una sensazione:è evidente a tutti che disponiamo di un numero finito di tipi di funzioni (lineari,paraboliche,iperboliche,esponenziali,logaritmiche,sinusoidali,funzioni con il fattoriale,e funzioni abbastanza avanzate che neanche conosco,ecc...) ,che possono essere combinate in un certo modo.Mi sono mai posto il problema dell'esistenza di altre funzioni di tipo diverso da quelle che conosciamo ,dove con altre funzioni intendo ad esempio che se io effettuo una distribuzione di qualche punto su un piano,che segue un andamento (passatemi il termine) non folle,esiste una funzione non combinazione di quelle conosciute che passa esattamente per quei punti:evidentemente non esiste altrimenti non esisterebbero i metodi di interpolazione numerica.Sembrebbe di pretendere un po' troppo se si esige l'esistenza di tale funzione e in effetti sono daccordo.Il forte limite della "finitezza"delle funzioni di cui disponiamo mi è balzato all'occhio con le equazioni differenziali:mi sembra limitante il fatto che conosciamo una sola categoria di funzioni ,la cui derivata è uguale alla funzione stessa(esponenziale).Questo limite mi sembra evidente oltre che in questo caso,anche nel campo della fisica,dove molti risultati derivano da equazioni differenziali.Mi chiedo se esistano funzioni di cui non ci rendiamo conto,magari come non ci rendiamo conto a livello intuitivo del numero i.Grazie per l'attenzione
Da un anno circa mi è nata una sensazione:è evidente a tutti che disponiamo di un numero finito di tipi di funzioni (lineari,paraboliche,iperboliche,esponenziali,logaritmiche,sinusoidali,funzioni con il fattoriale,e funzioni abbastanza avanzate che neanche conosco,ecc...) ,che possono essere combinate in un certo modo.Mi sono mai posto il problema dell'esistenza di altre funzioni di tipo diverso da quelle che conosciamo ,dove con altre funzioni intendo ad esempio che se io effettuo una distribuzione di qualche punto su un piano,che segue un andamento (passatemi il termine) non folle,esiste una funzione non combinazione di quelle conosciute che passa esattamente per quei punti:evidentemente non esiste altrimenti non esisterebbero i metodi di interpolazione numerica.Sembrebbe di pretendere un po' troppo se si esige l'esistenza di tale funzione e in effetti sono daccordo.Il forte limite della "finitezza"delle funzioni di cui disponiamo mi è balzato all'occhio con le equazioni differenziali:mi sembra limitante il fatto che conosciamo una sola categoria di funzioni ,la cui derivata è uguale alla funzione stessa(esponenziale).Questo limite mi sembra evidente oltre che in questo caso,anche nel campo della fisica,dove molti risultati derivano da equazioni differenziali.Mi chiedo se esistano funzioni di cui non ci rendiamo conto,magari come non ci rendiamo conto a livello intuitivo del numero i.Grazie per l'attenzione
Risposte
"Gugo82":
Se da questi risultati vuoi trarre la limitatezza del cervello umano, fai pure.
Per quanto mi riguarda è solo un limite della definizione di "funzione elementare" (come diceva Fioravante);
ecco, il "dado star" della faccenda è questo.
"FreshBuddy":
bene ,dato che siamo nella sezione filosofia della scienza,il fatto che la definizione si stata cambiata nel tempo ,non è un adattamento della matematica alla limitatezza dell'uomo?intendo dire che se si potesse scrivere l'espressione analitica di qualsiasi funzione ,nessuno si sarebbe scomodato a cambiare la definizione.oppure qualcuno ha dimostrato l'impossibilita' dell'esistenza di un 'espressione analitica che non si basa sulle operazioni da noi conosciute?
Dico: proprio perchè ci si è resi conto che la definizione di Eulero di funzione ("ogni funzione è rappresentabile come unica espressione analitica all'interno del suo dominio") era frutto di limiti del pensiero umano, si è deciso di cambiarla ("una funzione è un'associazione arbitraria tra punti di due insiemi").
Basta confrontare le due diverse definizioni di funzione per rendersi conto che la seconda offre molte più possibilità della prima, cossicché la classe corrispondente alla definizione moderna è un ampliamento proprio della classe delle funzioni secondo Eulero.
In effetti, il passaggio dalla definizione di Eulero a quella moderna di funzione è del tutto analogo all'ampliamento dei reali algebrici che si ottiene aggiungendo i reali trascendenti*: l'effetto è un ampliamento della classe, ma esso viene di pari passo con l'introduzione di elementi che non saranno mai raggiungibili con "descrizioni" elementari. Non penso che tu possa muovere delle obiezioni riguardo il fatto che l'ampliamento dei reali algebrici sia in effetti dovuto a limitazioni umane: infatti il numero $pi$ è trascendente e non algebrico, cosicché se non avessimo fatto l'ampliamento dei reali algebrici, non avremmo numeri da assegnare all'area del cerchio e ciò sarebbe limitante per l'uomo che può davvero pensare all'area di un cerchio.
Ne viene: se un ampliamento è lecito e segno del fatto che l'uomo supera i suoi limiti, perchè l'altro dovrebbe essere segno di limitatezza?
Ora provo ad entrare nella tua ottica (finalmente ho capito cosa intendi) e mi pongo la tua domanda: ogni funzione ha un'espressione in termini di funzioni elementari? Se ciò non è vero, perchè succede? Ed è possibile ricondurre questa impossibilità a limitazioni del cervello umano?
Per quanto riguarda la prima domanda: se tutte le funzioni avessero un'espressione in termini di funzioni elementari, i Matematici non avrebbero cambiato la definizione di funzione; però molte funzioni d'uso comune e che non verificano la definizione di Eulero si possono esprimere come limite di successioni di funzioni "elementari": ad esempio Peano e Baire hanno dimostrato che la successione doppia di funzioni di termine generale $f_(n,m)(x)=(cos m!pix)^n$ converge verso la funzione di Dirichlet $f(x)=\{(1, ", se " x in QQ),(0, ", se " x in RR-QQ):}$ al divergere di $n,m$ (la qual funzione, come saprai ha indotto Dirichlet a formulare la definizione moderna di funzione).
Ovviamente l'insieme delle funzioni che noi diciamo "elementari" (quelle citate nel tuo primo post, insomma) è finito e l'insieme di operazioni di cui disponiamo è altrettanto finito: pertanto la classe delle funzioni $A$ che possiamo generare con questi due ingredienti è sì infinita, ma d'un'infinità "piccola" rispetto alla classe $RR^RR$ di tutte le funzioni di $RR$ in sé (qui c'entrano alcune cosette di Computabilità in cui non mi addentro, perchè non sono un esperto), quindi sussiste l'inclusione stretta $Asubset RR^RR$. L'inclusione stretta continua a sussistere anche se si aggiunge un qualunque numero finito di nuove funzioni "elementari" ed un qualunque numero finito di altre operazioni tra queste.
Il problema che riportavi nel tuo primo post e dal quale è scaturita la tua domanda ammette sicuramente un insieme di soluzioni $S subset RR^RR$ ma, in generale, non è detto che $Acap S!= \emptyset$ (ossia non è detto che qualche soluzione del problema sia una funzione che si ottiene componendo funzioni elementari) proprio perchè $A$ è "piccolo". Noto, però, che le difficoltà si presentano solo nel caso in cui l'insieme di punti fissati nel piano sia infinito: infatti se l'insieme dei punti è finito i metodi di interpolazione numerica assicurano che $Acap S$ è effettivamente non vuoto.
Da quanto detto segue che:
1. l'insieme delle funzioni $A$ è "piccolo" e quindi non può bastare ad esaurire tutte le funzioni di $RR$ in sé: non è vero che ogni funzione di $RR^RR$ abbia un'espressione in termini di funzioni elementari;
2. per ogni insieme finito di punti del piano esiste certamente una funzione che soddisfi le tue richieste il cui grafico passi per quei punti (e.g. polinomio interpolante);
3. per gli insiemi infiniti la proprietà espressa in 2. in generale non è vera, perchè la classe $A$ è "piccola" e lo sarebbe anche aggiungendo un qualsiasi numero finito di "funzioni elementari" sia un qualsiasi numero finito di "operazioni" tra esse;
4. per ottenere un insieme $A$ abbastanza "grande" per risolvere il tuo problema anche nel caso di insiemi di punti infiniti, dovrebbero essere infinite o le funzioni "elementari" o le "operazioni" tra esse (disgiunzione non esclusiva).
Se da questi risultati vuoi trarre la limitatezza del cervello umano, fai pure.
Per quanto mi riguarda è solo un limite della definizione di "funzione elementare" (come diceva Fioravante);
______________
*I numeri reali algebrici sono tutti e soli quelli che si ottengono come zeri di almeno un polinomio a coefficienti interi, e.g. $sqrt2$; i numeri reali trascendenti sono tutti e soli quelli che non sono zeri di alcun polinomio a coefficienti interi, e.g. $e,pi$.
Non è cambiata la definizione di funzione. la prima delle due, quella che ho chiamato classica semplicemente NON è una definizione. Il concetto di funzione è relativamente moderno ed ha subito copiose modifiche nel tempo. Il primo a parlarne è stato Leibniz riferendosi a legami causa-effetto tra il cambiamento di determinate grandezze e lo scorrere del tempo. Poi Eulero ha associato al termine funzione il concetto di formula. Solo nel 19° secolo si è raggiunta la definizione "corretta" cioè quella formale basata sulla teoria degli insiemi. Una funzione non può essere definita come una "legge", perchè altrimenti non sapresti come definire una legge.
Con questa (nuova) definizione una funzione è un insieme di coppie e come tale esiste a prescindere da una sua eventuale espressione analitica.
E' semplice: si chiama funzione ogni relazione univoca. Quindi l'insieme delle funzioni (fissati dominio e codominio) è ben definito. Se esistesse una funzione che non abbiamo considerato dovrebbe essere tra quelle. Quindi l'avremmo già considerata.
Come è già stato detto quelle che noi chiamiamo funzioni (o operazioni) elementari sono tali solo perchè sono "comode" e "utili". La maggiorparte di esse sono spuntate fuori da osservazioni nel campo della fisica.
Così tutte le funzioni esistenti sono già state pensate. Se domani un ricercatore dovesse scoprire un interessante fenomeno fisico (o altro) potrebbe definire elementare la funzione che lo descrive. Ma quella funzione esiste già.
E poi elementare non vuol dire semplice: le funzioni trascendenti ad esempio non sono per niente "semplici" ma ci sono talmente utili che le consideriamo elementari.
Il discorso sulla limitatezza della matematica dipendente dalla lmitatezza dell'uomo può essere vero. permettetemi una "parabola" ed un mostruoso abuso di termini: fissando gli assiomi della matematica praticamente piantiamo uno steccato nell'universo del pensabile entro cui ci possiamo muovere senza timore. Dentro è matematica, fuori no.(a meno di riassiomatizzare) Questo steccato è a forma di cono e noi ne esplorariamo la parte interna a partire dal vertice. Così ci possiamo muovere all'infinito ma allo stesso tempo siamo limitati dagli assiomi. Dentro gli assiomi ci sono in potenza tutte le proposizioni della matematica che sono infinite. Ma noi ne abbiamo esplorato solo una parte finita. Quindi ci sono ancora infiniti teoremi sconosciuti. Li possediamo in fieri.
Poi ognuno di questi teoremi bisogna vedere se ci serve. Esistono infiniti teoremi del tipo $P -> P$. Ma non ce ne frega niente...
Spero che il disegnino non sia dispersivo e di rendere ciò che voglio dire.
Con questa (nuova) definizione una funzione è un insieme di coppie e come tale esiste a prescindere da una sua eventuale espressione analitica.
E' semplice: si chiama funzione ogni relazione univoca. Quindi l'insieme delle funzioni (fissati dominio e codominio) è ben definito. Se esistesse una funzione che non abbiamo considerato dovrebbe essere tra quelle. Quindi l'avremmo già considerata.
Come è già stato detto quelle che noi chiamiamo funzioni (o operazioni) elementari sono tali solo perchè sono "comode" e "utili". La maggiorparte di esse sono spuntate fuori da osservazioni nel campo della fisica.
Così tutte le funzioni esistenti sono già state pensate. Se domani un ricercatore dovesse scoprire un interessante fenomeno fisico (o altro) potrebbe definire elementare la funzione che lo descrive. Ma quella funzione esiste già.
E poi elementare non vuol dire semplice: le funzioni trascendenti ad esempio non sono per niente "semplici" ma ci sono talmente utili che le consideriamo elementari.
Il discorso sulla limitatezza della matematica dipendente dalla lmitatezza dell'uomo può essere vero. permettetemi una "parabola" ed un mostruoso abuso di termini: fissando gli assiomi della matematica praticamente piantiamo uno steccato nell'universo del pensabile entro cui ci possiamo muovere senza timore. Dentro è matematica, fuori no.(a meno di riassiomatizzare) Questo steccato è a forma di cono e noi ne esplorariamo la parte interna a partire dal vertice. Così ci possiamo muovere all'infinito ma allo stesso tempo siamo limitati dagli assiomi. Dentro gli assiomi ci sono in potenza tutte le proposizioni della matematica che sono infinite. Ma noi ne abbiamo esplorato solo una parte finita. Quindi ci sono ancora infiniti teoremi sconosciuti. Li possediamo in fieri.
Poi ognuno di questi teoremi bisogna vedere se ci serve. Esistono infiniti teoremi del tipo $P -> P$. Ma non ce ne frega niente...
Spero che il disegnino non sia dispersivo e di rendere ciò che voglio dire.
Beh, penso (non so se sto dicendo scemenze, se è così correggetemi...) che le funzioni con un'espressione analitica (cioè, se ti ho ben capito, costruibili con un numero finito di simboli) formino un insieme ricorsivamente enumerabile, mentre l'insieme di tutte le possibili funzioni a occhio non lo è. Aggiungendo un'operazione alla volta (qualunque essa sia) continuerai ad avere un insieme RE e quindi l'insieme di tutte le funzioni sarà sempre più grande...
bene ,dato che siamo nella sezione filosofia della scienza,il fatto che la definizione si stata cambiata nel tempo ,non è un adattamento della matematica alla limitatezza dell'uomo?intendo dire che se si potesse scrivere l'espressione analitica di qualsiasi funzione ,nessuno si sarebbe scomodato a cambiare la definizione.oppure qualcuno ha dimostrato l'impossibilita' dell'esistenza di un 'espressione analitica che non si basa sulle operazioni da noi conosciute?
Con la frase relativa alla bastonatura volevo far notare proprio che i toni erano diventati troppo pesanti. Null'altro.
Per l'ultima domanda di FreshBuddy bisogna distinguere:
se la domanda è:
"Dato un insieme qualunque di punti esiste uuna funzione che contiene quei punti" la risposta è sì.
se la domanda è:
"Sappiamo sempre trovare l'espressione analitica della funzione di cui sopra,ossia esiste un algoritmo che la genera" la risposta è assolutamente no.
Esempio banale:
L'insieme ${(x,y) in RR: y=f(x)}$ ove f è una primitiva della funzione di distribuzione normale è ben definito ma non esiste un'espressione (finita) di questo insieme e quindi non esiste un'espressione finita per descrivere la corrispondente funzione.
Aggiungo che la chiave di tutto sta proprio nel fatto, già detto qualche post fa, che una funzione è univocamente determinata dalla sua espressione analitica ma non viceversa. Quindi se io scrivo y=f(x) ove f è una certa combinazione di funzioni elementari questa è una funzione (con opportune parentesi e ghingoli vari). Se io prendo una funzione questa può avere più di un'espressione analitica o non averne nessuna. E infatti la classica definizione "Una funzione è una legge..." è sbagliata. La moderna teoria degli insiemi vuole che "una funzione è una relazione univoca ossia un sottinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi A,B che per ogni elemento x di A contiene una sola coppia che ha per prima componete x."
In parole più semplici una funzione è il suo grafico.
Per l'ultima domanda di FreshBuddy bisogna distinguere:
se la domanda è:
"Dato un insieme qualunque di punti esiste uuna funzione che contiene quei punti" la risposta è sì.
se la domanda è:
"Sappiamo sempre trovare l'espressione analitica della funzione di cui sopra,ossia esiste un algoritmo che la genera" la risposta è assolutamente no.
Esempio banale:
L'insieme ${(x,y) in RR: y=f(x)}$ ove f è una primitiva della funzione di distribuzione normale è ben definito ma non esiste un'espressione (finita) di questo insieme e quindi non esiste un'espressione finita per descrivere la corrispondente funzione.
Aggiungo che la chiave di tutto sta proprio nel fatto, già detto qualche post fa, che una funzione è univocamente determinata dalla sua espressione analitica ma non viceversa. Quindi se io scrivo y=f(x) ove f è una certa combinazione di funzioni elementari questa è una funzione (con opportune parentesi e ghingoli vari). Se io prendo una funzione questa può avere più di un'espressione analitica o non averne nessuna. E infatti la classica definizione "Una funzione è una legge..." è sbagliata. La moderna teoria degli insiemi vuole che "una funzione è una relazione univoca ossia un sottinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi A,B che per ogni elemento x di A contiene una sola coppia che ha per prima componete x."
In parole più semplici una funzione è il suo grafico.
mi scuso anche io per l'inasprimento dei toni.tengo a precisare che con la vacanza non intendevo assolutamente dire a gugo che se ne doveva andareo roba simile:in effetti non mi sono spiegato ma volevo intendere che siccome mi sembrava un po' arrabbiato dalla sua risposta,la vacanza stava per qualcosa che lo facesse stare piu' tranquillo.mi scuso per la poca chiarezza.
gugo,è normale che le tue basi sono migliori delle mie.
mi è piaciuto l'intervento di megan che condivido quasi interamente(tranne quando afferma di avermi bastonato)
vedo che stiamo arrivando al succo della questione per quanto riguarda le funzioni:ora secondo Hankel mi sembra di aver capito che io posso definire una funzione a mio piacimento ad esempio su R2 attribuendo ad ogni x una y arbitraria:senza entrare in polemica con quello che sto per dire,la mia domanda rimane valida se dico :supponendo che io abbia definito una y per ogni x in R2 e che la funzione sia continua,ma simile ad uno scarabocchio di un bambino,posso sostituire a infiniti comandi che ho adto per ogni punto,un solo comando che mi generi esattamente quel grafico?
gugo,è normale che le tue basi sono migliori delle mie.
mi è piaciuto l'intervento di megan che condivido quasi interamente(tranne quando afferma di avermi bastonato)
vedo che stiamo arrivando al succo della questione per quanto riguarda le funzioni:ora secondo Hankel mi sembra di aver capito che io posso definire una funzione a mio piacimento ad esempio su R2 attribuendo ad ogni x una y arbitraria:senza entrare in polemica con quello che sto per dire,la mia domanda rimane valida se dico :supponendo che io abbia definito una y per ogni x in R2 e che la funzione sia continua,ma simile ad uno scarabocchio di un bambino,posso sostituire a infiniti comandi che ho adto per ogni punto,un solo comando che mi generi esattamente quel grafico?
Mi scuso se ho contribuito ad inasprire i toni.
@ Fioravante: sì, effettivamente stiamo dicendo quasi la stessa cosa. Il quasi deriva dal fatto che IMHO le mie premesse sono migliori delle sue, come ho fatto notare alla fine del secondo post.
In cosa non ti soddisfa la risposta?
@ Sergio: proprio la storia delle modificazioni subite dal concetto di funzione in 300 anni di storia mi ha permesso di svincolarmi dall'approccio che ha Fresh alla questione. Oggi quell'approccio è assolutamente demodè, ma non lo sarebbe stato proprio del tutto al tempo di Eulero.
@ Fioravante: sì, effettivamente stiamo dicendo quasi la stessa cosa. Il quasi deriva dal fatto che IMHO le mie premesse sono migliori delle sue, come ho fatto notare alla fine del secondo post.
In cosa non ti soddisfa la risposta?
@ Sergio: proprio la storia delle modificazioni subite dal concetto di funzione in 300 anni di storia mi ha permesso di svincolarmi dall'approccio che ha Fresh alla questione. Oggi quell'approccio è assolutamente demodè, ma non lo sarebbe stato proprio del tutto al tempo di Eulero.
"Gugo82":
[quote="FreshBuddy"] mi stavo chiedendo ,come quasi tutti hanno ben capito,tranne tu,se possano esistere altre operazioni logiche che a noi sfuggono PERCHE' NON CI ARRIVIAMO CON LA NOSTRA TESTA,il che equivale a chiedere se esistono altri colori non componibili con quelli esistenti e che non possiamo vedere,e potrebbero esistere perche' non percepiamo tutte le frequenze.
Mi permetto di far notare che l'analogia è inconsistente.
L'occhio umano vede ogni colore che abbia lunghezza d'onda compresa tra 400 e 700 nM. Al di fuori di questa parte di spettro, l'occhio umano non percepisce alcuna radiazione elettromagnetica, pertanto è insensato chiedere "che colore hanno i raggi X?" o, in generale, se esistono colori diversi da quelli che vediamo.
La Matematica è diversa: non ha nessun limite prestabilito, non c'è nessun fisiologo che finora ha posto limiti alla possibilità dell'elaborazione matematica (ve lo immaginate un medico che dica: "Ho scoperto che si può fare Matematica solo tra il Teorema di Pitagora ed il paradosso di Banach-Tarski."...
). E dirò di più: non c'è nessuna circostanza che ci induca a credere che la Matematica abbia dei limiti effettivi di elaborazione. Ciò per tre motivi: 1. i Matematici possono scegliersi le regole con cui lavorare, 2. in caso tali regole non "vadano bene", possono tranquillamente cambiarle (non c'è niente di imposto "dall'alto", a differenza della Fisica) e 3. l'adozione di nuove regole comporta sempre nuove difficoltà, che si traducono in nuova Matematica.[/quote]Premessa
gugo82, non credo che tu debba prenderti una vacanza.
Freshbuddy, sii meno polemico: il fatto che le risposte di gugo82 non ti soddisfino e' un problema tuo (e anche mio, neanch'io le trovo soddisfacenti). Non vedo pero' per quale motivo non dovresti essere invece tu a prenderti una vacanza. Non confondiamo la divergenza, anche forte, di opinioni, con altre cose. Altri sono stati gli utenti di questo forum che avevano necessita' di una vacanza e a cui l'abbiamo gentilmente imposta (veramente ce n'e' uno che vuole "lavorare" a tutti i costi...).
In argomento
E' curioso come Freshbuddy e gugo82 dicano IMHO la stessa cosa, solo che avendo due prospettive diverse, non se ne accorgono.
Il punto a me pare sia quello dei limiti che ha la nostra matematica. Entrambi ne sono consapevoli e gugo82 lo dice chiaramente. Solo gugo82 ritiene che l'attacco giusto ai problemi nuovi sia da porre sul piano formale (e non vedo come si possa fare in altro modo, se stiamo parlando di matematica). Freshbuddy sottolinea un altro aspetto: che la nostra incapacita' di "vedere" della matematica che invece "e' la fuori, esattamente come quella che usiamo" possa avere delle radici in limitazioni dei nostri sensi (io aggiungerei in limitazioni nostre cognitive, di elaborazione e rappresentazione). Sinceramente non mi sento di dargli torto, e colloco su questo piano anche le sue considerazioni sul numero $i$.
@ Sergio: non sono stramazzato... però che non diventi un'abitudine!!! lol 
... caspita l'abbiamo bastonato freshbuddy...
... caspita l'abbiamo bastonato freshbuddy...
Il problema è che "qualsiasi insieme di punti" è una cosa troppo vaga. Visto che non riesci a "vedere" il numero i come fai a vedere un insieme qualsiasi di punti? Il fatto è che tecnicamente non ci sono nuove regole/funzioni logiche da scoprire ma al contempo non le conosciamo tutte. Mi spiego: essendo la matematica un linguaggio formale esso ha dei simboli di cui è compsoto e delle regole che permettono di "metterli insieme". Il linguaggio generato da queste regole è infinito e tante sono le possibili proposizioni che compongono la matematica. Però noi abbiamo "scoperto" solo una quantità finita di queste proposizioni, le altre vivono in potenza (concedetemi questo abuso di termini) all'interno delle regole di composizione. In realtà esistono altre matematiche cosidette complementari come quella intuizionista, ma sono di scarso interesse relativamente alla realtà di tutti i giorni. Dato un qualsiasi sottoinsieme del piano esiste una funzione il cui grafico contiene quei punti. Ma i sottoinsiemi del piano sono un'infinità molto grande e la maggior parte di essi non sappiamo nemmeno come definirli quindi non sappiamo come lavorarci, quindi non sappiamo dire quale funzione possa contenerli. Però possiamo dimostrare che una funzione esiste anzi, purchè il complementare di questo insieme sia non vuoto, ce ne sono infinite. L'interpolazione numerica lavora du insiemi finiti di dati o insiemi infiniti molto semplici (definibili in maniera analitica). E' come l'esempio dei colori. Non ha senso chiedersi che colore abbiano i raggi X perchè non ha senso trattare quelle frequenze come luce quindi colore.
Altro esempio: i numeri razionali e gli irrazionali formano insieme i numeri reali così come le varie frequenze formano lo spettro luminoso. Sui razionali facciamo delle operazioni algebriche che sugl'irrazionali non hanno senso. Questo non è un limite alla matematica. Perchè se ci fosse un limite vorrebbe dire che oltre tale limite c'è qualcos'altro che non è matematica. Mentre oltre questo c'è solo la proposizione vuota cioè quella che non dice niente.
Aggiungo solo un'altra cosa. Il fatto che l'unità immaginaria sia venuta fuori "solo" qualche secolo fa non vuol dire che è stata scoperta allora. Vuol dire che in quel periodo abbiamo avuto l'esigenza di usarla e l'abbiamo fatto. Ma i giaceva nel magico baule della matematica da quando essa esiste. La formalizzazione di Zermelo Fraenkel, Russell & co. non ha inventato la matematica, l'ha solo messa un po' in ordine. Sussiste un fatto strano: la matematica ci appare come un'entità autonoma e magica (nel senso che non riusciamo a capire perchè tutto torni sempre, quale sia il trucco), in realtà tutto torna sempre perchè la matematica è fatta apposta perchè ciò accada. E' difficile da accettare perchè è difficile accettare che dentro un baule fatto con un numero finito di assi di legno e di viti ci siano infite cose. SRE!
Altro esempio: i numeri razionali e gli irrazionali formano insieme i numeri reali così come le varie frequenze formano lo spettro luminoso. Sui razionali facciamo delle operazioni algebriche che sugl'irrazionali non hanno senso. Questo non è un limite alla matematica. Perchè se ci fosse un limite vorrebbe dire che oltre tale limite c'è qualcos'altro che non è matematica. Mentre oltre questo c'è solo la proposizione vuota cioè quella che non dice niente.
Aggiungo solo un'altra cosa. Il fatto che l'unità immaginaria sia venuta fuori "solo" qualche secolo fa non vuol dire che è stata scoperta allora. Vuol dire che in quel periodo abbiamo avuto l'esigenza di usarla e l'abbiamo fatto. Ma i giaceva nel magico baule della matematica da quando essa esiste. La formalizzazione di Zermelo Fraenkel, Russell & co. non ha inventato la matematica, l'ha solo messa un po' in ordine. Sussiste un fatto strano: la matematica ci appare come un'entità autonoma e magica (nel senso che non riusciamo a capire perchè tutto torni sempre, quale sia il trucco), in realtà tutto torna sempre perchè la matematica è fatta apposta perchè ciò accada. E' difficile da accettare perchè è difficile accettare che dentro un baule fatto con un numero finito di assi di legno e di viti ci siano infite cose. SRE!
Questo è senz'altro più istruttivo del precedente.
Mai preso in considerazione l'idea di spiegarti meglio?
Quando parli di interpolazione numerica sai di cosa parli oppure no?
Te lo spiego in parole povere: seguimi e leggi con attenzione.
Sai che per trovare una funzione interpolante un numero finito di punti si devono fare delle scelte: scegliere la classe delle funzioni in cui cercare le soluzioni, scegliere un funzionale d'energia da minimizzare, etc...
Normalmente si scelgono classi di funzioni semplici (polinomi, seno-coseno, ...) perchè tali funzioni sono "comode", non perchè siano le sole possibili. Infatti, poichè le funzioni sono associazioni del tutto arbitrarie tra elementi di un insieme (con l'unica restrizione che ad un elemento del dominio non può corrispondere più d'un elemento del codominio*), è alquanto evidente che comunque ti vada di fissare un insieme di punti del piano compatibile con le restrizioni poste, esiste almeno una funzione che interpoli quei punti; in generale, tale funzione non risulterà né continua né a maggior ragione regolare (e quindi "scomoda").
Cosa del tutto diversa è chiedere se esistano funzioni con forti proprietà di regolarità (continue o $C^1$, o $C^2$, ..., o $C^n$, ..., o $C^oo$ oppure addirittura $C^omega$) che interpolino un insieme di punti scelti rispettando le restrizioni: in generale, man mano che aumentano i punti ed i requisiti di regolarità, il problema diviene sempre più difficile nelle classi di funzioni usuali (polinomi, seno-coseno, ...).
Mi pare, però, che il problema abbia sempre almeno una soluzione "comoda", ossia calcolabile e visualizzabile, se non si richiede più regolarità sulla soluzione di quanto sia grande l'insieme dei punti da interpolare.
Ecco, i metodi di interpolazione numerica servono proprio a questo: a fornire delle soluzioni "comode" ed un problema che in teoria ha molte più soluzioni tra le funzioni "scomode".
Alla luce di quanto ti ho detto, capisci da solo che il problema che ti poni non esiste.
L'insieme delle funzioni di $RR$ in sé è vastissimo ed è sempre possibile trovare soluzioni al problema dell'interpolazione; le difficoltà cui tu accennavi sorgono solo quando si limita il campo di ricerca della funzione interpolante.
Far discendere la "finitezza" di tutte le funzioni da una restrizione da te imposta all'insieme delle soluzioni è una forzatura eccessiva.
________________
* Ma anche questa condizione può essere aggirata.
"FreshBuddy":
se esistesse una funzione per qualsiasi insieme di punti, nel senso in cui lo stavo intendendo io, non esisterebbe il metodo dell'interpolazione numerica, altrimenti hai capito male quello che volevo dire, che tralaltro ho detto in modo chiaro.
Mai preso in considerazione l'idea di spiegarti meglio?
Quando parli di interpolazione numerica sai di cosa parli oppure no?
Te lo spiego in parole povere: seguimi e leggi con attenzione.
Sai che per trovare una funzione interpolante un numero finito di punti si devono fare delle scelte: scegliere la classe delle funzioni in cui cercare le soluzioni, scegliere un funzionale d'energia da minimizzare, etc...
Normalmente si scelgono classi di funzioni semplici (polinomi, seno-coseno, ...) perchè tali funzioni sono "comode", non perchè siano le sole possibili. Infatti, poichè le funzioni sono associazioni del tutto arbitrarie tra elementi di un insieme (con l'unica restrizione che ad un elemento del dominio non può corrispondere più d'un elemento del codominio*), è alquanto evidente che comunque ti vada di fissare un insieme di punti del piano compatibile con le restrizioni poste, esiste almeno una funzione che interpoli quei punti; in generale, tale funzione non risulterà né continua né a maggior ragione regolare (e quindi "scomoda").
Cosa del tutto diversa è chiedere se esistano funzioni con forti proprietà di regolarità (continue o $C^1$, o $C^2$, ..., o $C^n$, ..., o $C^oo$ oppure addirittura $C^omega$) che interpolino un insieme di punti scelti rispettando le restrizioni: in generale, man mano che aumentano i punti ed i requisiti di regolarità, il problema diviene sempre più difficile nelle classi di funzioni usuali (polinomi, seno-coseno, ...).
Mi pare, però, che il problema abbia sempre almeno una soluzione "comoda", ossia calcolabile e visualizzabile, se non si richiede più regolarità sulla soluzione di quanto sia grande l'insieme dei punti da interpolare.
Ecco, i metodi di interpolazione numerica servono proprio a questo: a fornire delle soluzioni "comode" ed un problema che in teoria ha molte più soluzioni tra le funzioni "scomode".
Alla luce di quanto ti ho detto, capisci da solo che il problema che ti poni non esiste.
L'insieme delle funzioni di $RR$ in sé è vastissimo ed è sempre possibile trovare soluzioni al problema dell'interpolazione; le difficoltà cui tu accennavi sorgono solo quando si limita il campo di ricerca della funzione interpolante.
Far discendere la "finitezza" di tutte le funzioni da una restrizione da te imposta all'insieme delle soluzioni è una forzatura eccessiva.
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* Ma anche questa condizione può essere aggirata.
Divido il mio intervento in due post.
Per quanto riguarda la logica, credo di averti risposto qui:
Se non ti sembra soddisfacente fammi sapere, cercherò di rispondere meglio.
Mi permetto di far notare che l'analogia è inconsistente.
L'occhio umano vede ogni colore che abbia lunghezza d'onda compresa tra 400 e 700 nM. Al di fuori di questa parte di spettro, l'occhio umano non percepisce alcuna radiazione elettromagnetica, pertanto è insensato chiedere "che colore hanno i raggi X?" o, in generale, se esistono colori diversi da quelli che vediamo.
La Matematica è diversa: non ha nessun limite prestabilito, non c'è nessun fisiologo che finora ha posto limiti alla possibilità dell'elaborazione matematica (ve lo immaginate un medico che dica: "Ho scoperto che si può fare Matematica solo tra il Teorema di Pitagora ed il paradosso di Banach-Tarski."...). E dirò di più: non c'è nessuna circostanza che ci induca a credere che la Matematica abbia dei limiti effettivi di elaborazione. Ciò per tre motivi: 1. i Matematici possono scegliersi le regole con cui lavorare, 2. in caso tali regole non "vadano bene", possono tranquillamente cambiarle (non c'è niente di imposto "dall'alto", a differenza della Fisica) e 3. l'adozione di nuove regole comporta sempre nuove difficoltà, che si traducono in nuova Matematica.
Per quanto riguarda la logica, credo di averti risposto qui:
"Gugo82":
2. Altre operazioni logiche credo che possano essere pensate e definite, almeno in linea di principio. La Matematica non mette nessun divieto a riguardo; la scuola formalista nemmeno. Ampliare il mondo delle possibili operazioni è sempre una buona cosa, perchè può consentire di migliorare le tecniche di dimostrazione, di formulare nuovi teoremi, di vedere relazioni che prima erano celate, etc...
Se non ti sembra soddisfacente fammi sapere, cercherò di rispondere meglio.
"FreshBuddy":
mi stavo chiedendo ,come quasi tutti hanno ben capito,tranne tu,se possano esistere altre operazioni logiche che a noi sfuggono PERCHE' NON CI ARRIVIAMO CON LA NOSTRA TESTA,il che equivale a chiedere se esistono altri colori non componibili con quelli esistenti e che non possiamo vedere,e potrebbero esistere perche' non percepiamo tutte le frequenze.
Mi permetto di far notare che l'analogia è inconsistente.
L'occhio umano vede ogni colore che abbia lunghezza d'onda compresa tra 400 e 700 nM. Al di fuori di questa parte di spettro, l'occhio umano non percepisce alcuna radiazione elettromagnetica, pertanto è insensato chiedere "che colore hanno i raggi X?" o, in generale, se esistono colori diversi da quelli che vediamo.
La Matematica è diversa: non ha nessun limite prestabilito, non c'è nessun fisiologo che finora ha posto limiti alla possibilità dell'elaborazione matematica (ve lo immaginate un medico che dica: "Ho scoperto che si può fare Matematica solo tra il Teorema di Pitagora ed il paradosso di Banach-Tarski."...
). E dirò di più: non c'è nessuna circostanza che ci induca a credere che la Matematica abbia dei limiti effettivi di elaborazione. Ciò per tre motivi: 1. i Matematici possono scegliersi le regole con cui lavorare, 2. in caso tali regole non "vadano bene", possono tranquillamente cambiarle (non c'è niente di imposto "dall'alto", a differenza della Fisica) e 3. l'adozione di nuove regole comporta sempre nuove difficoltà, che si traducono in nuova Matematica.
per gugo:
se esistesse una funzione per qualsiasi insieme di punti,nel senso in cui lo stavo intendendo io ,non esisterebbe il metodo dell'interpolazione numerica,altrimenti hai capito male quello che volevo dire ,che tralaltro ho detto in modo chiaro.é inoltre EVIDENTE che non volevo minare i fondamenti della matematica con i miei discorsi ,ma mi stavo chiedendo ,come quasi tutti hanno ben capito,tranne tu,se possano esistere altre operazioni logiche che a noi sfuggono PERCHE' NON CI ARRIVIAMO CON LA NOSTRA TESTA,il che equivale a chiedere se esistono altri colori non componibili con quelli esistentie che non possiamo vedere,e potrebbero esistere perche' non percepiamo tutte le frequenze.Adesso spero di essere stato chiaro soprattutto con l'analogia del numero i che non voleva essere un'offesa alla matematica , ma un esempio per chiarire il concetto:se i esiste e lo sappiamo elaborare,ma non lo intuiamo,possono esistere delle operazioni logiche che non possiamo intuire,ma in qualche modo ricavare e gestire?non pretendo e soprattutto non mi aspetto una risposta a questa domanda ,mi aspettavo pero' una discussione piena di pareri e opinioni,che non è stata possibile per la tua rigidita' mentale ad esempio.Ti ci vorrebbe una vacanza
se esistesse una funzione per qualsiasi insieme di punti,nel senso in cui lo stavo intendendo io ,non esisterebbe il metodo dell'interpolazione numerica,altrimenti hai capito male quello che volevo dire ,che tralaltro ho detto in modo chiaro.é inoltre EVIDENTE che non volevo minare i fondamenti della matematica con i miei discorsi ,ma mi stavo chiedendo ,come quasi tutti hanno ben capito,tranne tu,se possano esistere altre operazioni logiche che a noi sfuggono PERCHE' NON CI ARRIVIAMO CON LA NOSTRA TESTA,il che equivale a chiedere se esistono altri colori non componibili con quelli esistentie che non possiamo vedere,e potrebbero esistere perche' non percepiamo tutte le frequenze.Adesso spero di essere stato chiaro soprattutto con l'analogia del numero i che non voleva essere un'offesa alla matematica , ma un esempio per chiarire il concetto:se i esiste e lo sappiamo elaborare,ma non lo intuiamo,possono esistere delle operazioni logiche che non possiamo intuire,ma in qualche modo ricavare e gestire?non pretendo e soprattutto non mi aspetto una risposta a questa domanda ,mi aspettavo pero' una discussione piena di pareri e opinioni,che non è stata possibile per la tua rigidita' mentale ad esempio.Ti ci vorrebbe una vacanza
"FreshBuddy":
veramente formidabile:alzo le mani davanti a cotanto formalismo!caro gugo,ci tengo a precisare due cose:la prima è che forse dovresti leggere i post dall'inizio,perche' il problema che io avevo posto era un altro e riguardava l'esistenza o meno di altre operazioni logiche oltre quelle che conosciamo e avevo paragonato l'esistenza possibile di queste al numero i ,nel senso che potrebbero esistere anche se per noi sarebbero poco intuitive,come appunto i.Da quando ho detto questo tutti si sono focalizzati sul fatto che non era vero che i non è intuitivo e siamo andati fuori tema.la seconda cosa :penso di essere abbastanza diverso da tutti gli ingegneri che ho conosciuto finora,che trattano la matematica come una serva; a mio parere poi ,cercare di dare un senso a i ,non significa avere una visione troppo concreta, a dimostrazione di questo bastino i poster che alcuni prof hanno in casa con il numero pigreco scritto con le prime 1000 cifre.Penso che la mia visione sia piu' romantica della tua,in quanto vorrei vedere in ogni cosa il suo vero significato profondo e non mi accontento se un numero riesco solo a definirlo:sarebbe molto piu' bello conoscere tutte e due le cose,altrimenti la matematica non sarebbe altro che un insieme di simboli messi insieme non credi?
Fresh...mettiamo in chiaro un paio di cosette.
1. Il thread l'ho letto tutto. L'incipit del mio post a cui tu ti riferisci è chiaro a riguardo: infatti dice che ciò che ha seguito la tua affermazione citata ha poco senso.
2. Altre operazioni logiche credo che possano essere pensate e definite, almeno in linea di principio. La Matematica non mette nessun divieto a riguardo; la scuola formalista nemmeno. Ampliare il mondo delle possibili operazioni è sempre una buona cosa, perchè può consentire di migliorare le tecniche di dimostrazione, di formulare nuovi teoremi, di vedere relazioni che prima erano celate, etc...
3. Se sapessi davvero un po' di Matematica, non avresti posto la domanda del post iniziale così come è scritta. Infatti dopo Dirichlet, si è capito che le funzioni matematiche sono associazioni arbitrarie tra due insiemi (numerici e non) che soddisfino qualche condizione. Fissati un qualsivoglia numero (finito o non) di punti del piano è perciò sempre possibile trovare una funzione il cui grafico contenga quei punti.
Inoltre il tuo discorso sulle equazioni differenziali è... delirante, come ti hanno già fatto notare i vari irenze, Fioravante e Megan00b.
4. La richiesta di vederela radice di $-1$ è sintomo del fatto che non sei così differente dai tuoi colleghi come credi. Se lo fossi davvero avresti usato un argomento migliore.
5. L'affermazione "Penso che la mia visione sia piu' romantica della tua,in quanto vorrei vedere in ogni cosa il suo vero significato profondo e non mi accontento se un numero riesco solo a definirlo" conferma quanto detto al punto 4.
6. Il romanticismo non è affatto correlato alla questione della possibile esistenza nella realtà sensibile degli enti matematici. Ti assicuro la Matematica è molto sorprendente anche quando non si identifichino i suoi oggetti con qualcosa di tangibile.
7. Il senso dell'affermazione "sarebbe molto piu' bello conoscere tutte e due le cose [n.d. Gugo82: significato vero e profondo e definizione], altrimenti la matematica non sarebbe altro che un insieme di simboli messi insieme non credi?" è oscuro. Poichè nessuno è finora riuscito a dimostrare che esiste (nel senso del sensorialmente percettibile) qualcosa assimilabile totalmente con un ente matematico, non si può affermare che gli oggetti della Matematica esistano al di fuori della Matematica stessa: per un matematico (e soprattutto per un formalista) gli oggetti della Matematica esistono nell'ambito di una teoria formale e basta... il resto è credenza popolare.
Ciao.
@ Sergio: quel libro di Lolli mi lasciò stupito, ma in negativo... Avresti qualche testo migliore da consigliarmi sull'argomento Filosofia della Matematica? Ho letto che hai citato il libro di Israel in diversi post recenti, ma a quanto ho capito si occupa per lo più del rapporto Matematica-Fisica-realtà che forse è troppo specifico. Diciamo che vorrei un testo "panoramico" come quello di Lolli, ma scritto con le mani e non con i piedi.
Sergio, condivido il tuo parere sull’opera di Lolli.
sei un matematco e come tale non dovresti dire queste cose
mi spiego:non so se conosci la storiella del matematico del fisico e dell'ingegnere che da un aereo vedono una pecora nera su una collina scozese:il matematico dice che esiste almeno una collina in scozia dove c'è almeno una pecora almeno per meta' nera:posso anche essere daccordo ,ma poi non mi venire a dare false certezze del tipo"la matematica sono solo simboli e siamo noi a darle significato":non puoi dimostrarlo come io non posso dimostrare che " esistono concetti e verita' universali a noi in parte comprensibili tramite del formalismo",cosa che a e sembra piu' giusta e BELLA
mi spiego:non so se conosci la storiella del matematico del fisico e dell'ingegnere che da un aereo vedono una pecora nera su una collina scozese:il matematico dice che esiste almeno una collina in scozia dove c'è almeno una pecora almeno per meta' nera:posso anche essere daccordo ,ma poi non mi venire a dare false certezze del tipo"la matematica sono solo simboli e siamo noi a darle significato":non puoi dimostrarlo come io non posso dimostrare che " esistono concetti e verita' universali a noi in parte comprensibili tramite del formalismo",cosa che a e sembra piu' giusta e BELLA
@Gugo82
Thanks.
Thanks.
"FreshBuddy":
altrimenti la matematica non sarebbe altro che un insieme di simboli messi insieme non credi?
Ma la Matematica E' proprio questo. Siamo noi che poi la interpretiamo e ci ricamiamo sopra.
Non c'è niente di magico nella formula: $e^(ipi)+1=0$. Siamo noi che le diamo un senso mistico.
La matematica è un linguaggio composto dai simboli $neg$, $vv$, $^^^$, $rarr$, $harr$, ${}$, $=$, $AA$, $EE$, le lettere dell'alfabeto e qualche centinaia di abbreviazioni di proposizioni, quelle che chiamiamo notazioni come ad esempio $varphi$.
Il teorema di incompletezza non inficia questa verità.
citazione:
"Hilbert diede il via alla scuola formalista, una delle tre scuole della matematica del 1900. Secondo il formalismo la matematica è un gioco privo di significato in cui si gioca con contrassegni privi di significato secondo regole formali concordate in partenza. Essa è quindi un'attività autonoma del pensiero. (Cfr: Hermann Hesse - Il gioco delle perle di vetro).
Nonostante l'impegno profuso da Hilbert e dai numerosi valenti matematici che l'hanno affiancato nell'impresa, il suo tentativo di assiomatizzazione della matematica era destinato a fallire: infatti nel 1931 Gödel dimostrò come un sistema formale non contraddittorio, che comprenda almeno l'aritmetica, non può dimostrare la propria completezza dall'interno dei suoi assiomi. "
cerchiamo di non citare sempre i casi particolari per smentire ogni cosa
"Hilbert diede il via alla scuola formalista, una delle tre scuole della matematica del 1900. Secondo il formalismo la matematica è un gioco privo di significato in cui si gioca con contrassegni privi di significato secondo regole formali concordate in partenza. Essa è quindi un'attività autonoma del pensiero. (Cfr: Hermann Hesse - Il gioco delle perle di vetro).
Nonostante l'impegno profuso da Hilbert e dai numerosi valenti matematici che l'hanno affiancato nell'impresa, il suo tentativo di assiomatizzazione della matematica era destinato a fallire: infatti nel 1931 Gödel dimostrò come un sistema formale non contraddittorio, che comprenda almeno l'aritmetica, non può dimostrare la propria completezza dall'interno dei suoi assiomi. "
cerchiamo di non citare sempre i casi particolari per smentire ogni cosa
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