Limite ALLE Funzioni
Ciao,non sapevo dove discutere dell'argomento che sto per proporre e questa sezione mi sembra la piu' adatta.
Da un anno circa mi è nata una sensazione:è evidente a tutti che disponiamo di un numero finito di tipi di funzioni (lineari,paraboliche,iperboliche,esponenziali,logaritmiche,sinusoidali,funzioni con il fattoriale,e funzioni abbastanza avanzate che neanche conosco,ecc...) ,che possono essere combinate in un certo modo.Mi sono mai posto il problema dell'esistenza di altre funzioni di tipo diverso da quelle che conosciamo ,dove con altre funzioni intendo ad esempio che se io effettuo una distribuzione di qualche punto su un piano,che segue un andamento (passatemi il termine) non folle,esiste una funzione non combinazione di quelle conosciute che passa esattamente per quei punti:evidentemente non esiste altrimenti non esisterebbero i metodi di interpolazione numerica.Sembrebbe di pretendere un po' troppo se si esige l'esistenza di tale funzione e in effetti sono daccordo.Il forte limite della "finitezza"delle funzioni di cui disponiamo mi è balzato all'occhio con le equazioni differenziali:mi sembra limitante il fatto che conosciamo una sola categoria di funzioni ,la cui derivata è uguale alla funzione stessa(esponenziale).Questo limite mi sembra evidente oltre che in questo caso,anche nel campo della fisica,dove molti risultati derivano da equazioni differenziali.Mi chiedo se esistano funzioni di cui non ci rendiamo conto,magari come non ci rendiamo conto a livello intuitivo del numero i.Grazie per l'attenzione
Da un anno circa mi è nata una sensazione:è evidente a tutti che disponiamo di un numero finito di tipi di funzioni (lineari,paraboliche,iperboliche,esponenziali,logaritmiche,sinusoidali,funzioni con il fattoriale,e funzioni abbastanza avanzate che neanche conosco,ecc...) ,che possono essere combinate in un certo modo.Mi sono mai posto il problema dell'esistenza di altre funzioni di tipo diverso da quelle che conosciamo ,dove con altre funzioni intendo ad esempio che se io effettuo una distribuzione di qualche punto su un piano,che segue un andamento (passatemi il termine) non folle,esiste una funzione non combinazione di quelle conosciute che passa esattamente per quei punti:evidentemente non esiste altrimenti non esisterebbero i metodi di interpolazione numerica.Sembrebbe di pretendere un po' troppo se si esige l'esistenza di tale funzione e in effetti sono daccordo.Il forte limite della "finitezza"delle funzioni di cui disponiamo mi è balzato all'occhio con le equazioni differenziali:mi sembra limitante il fatto che conosciamo una sola categoria di funzioni ,la cui derivata è uguale alla funzione stessa(esponenziale).Questo limite mi sembra evidente oltre che in questo caso,anche nel campo della fisica,dove molti risultati derivano da equazioni differenziali.Mi chiedo se esistano funzioni di cui non ci rendiamo conto,magari come non ci rendiamo conto a livello intuitivo del numero i.Grazie per l'attenzione
Risposte
Detto sbrigativamente e in termini piu' generali: e' possibile un'altra matematica?
Allo stato attuale delle conoscenze, secondo me e' difficile che un'altra matematica spunti fuori entro pochi secoli (oltre non so proprio immaginare). Preferirei sbagliarmi, e di grosso: sarebbe molto piu' eccitante la vita dei matematici.
Se comprendo bene quanto tu intendi dire, la tua "domanda" e' un sottoproblema di quanto ho detto sopra.
Chiudo dicendo che non sono d'accordo con quello che dici su $i$. Non penso che noi lo intuiamo qualitativamente di meno di quanto non intuiamo $3/5$, $\sqrt{2}$, $e$.
Allo stato attuale delle conoscenze, secondo me e' difficile che un'altra matematica spunti fuori entro pochi secoli (oltre non so proprio immaginare). Preferirei sbagliarmi, e di grosso: sarebbe molto piu' eccitante la vita dei matematici.
Se comprendo bene quanto tu intendi dire, la tua "domanda" e' un sottoproblema di quanto ho detto sopra.
Chiudo dicendo che non sono d'accordo con quello che dici su $i$. Non penso che noi lo intuiamo qualitativamente di meno di quanto non intuiamo $3/5$, $\sqrt{2}$, $e$.
sono sicuro che tutti i ragionamenti sono piu' che corretti ,rimane il fatto che ,anche a causa della mia scarsa preparazione,ho ancora qualche dubbio:certamente le funzioni derivano dalle operazioni:le operazioni sono procedimenti logici che noi uomini effettuiamo:la mia domanda praticamente consiste nel chiedermi se il fatto che non non possiamo intuire altri procedimenti logici ,implica che essi non esistono,e quindi nel chiederemi se il fatto che non non possiamo intuire altre funzioni ,esse non esistono.Ho fatto l'esempio del numero i che è stato definito,ma che non è intuibile,nel senso che nessuno si puo' immaginare qunato valga la radice di -1.spero di essere stato piu' chiaro e di aver sottolineato il carattere piu' filosofico che pratico della mia domanda.
Brevi commenti veloci.
Sulla questione della funzione la cui derivata e' uguale a se stessa, irenze ha gia' detto "tutto".
Le questioni poste da Megan00b sulla "definibilita'" di X mi trovano in sintonia con lui (ma non e' argomento di cui sia esperto, anzi, non lo saro' mai)
Sulle funzioni elementari, io ho un punto di vista diverso. Noi chiamiamo funzioni elementari quelle che si ottengono dalle operazioni aritmetiche elementari + esponenziale, includendo anche la inversione di funzione tra le "manipolazioni" ammesse. Ovviamente le funzioni trigonometriche sono solo un epifenomeno della esponenziale (come si vede in campo complesso o come si intuisce dallo sviluppo in serie di queste funzioni).
Niente da dire, si tratta di una classe di funzioni rispettabile, ma appiopparle l'etichetta di "elementari" e' una arbitrarieta' terminologica. Se la funzione "sbirulino" (esempio, la funzione integrale di e^(-x^2) ) la volessimo chiamare elementare, avremmo subito la "integrabilita' elementare" della funzione citata.
Sulla questione della funzione la cui derivata e' uguale a se stessa, irenze ha gia' detto "tutto".
Le questioni poste da Megan00b sulla "definibilita'" di X mi trovano in sintonia con lui (ma non e' argomento di cui sia esperto, anzi, non lo saro' mai)
Sulle funzioni elementari, io ho un punto di vista diverso. Noi chiamiamo funzioni elementari quelle che si ottengono dalle operazioni aritmetiche elementari + esponenziale, includendo anche la inversione di funzione tra le "manipolazioni" ammesse. Ovviamente le funzioni trigonometriche sono solo un epifenomeno della esponenziale (come si vede in campo complesso o come si intuisce dallo sviluppo in serie di queste funzioni).
Niente da dire, si tratta di una classe di funzioni rispettabile, ma appiopparle l'etichetta di "elementari" e' una arbitrarieta' terminologica. Se la funzione "sbirulino" (esempio, la funzione integrale di e^(-x^2) ) la volessimo chiamare elementare, avremmo subito la "integrabilita' elementare" della funzione citata.
Il problema che poni me lo sono posto io qualche anno fa e ti dico a quale conlcusione/congettura sono arrivato: il problema non esiste.
Mi spiego. tu parli di una funzione il cui grafico passi per determinati punti del piano arbitrari.
Cioè tu decidi un certo numero di coppie che devono appartenere al grafico.
Sia X l'insieme di queste coppie.
Supponi X finito. In altre parole dati n punti vuoi trovare una funzione il cui grafico passi per quei punti. Ce ne sono infinite e il metodo più veloce è fare un'interpolazione polinomiale scema scema.
Un polinomio è una funzione elementare o "combinazione" di funzioni elementari.
Se X non è finito si pone un problema.
Prima di chiedersi se esiste una funzione elementare il cui grafico contenga X bisogna chiedersi: posso definire X? Voglio dire in senso pratico. Non è detto che la risposta sia sì.
Se X è finito puoi elencare i suoi elementi ma se è infinito o trovi una legge che puoi usare per comprensione o non puoi definire X. Puoi dire che esiste ma tecnicamente non puoi dire chi è X. Per definire intendo che tu lo scrivi da qualche parte, in tempo e spazio finito e io lo leggo e so chi è X. Potremmo prendere in prestito un termine e dire che X non è ricorsivamente enumerabile o non è decidibile.
Questo è il motivo per cui ti SEMBRA che la classe delle funzioni sia difettata. In realtà le funzioni elementari (divise in classi che non sono quelle che hai detto tu) sono tutte quelle che servono. Ad esempio: sappiamo che la funzione di distribuzione normale ammette primitive ma che non esistono espressioni finito-elementari di esse. Ma non possiamo nemmeno definire i punti che compongono il grafico di questa funzione. Perchè se ci fosse un'espressione questa sarebbe data in termini di combinazioni di funzioni elementari.
Come ulteriore argomento pensa a questo: quando dico definire X ovviamente questa "deifnizione" non dipende dal fatto di essere il grafico di una funzione. Deve essere qualche altra proprietà legata al solo X.
Se la portiamo su f deve riflettersi in proprietà legate al solo grafico. Quindi deve essere legato alla struttura (ad esempio geometrica) del grafico che noi modellizziamo in maniera completa con le derivate.
Ora con le derivate le operazioni che puoi fare sono infinite ma le operazioni semplici ( somma, prodotto, derivazione, inversione, reciproco,..) sono in numero finito e quindi in numero finito devono essere le funzioni elementari. Non ne servono altre.
Mi spiego. tu parli di una funzione il cui grafico passi per determinati punti del piano arbitrari.
Cioè tu decidi un certo numero di coppie che devono appartenere al grafico.
Sia X l'insieme di queste coppie.
Supponi X finito. In altre parole dati n punti vuoi trovare una funzione il cui grafico passi per quei punti. Ce ne sono infinite e il metodo più veloce è fare un'interpolazione polinomiale scema scema.
Un polinomio è una funzione elementare o "combinazione" di funzioni elementari.
Se X non è finito si pone un problema.
Prima di chiedersi se esiste una funzione elementare il cui grafico contenga X bisogna chiedersi: posso definire X? Voglio dire in senso pratico. Non è detto che la risposta sia sì.
Se X è finito puoi elencare i suoi elementi ma se è infinito o trovi una legge che puoi usare per comprensione o non puoi definire X. Puoi dire che esiste ma tecnicamente non puoi dire chi è X. Per definire intendo che tu lo scrivi da qualche parte, in tempo e spazio finito e io lo leggo e so chi è X. Potremmo prendere in prestito un termine e dire che X non è ricorsivamente enumerabile o non è decidibile.
Questo è il motivo per cui ti SEMBRA che la classe delle funzioni sia difettata. In realtà le funzioni elementari (divise in classi che non sono quelle che hai detto tu) sono tutte quelle che servono. Ad esempio: sappiamo che la funzione di distribuzione normale ammette primitive ma che non esistono espressioni finito-elementari di esse. Ma non possiamo nemmeno definire i punti che compongono il grafico di questa funzione. Perchè se ci fosse un'espressione questa sarebbe data in termini di combinazioni di funzioni elementari.
Come ulteriore argomento pensa a questo: quando dico definire X ovviamente questa "deifnizione" non dipende dal fatto di essere il grafico di una funzione. Deve essere qualche altra proprietà legata al solo X.
Se la portiamo su f deve riflettersi in proprietà legate al solo grafico. Quindi deve essere legato alla struttura (ad esempio geometrica) del grafico che noi modellizziamo in maniera completa con le derivate.
Ora con le derivate le operazioni che puoi fare sono infinite ma le operazioni semplici ( somma, prodotto, derivazione, inversione, reciproco,..) sono in numero finito e quindi in numero finito devono essere le funzioni elementari. Non ne servono altre.
No, non è che non ne viene in mente un'altra.
Trovare una funzione che coincide con la propria derivata equivale a risolvere l'equazione $y' = y$.
Per tale equazione conosciamo le soluzioni $y(x) = k e^x$, che risolvono tutti i possibili problemi di Cauchy ($y(x) = y_0 e^{x - x_0}$ soddisfa l'equazione e la condizione iniziale $y(x_0) = y_0$), se ce ne fossero altre non ci sarebbe unicità per il problema di Cauchy, il che contraddice il teorema di esistenza e unicità di Cauchy, che sappiamo valere in questo caso. Quindi non possono esistere altre funzioni che coincidono con la propria derivata.
Trovare una funzione che coincide con la propria derivata equivale a risolvere l'equazione $y' = y$.
Per tale equazione conosciamo le soluzioni $y(x) = k e^x$, che risolvono tutti i possibili problemi di Cauchy ($y(x) = y_0 e^{x - x_0}$ soddisfa l'equazione e la condizione iniziale $y(x_0) = y_0$), se ce ne fossero altre non ci sarebbe unicità per il problema di Cauchy, il che contraddice il teorema di esistenza e unicità di Cauchy, che sappiamo valere in questo caso. Quindi non possono esistere altre funzioni che coincidono con la propria derivata.
cioè tu mi sai dimostrare che non esiste un'altra funzione di quel tipo dicendomi che non te ne viene in mente un'altra?
mi aspettavo una discussione piu' interessante
mi aspettavo una discussione piu' interessante
Infatti.
Sono tutte e sole perché valgono (globalmente) le ipotesi del Teorema di Cauchy.
Sono tutte e sole perché valgono (globalmente) le ipotesi del Teorema di Cauchy.
la totalità delle soluzioni si trova risolvendo il problema di cauchy:
$y'=y, y(0)=k$ con $kinRR$
direi che si trovano due tipi di soluzioni:
se $k=0$ allora $y-=0$ è soluzione
se $k!=0$ allora $y=ke^x$ è soluzione
e queste dovrebbero essere tutte e sole. sono quasi sicuro, spero qualcuno confermi o smentisca. ciao
$y'=y, y(0)=k$ con $kinRR$
direi che si trovano due tipi di soluzioni:
se $k=0$ allora $y-=0$ è soluzione
se $k!=0$ allora $y=ke^x$ è soluzione
e queste dovrebbero essere tutte e sole. sono quasi sicuro, spero qualcuno confermi o smentisca. ciao
"FreshBuddy":
Il forte limite della "finitezza"delle funzioni di cui disponiamo mi è balzato all'occhio con le equazioni differenziali:mi sembra limitante il fatto che conosciamo una sola categoria di funzioni ,la cui derivata è uguale alla funzione stessa(esponenziale).Questo limite mi sembra evidente oltre che in questo caso,anche nel campo della fisica,dove molti risultati derivano da equazioni differenziali.
dalla mi aprofonda ignoranza, dico che io ho sempre saputo che l'esponenziale e' proprio l'unica (in senso asosluto, cioe' non e' semplicemente l'unica elementare, ma l'unica tra tutte le funzioni che posso pensare) ad avere tale proprieta'.
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