Funzione inversa di x^x
Scusate, non sapevo dove altro collocare questa discussione, e l'ho messa in generale ... 
Premesse a parte, salve un altra volta, gente!
La domanda è abbastanza semplice: data l'equazione $x^x = a$ come la si può risolvere secondo la variabile $x$?
Avevo sentito dire che era qualcosa legata ad una certa funzione di D'Alembert, però non sono riuscito a trovare nulla di interessante.
Potreste darmi una spiegazione / link dove è trattata la soluzione di questa equazione?
Vi ringrazio.
P.S. :
Ho provato tipo in 3289239 modi diversi, il risultato che mi sembra più sensato è $\frac{e^{x+1}-xln(x)}{x}=-ln(a)$ ...
Premesse a parte, salve un altra volta, gente!
La domanda è abbastanza semplice: data l'equazione $x^x = a$ come la si può risolvere secondo la variabile $x$?
Avevo sentito dire che era qualcosa legata ad una certa funzione di D'Alembert, però non sono riuscito a trovare nulla di interessante.
Potreste darmi una spiegazione / link dove è trattata la soluzione di questa equazione?
Vi ringrazio.
P.S. :
Ho provato tipo in 3289239 modi diversi, il risultato che mi sembra più sensato è $\frac{e^{x+1}-xln(x)}{x}=-ln(a)$ ...
Risposte
Ecco a voi: http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/s ... fxtofxeqx/
E ... http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_function
Grazie lo stesso.
E ... http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_function
Grazie lo stesso.
"ViciousGoblin":
Certo che c'e' l'ha - In realta' ce ne sono vari (e alcuni sono molto importanti). Quello puramente algebrico prevede di trovare un insieme (la base - ovviamente infinita)
di funzioni linearmente indipendenti tale che ogni elemento e' combinazione lineare finita di elementi della base.
In analisi poi si introducono altre nozioni "simili", per la verita' piu' utili , per esempio le serie di Fourier sono una "base ortonormale" di opportuni spazi di funzioni.
Interessante, molto interessante, a scuola ci hanno spiegato le serie di Fourier e ci hanno anche dimostrato come trovare i coefficienti però non hanno minimamente parlato di base, ovviamente!
"ViciousGoblin":
Pero' non vedo cosa vuoi fartene della base (vuoi trovare i "coefficienti" della nostra funzione rispetto alla base? - se e' cosi' il problema non mi sembra ovvio)
Si intendevo questo e non è affatto ovvio. Per base infinita intendi numerabile, piuttosto?
Perché se non fosse numerabile, in effetti, non so quanto servirebbe...
"mircoFN":
Non sono problemi banali... un po' di queste questioni le ha dipanate Hilbert
Piuttosto, cosa ha scoperto Hilbert al riguardo? Non è che c'entrano qualcosa gli spazi di Hilbert (che, per il momento, non ho la più pallida idea di cosa siano)?
Non sono problemi banali... un po' di queste questioni le ha dipanate Hilbert
"Leonardo89":
In effetti sarebbe bello trovare un simile insieme A...
Piuttosto, una scemenza che il sonno mi fa venire in mente... quindi non linciatemi per la probabile bestemmia che dirò...
L'insieme delle funzioni non è uno spazio vettoriale di dimensione infinita?
SICURO
"Leonardo89":
Ha significato parlare di base per uno spazio vettoriale di dimensione infinita?
Certo che c'e' l'ha - In realta' ce ne sono vari (e alcuni sono molto importanti). Quello puramente algebrico prevede di trovare un insieme (la base - ovviamente infinita)
di funzioni linearmente indipendenti tale che ogni elemento e' combinazione lineare finita di elementi della base.
In analisi poi si introducono altre nozioni "simili", per la verita' piu' utili , per esempio le serie di Fourier sono una "base ortonormale" di opportuni spazi di funzioni.
Pero' non vedo cosa vuoi fartene della base (vuoi trovare i "coefficienti" della nostra funzione rispetto alla base? - se e' cosi' il problema non mi sembra ovvio)
"Leonardo89":
Perché in tal caso se trovassimo una base per l'insieme delle funzioni reali avremmo risolto.
Come dicevo sopra, qui non ti seguo bene.
"Leonardo89":
Ripeto, è tarda notte, non linciatemi...
Siamo troppo stanchi ....(io almeno)
In effetti sarebbe bello trovare un simile insieme A...
Piuttosto, una scemenza che il sonno mi fa venire in mente... quindi non linciatemi per la probabile bestemmia che dirò...
L'insieme delle funzioni non è uno spazio vettoriale di dimensione infinita?
Ha significato parlare di base per uno spazio vettoriale di dimensione infinita? Perché in tal caso se trovassimo una base per l'insieme delle funzioni reali avremmo risolto.
Ripeto, è tarda notte, non linciatemi...
Piuttosto, una scemenza che il sonno mi fa venire in mente... quindi non linciatemi per la probabile bestemmia che dirò...
L'insieme delle funzioni non è uno spazio vettoriale di dimensione infinita?
Ha significato parlare di base per uno spazio vettoriale di dimensione infinita? Perché in tal caso se trovassimo una base per l'insieme delle funzioni reali avremmo risolto.
Ripeto, è tarda notte, non linciatemi...
"Leonardo89":
[quote="ViciousGoblin"]Vista cosi' - mi ripeto - il problema se la funzione di cui si parlava fosse esprimibile in termini di funzioni "non elementari" mi sembra ovvio:
si esprime in termini di se stessa! (una volta ammesso, cosa che mi pareva fosse ritenuta probabile, non si esprime in termini di polinomi,
logaritmi , ecc. ....)
Quello che volevo dire era che una domanda come quella sopra va fatta dichiarando quali siano le "funzioni speciali" di cui si sta parlando.
Scusate la pedanteria
Nessuna pedanteria, hai pienamente ragione.
Ti potrei rispondere quindi che mi piacerebbe che queste 2 inverse fossero esprimibili in termini di un insieme di funzioni A tali che molte altre funzioni non elementari siano esprimibili in termini delle funzioni di A.
Mi spiego meglio. Sarebbe carino definire A in modo che molte funzioni non elementari siano esprimibili in termini di un insieme al confronto molto ridotto di funzioni, A.[/quote]
Capisco (e avevo capito anche prima ...).
Sospetto pero' (per la serie delle cose dette a lume di naso) che in questo insieme di funzioni troverai facilmente modo di costruire delle
funzioni che escono dall'insieme - anzi scommetto che, a forza di composizioni somme e inverse, le funzioni che escono da $A$ saranno la molte di piu'
di quelle che ci restano.
Dopo di che, il giorno che l'inversa (una delle due) di $x^x$ diventera' importante in qualche contesto, le si dara' un nome e diventera' una funzione elementare
Chiacchiere da una di notte ...
"ViciousGoblin":
Vista cosi' - mi ripeto - il problema se la funzione di cui si parlava fosse esprimibile in termini di funzioni "non elementari" mi sembra ovvio:
si esprime in termini di se stessa! (una volta ammesso, cosa che mi pareva fosse ritenuta probabile, non si esprime in termini di polinomi,
logaritmi , ecc. ....)
Quello che volevo dire era che una domanda come quella sopra va fatta dichiarando quali siano le "funzioni speciali" di cui si sta parlando.
Scusate la pedanteria
Nessuna pedanteria, hai pienamente ragione.
Ti potrei rispondere quindi che mi piacerebbe che queste 2 inverse fossero esprimibili in termini di un insieme di funzioni A tali che molte altre funzioni non elementari siano esprimibili in termini delle funzioni di A.
Mi spiego meglio. Sarebbe carino definire A in modo che molte funzioni non elementari siano esprimibili in termini di un insieme al confronto molto ridotto di funzioni, A.
"ViciousGoblin":
Quello che volevo dire era che una domanda come quella sopra va fatta dichiarando quali siano le "funzioni speciali" di cui si sta parlando.
Io sono perfettamente d'accordo su questo punto.
Quelle pagine di wikipedia le ho indicate a livello di curiosità. Lì in sostanza si parla di una teoria che mira a stabilire quando una certa funzione si possa esprimere in termini di un prefissato insieme di funzioni che diremo "elementari". Teoria della quale, tra l'altro, non so assolutamente niente.
"dissonance":
So che c'è una trattazione di questo argomento "funzioni elementari", queste sono le corrispondenti pagine di Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_galois_theory
Pero' problema che era emerso era cosa sono le "funzioni non elementari". Usando un punto di vista puramente lessicale io avrei detto
"tutte le altre" , cioe' tutte le funzioni che non sono ottenibili come somme prodotti quozienti o compozizioni di polinomi esponenziali ...
Vista cosi' - mi ripeto - il problema se la funzione di cui si parlava fosse esprimibile in termini di funzioni "non elementari" mi sembra ovvio:
si esprime in termini di se stessa! (una volta ammesso, cosa che mi pareva fosse ritenuta probabile, non si esprime in termini di polinomi,
logaritmi , ecc. ....)
Quello che volevo dire era che una domanda come quella sopra va fatta dichiarando quali siano le "funzioni speciali" di cui si sta parlando.
Scusate la pedanteria
"WiZaRd":
Diciamo che consideriamo non elementari le funzioni distinte da quelle polinomiali, da quelle trigonometriche, da quelle logaritmiche e da quelle esponenziali ove se la $x$ compare nell'argomento di una di esse allora non può comparire in nessun altro argomento?
Non capisco cosa intendi dicendo
"ove se la $x$ compare...argomento"
So che c'è una trattazione di questo argomento "funzioni elementari", queste sono le corrispondenti pagine di Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_galois_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_galois_theory
"ViciousGoblin":
Pero' se non dici quali funzioni "non elementari" consideri la risposta e' banale. Chiamo $magic(x)$ la funzione inversa di $x\mapsto x^x$ ristretta all'intervallo $[1/e,+\infty[$
e questa e' una funzione non elementare che risolve il problema
Diciamo che consideriamo non elementari le funzioni distinte da quelle polinomiali, da quelle trigonometriche, da quelle logaritmiche e da quelle esponenziali ove se la $x$ compare nell'argomento di una di esse allora non può comparire in nessun altro argomento?
"@melia":
[quote="ViciousGoblin"]Non basta dire "la funzione inversa di $x\mapsto x^x$ ristretta all'intervallo $[1/e,+\infty[$ ? (per esempio)
Certamente, ma non basta dire la funzione inversa senza individuare l'intervallo.
[/quote]
Non c'e' dubbio e se noti l'avevo messo in evidenza nei messaggi precedenti
"@melia":
[quote="ViciousGoblin"]Cosa intendete con "forma non elementare" ?
Intendo dire non nella forma usuale attraverso le normali operazioni, forse si deve invertire usando serie o altre forme che non sono quelle dell'algebra solita, ma qui mi fermo perché temo di finire in un campo minato...[/quote]
Pero' se non dici quali funzioni "non elementari" consideri la risposta e' banale. Chiamo $magic(x)$ la funzione inversa di $x\mapsto x^x$ ristretta all'intervallo $[1/e,+\infty[$
e questa e' una funzione non elementare che risolve il problema
Intendo 2 formule esplicite per le 2 funzioni inverse che possono utilizzare anche funzioni non elementari.
Edit: scrivevo insieme ad @melia
Edit: scrivevo insieme ad @melia
"ViciousGoblin":
Non basta dire "la funzione inversa di $x\mapsto x^x$ ristretta all'intervallo $[1/e,+\infty[$ ? (per esempio)
Certamente, ma non basta dire la funzione inversa senza individuare l'intervallo.
"ViciousGoblin":
Cosa intendete con "forma non elementare" ?
Intendo dire non nella forma usuale attraverso le normali operazioni, forse si deve invertire usando serie o altre forme che non sono quelle dell'algebra solita, ma qui mi fermo perché temo di finire in un campo minato...
Cosa intendete con "forma non elementare" ?
Non basta dire "la funzione inversa di $x\mapsto x^x$ ristretta all'intervallo $[1/e,+\infty[$ ? (per esempio)
Non basta dire "la funzione inversa di $x\mapsto x^x$ ristretta all'intervallo $[1/e,+\infty[$ ? (per esempio)
Non c'è una funzione inversa in quanto la funzione è decrescente per $01/e$, quindi la funzione è localmente invertibile e avrà due distinte funzioni inverse nei due tratti suddetti. Probabilmente è esprimibile in forma non elementare.
"Gugo82":
non penso che quella funzione inversa sia esprimibile elementarmente.
Mia curiosità: potrebbe essere esprimibile non elementarmente, invece?
La funzione $y = x^x $ è definita solo se la base è $>0 $ e quindi per $x>0$.
"ViciousGoblin":
Comunque $x^x$ non e' invertibile, visto che decresce per un po' vicino a zero. prima di risalire
verso infinito (basta fare uno studio di funzione)
Scusa, la funzione dovrebbe essere invertibile per l'intervallo $]1, +\infty]$, stando allo studio di funzione ...
[asvg]axes("labels");
text([-3,3],"y=x^x",aboveleft);
stroke="red";
plot("x^x");
stroke="green";
line([-20,1],[20,1]);[/asvg]
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