Filosofia-scienza
anche io mi sorprendo di aprire un topic del genere, però ho visto che nel forum nn si è parlato mai di filosofia. Io difendo a spada tratta la scienza dicendo che è più importante mentre la filosofia non che sia inutile ma è solo una sua derivazione e nn porta mai a fatti concreti, sarei felice di sapere che c'è qualcuno, spero molti, che sono con me.
Risposte
Secondo me è utile fare una distinzione tra la coerenza interna ad un sistema e la coerenza che il sistema ha nel descrivere il mondo. Un teorema lo si può pensare come una trasformazione di simboli partendo dagli assiomi e date certe regole di inferenza, è quindi insensato dire che la stringa di simboli "£/£"!%%£/%&/" è sbagliata... se però il significato che associamo ad essa è che 2 oggetti + 3 oggetti fa 8 oggetti allora possiamo dire che è sbagliata perchè non descrive adeguatamente il nostro mondo e di conseguenza si rivelerà un sistema inutile. In conclusione di un teorema possiamo dire se è sbagliato - o giusto - quando ad esso (e al sistema disimboli in generale) associamo un significato.
Riprendendo ciò che dice fields, è per definizione errato dire che un teorema (quindi dimostrato) è sbagliato, si può al limite dire che esso non descrive la realtà.
Riprendendo ciò che dice fields, è per definizione errato dire che un teorema (quindi dimostrato) è sbagliato, si può al limite dire che esso non descrive la realtà.
Lo dice bene il logico Gabriele Lolli nelle pagine iniziali del suo libro QED, che la gente non ha ben chiaro che cosa sia un teorema matematico dal punto di vista logico. Un teorema è un affermazione tautologica (sempre vera) del tipo: "Se A, allora B". Un matematico non dovrebbe aver dubbi su questo. Ogni giorno dice: "Sia f una funzione continua. Allora f.....". Oppure: "Sia G un gruppo finito. Allora G ha un elemento di ordine primo". Queste sono tautologie. Sarebbe proprio spiritoso che qualcuno venisse a dirmi che un teorema può essere falso! 
Un teorema è sempre vero.
Quelle che probabilmente intendete voi sono affermazioni del tipo: "La somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi". Questo non è un teorema. Casomai è un teorema l'affermazione: "Se un'insieme di oggetti verifica i postulati della geometria di Hilbert e se un triangolo appartiene a questo insieme di oggetti, allora la somma dei suoi angoli è 180 gradi".
Un teorema è sempre vero.Quelle che probabilmente intendete voi sono affermazioni del tipo: "La somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi". Questo non è un teorema. Casomai è un teorema l'affermazione: "Se un'insieme di oggetti verifica i postulati della geometria di Hilbert e se un triangolo appartiene a questo insieme di oggetti, allora la somma dei suoi angoli è 180 gradi".
bhè, dando un'occhiata veloce a come procede la discussione, mi sembra ( meno di sviste e fraintendimenti da parte mia) che qualcun altro la pensi come me
)
)
Questa è anche la mia opinione Lorenzo, però voglio capire anche quello che dice Fields...
"V per Vendetta":
Appunto, concordo con te Lorenzo. Quindi non capisco perchè un teorema sia una tautologia...
Infatti non lo è! Nota bene: "dimostrabilità" non è uguale a "verità". Esistono verità indimostrabili (primo teorema di Goedel). Fra l'altro, la verità non è definibile nel linguaggio in cui si sta parlando, ma solo all'esterno (metalinguaggio).
Appunto, concordo con te Lorenzo. Quindi non capisco perchè un teorema sia una tautologia...
"V per Vendetta":
ma un teorema può essere falso?
Sì! Un sistema si dice (semanticamente) corretto se dimostra solo verità. Un sistema scorretto dimostra anche falsità. Per inciso, un sistema corretto e suffcientemente potente da definire l'aritmetica non può essere completo (cioè non può dimostrare tutte le verità) - primo teorema di Goedel.
Ciao,
L.
Scusa fields ma un teorema può essere falso?
"Stephen":
Ma scusa che esempi fai fields? vuoi giustificare l'assolutezza della matematica con l'assolutezza di certe proposizioni che sembrano ovvie ma non lo sono! Intanto la tua frase è vera solo e soltanto dopo esserci messi d'accordo su cosa sia un uomo e cosa sia la mortalità in senso assoluto... e credo che neanche qui abbiamo le stesse opinioni...
Ho fatto proprio l'esempio non matematico "Se tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale".
senza preoccuparmi di ambiguità o possibili interpretazioni perché, come è noto, la verità di questo enunciato non dipende dall'interpretazione di "uomo", "mortale", "Socrate". Se sostituisci "uomini" con "pesci rossi" o "mortale" con dotato di 3 dita, la frase rimane vera.
In ogni caso è evidente che per parlare di verità dobbiamo esserci accordati sul linguaggio: le tue stesse affermazioni, e questo forum intero, altrimenti non avrebbero senso.
Comunque si puo' sostituire l'esempio che ho fatto con una qualsiasi tautologia matematica del tipo che ho descritto sopra.
Ma scusa che esempi fai fields? vuoi giustificare l'assolutezza della matematica con l'assolutezza di certe proposizioni che sembrano ovvie ma non lo sono! Intanto la tua frase è vera solo e soltanto dopo esserci messi d'accordo su cosa sia un uomo e cosa sia la mortalità in senso assoluto... e credo che neanche qui abbiamo le stesse opinioni...
"Lorenzo Pantieri":
E' una questione terminologica: stando a quello che scrivi, tu chiami "verità assolute" gli assiomi di una teoria ed i teoremi di quella teoria.
Non so però se il termine sia proprio felice, visto che ci sono enunciati che sono veri in una teoria, falsi in un altra e indecidibili in un'altra ancora. La validità di un enunciato è sempre relativa ad un sistema di assiomi.
Premetto che non sono io che ho inventato questa terminologia, che in ogni caso non corrisponde alla tua interpretazione, ma lo ha fatto la Logica matematica moderna. Il concetto di verita' non dipende dagli assiomi, ne' la verita' di un enunciato dipende da altri enunciati. Casomai e' la deducibilita' di un enunciato che dipende dagli assiomi.
Non ho intenzione di dare lezioni di logica, ci sono decine di manuali per questo. In ogni caso abbiamo da una parte gli Enunciati e dall'altra parte le Strutture. Un enunciato A puo' essere vero o falso in un struttura S. Un enunciato e' una verita' assoluta o tautologia, se e' vero in ogni struttura possibile. I teoremi matematici sono tautologie. I teoremi non dipendono da assiomi, perche' li inglobano nell'enunciato. Infatti diciamo sempre, ad esempio, "Sia V uno spazio vettoriale. Allora... etc." oppure "Sia G un gruppo finito. Allora... etc.". Queste sono tutte tautologie.
Il concetto di tautologia e' il fondamento della logica, e in effetti le procedure di deduzione non fanno altro che cercare di stabilire se una certa affermazione e' o non e' una tautologia.
Ovviamente, se usi questa terminologia, la matematica è piena di verità assolute!
Esatto.
"fields":
Ho volutamente espresso nel linguaggio naturale la proposizione:
Similmente avrei potuto scrivere la seguente proposizione: " Se un numero naturale è un oggetto che soddisfa gli assiomi di Peano, ogni numero naturale è pari o dispari."
Questa e' un'altra verita' assoluta. La matematica e' fatta di tali verita' assolute. In realta' in matematica non esistono assiomi, ma semplicemente verita' assolute, chiamate tautologie.
E' una questione terminologica: stando a quello che scrivi, tu chiami "verità assolute" gli assiomi di una teoria ed i teoremi di quella teoria. Ovviamente, se usi questa terminologia, la matematica è piena di verità assolute!
Non so però se il termine sia proprio felice, visto che ci sono enunciati che sono veri in una teoria, falsi in un altra e indecidibili in un'altra ancora. La validità di un enunciato è sempre relativa ad un sistema di assiomi.
Tuttavia, disquisire se un nome ci piace o no non porta da nessuna parte...
"V per Vendetta":
Penso che mi ripeterò: in matematica il concetto di verità è poco cristallino.
Forse perche' non conosci la definizione oggi ufficiale di verita' data da Tarski ben 70 anni fa circa. Magari leggiti un libro di logica e vedrai che il concetto di verita' e molto cristallino.
Penso che mi ripeterò: in matematica il concetto di verità è poco cristallino. Per come la penso per affermare verità assolute occorre essere dotati di onniscenza, ma questa non mi sembra una prerogativa dell'uomo. Morale della favola in matematica esistono verità per così dire "attuali" (in base ovviamente agli assiomi di partenza).
Ho volutamente espresso nel linguaggio naturale la proposizione:
"Se tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale".
Chiunque è liberissimo di cambiare significato alle parole italiane che utilizzato e ottenere una frase falsa: tuttavia noi siamo italiani, e questa, in italiano, è una verità assoluta.
Similmente avrei potuto scrivere la seguente proposizione: " Se un numero naturale è un oggetto che soddisfa gli assiomi di Peano, ogni numero naturale è pari o dispari."
Questa e' un'altra verita' assoluta. La matematica e' fatta di tali verita' assolute. In realta' in matematica non esistono assiomi, ma semplicemente verita' assolute, chiamate tautologie. La matematica studia le proposizioni della forma "Se A, allora B", come ha detto giusepperoma, centrando in pieno la sostanza del discorso. La frase su Socrate che ho citato voleva essere un esempio di tali tautologie: e' una verita' assoluta, supponendo naturalmente che l'italiano sia l'italiano, senza la quale premessa non avrebbe nemmeno senso stare qui a parlare sul forum.
"Se tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale".
Chiunque è liberissimo di cambiare significato alle parole italiane che utilizzato e ottenere una frase falsa: tuttavia noi siamo italiani, e questa, in italiano, è una verità assoluta.
Similmente avrei potuto scrivere la seguente proposizione: " Se un numero naturale è un oggetto che soddisfa gli assiomi di Peano, ogni numero naturale è pari o dispari."
Questa e' un'altra verita' assoluta. La matematica e' fatta di tali verita' assolute. In realta' in matematica non esistono assiomi, ma semplicemente verita' assolute, chiamate tautologie. La matematica studia le proposizioni della forma "Se A, allora B", come ha detto giusepperoma, centrando in pieno la sostanza del discorso. La frase su Socrate che ho citato voleva essere un esempio di tali tautologie: e' una verita' assoluta, supponendo naturalmente che l'italiano sia l'italiano, senza la quale premessa non avrebbe nemmeno senso stare qui a parlare sul forum.
"fields":
Proposizione: "Se tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale".
Questa non e' una verita' assoluta? Ovvero, abbiamo noi un linguaggio con delle regole semantiche abbastanza definite da poter concludere che questa e' una verita' assoluta? Direi proprio di sì... Ma la matematica è fatta di tali proposizioni...
Puoi riformulare l'enunciato dicendo che se l'insieme A è incluso in B e B è incluso in C, allora è incluso in C. Nella teoria degli insiemi, questo è corretto, naturalmente, e non si discute. Se vuoi chiamare questa una "verità assoluta", sei liberissimo di farlo (a me l'espressione non piace particolarmente, la trovo dal sapore un po' totalitario, ma de gustibus...).
Il fatto è che nulla vieta di costruire un'altra teoria dove una relazione come la precedente non sia verificata. In matematica c'è grande libertà nella scelta degli assiomi. Come saprai, esistono addirittura più logiche. Certo, una volta fissate le regole del gioco, allora le conseguenze sono "necessarie". Ma questa necessità, vale solo dentro un sistema assiomatico, e in generale quello che è corretto in un sistema non vale in un altro.
Pensa all'enunciato "la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti": questo enunciato è vero in geometria euclidea, falso in geometria iperbolica e indecidibile in geometria assoluta!
Ciao,
L.
Proposizione: "Se tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale".
Questa non e' una verita' assoluta? Ovvero, abbiamo noi un linguaggio con delle regole semantiche abbastanza definite da poter concludere che questa e' una verita' assoluta? Direi proprio di sì... Ma la matematica è fatta di tali proposizioni...
Questa non e' una verita' assoluta? Ovvero, abbiamo noi un linguaggio con delle regole semantiche abbastanza definite da poter concludere che questa e' una verita' assoluta? Direi proprio di sì... Ma la matematica è fatta di tali proposizioni...
Guardate un pò che topic si riapre! si era interrotto sulla briscola... per chiarezza vorrei dire che riprendo il discorso che ho portato avanti l'anno scorso, anche se con un altro nome: (matt).
Certo che la matematica e la filosofia non sono paragonabili in quanto a precisione di risultati ottenuti, ma concorderete con me che trattano anche argomenti molto differenti... la filosofia non dimostra a "modo suo" teoremi matematici cosi che si possa dire di preferire la matematica perchè è più precisa! La matematica è precisa perchè si è prefissa di esserlo... ma siamo sicuri che quella che noi scambiamo per precisione e assoluta verità non sia una logica conseguenza di scelte fatte all'origine?!
Giuseppe non posso lasciarti dire che la matematica è vera in senso assoluto! pensavo avessimo trovato un punto di accordo su questo ma a quanto pare...
Certo che la matematica e la filosofia non sono paragonabili in quanto a precisione di risultati ottenuti, ma concorderete con me che trattano anche argomenti molto differenti... la filosofia non dimostra a "modo suo" teoremi matematici cosi che si possa dire di preferire la matematica perchè è più precisa! La matematica è precisa perchè si è prefissa di esserlo... ma siamo sicuri che quella che noi scambiamo per precisione e assoluta verità non sia una logica conseguenza di scelte fatte all'origine?!
Giuseppe non posso lasciarti dire che la matematica è vera in senso assoluto! pensavo avessimo trovato un punto di accordo su questo ma a quanto pare...
"nnsoxke":
Io sono convinto che esistano delle certezze assolute in matematica... ad esempio partendo da casi il più semplice possibile : criteri di similitudine tra triangoli ... nessuno si sognerebbe mai di metterli in discussione, sono intuitivi, non sappiamo spiegare da dove possano venire queste certezze ma ce le abbiamo.
Ti sbagli! Proprio riguardo i criteri di similitudine dei triangoli, si dimostra che l'esistenza di due triangoli simili non congruenti è equivalente ad assumere il quinto postulato: nessuno si sognava di metterlo in discussione, eppure...
Più in generale, in matematica se una cosa è "intuitiva" non è detto che sia "vera"! Le geometrie non euclidee sono un esempio di teorie "sensate" ma tutt'altro che intuitive. Proprio per non farci fuorviare dall'intuizione, Hilbert suggeriva di dare agli enti della geometria nomi fittizi: anziché "punti", "rette" e "piani", meglio parlare di "piatti", "tavoli" e "boccali di birra"!
Per Giusepperoma: credo che la verità sia di un enunciato, non di una teoria nel suo insieme, per cui dire "la matematica è vera in assoluto" non ha molto senso... almeno non da un punto di vista logico!
Ciao,
L.
Io sono convinto che esistano delle certezze assolute in matematica... ad esempio partendo da casi il più semplice possibile : criteri di similitudine tra triangoli ... nessuno si sognerebbe mai di metterli in discussione, sono intuitivi, non sappiamo spiegare da dove possano venire queste certezze ma ce le abbiamo.
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