È possibile costruire fisicamente radice di due?
Come si fa a costruire fisicamente un numero irrazionale? Anzi, a dire la veritá, e questo lo trovo piuttosto sconvolgente perchè non ci avevo mai pensato, sto mettendo in dubbio l'esistenza degli irrazionali.
Risposte
"Dreamphiro":
Un conto è sfruttare una invenzione umana come i numeri complessi ed adattarla a un fenomeno fisico, un altro è il concetto di numero naturale che nasce spontaneamente nella nostra mente durante i primi anni di etá.
Non è detto che non sia qualcosa di appreso, per quanto radicato nella nostra cultura (vedi Piraha), e certamente è così per il primo dei numeri naturali (lo 0), che ha richiesto riflessioni plurisecolari prima di essere messo a punto.
"Dreamphiro":
Ora, noi possiamo certamente prescindere da questo, possiamo astrarre, possiamo dire ''no, guarda, i numeri naturali sono boh degli insiemi'' e poi inventare delle regole ma spero che questo non annulli il semplice fatto che il concetto di numero naturale è stato sempre presente nella tua mente come misura di quantitá.
Personalmente concepisco il continuo dei reali non meno "intutivamente" dei naturali.
"Dreamphiro":
Cioè la differenza tra i complessi e i naturali è che nel primo caso NOI abbiamo deciso di descrivere un fenomeno fisico tramite questi numeri (avremmo potuto sfruttare altre invenzioni matematiche) mentre nel caso dei naturali ci ha pensato il nostro cervello durante i primi anni di vita.
Anche se fosse un'invenzione evolutiva, sempre di invenzione si tratterebbe.
@Dreamphiro: E' vero quello che dici ma bisogna considerare la nostra natura "a priori" (come direbbe Kant). Infatti nulla vieta che possono esserci esseri viventi che come natura "a priori" preferiscono le frazioni, magari esseri viventi non di questo pianeta. Quello che voglio dire è che per noi sono meglio i numeri naturali perché fanno parte intrinsecamente della nostra natura ed istinto umano.
"Caenorhabditis":
[quote="Dreamphiro"]
I numeri complessi, i quaternioni ecc sono solo lettere, puri simboli che vengono manipolati tramite regole astratte inventate. I numeri naturali invece hanno un senso fisico, sono un concetto che serve a quantificare il mondo fisico.
I numeri naturali possono fregiarsi del titolo di concetti matematici proprio perché possono, anch'essi, essere visti come simboli da processare attraverso regole tipografiche. D'altro canto, tutti i tipi di numeri che ho elencato sembrano descrivere dei fenomeni fisici, anche se a volte solo a livello microscopico. Questi due "attributi" sono quindi entrambi condivisi sia dai naturali che dai reali.[/quote]
Un conto è sfruttare una invenzione umana come i numeri complessi ed adattarla a un fenomeno fisico, un altro è il concetto di numero naturale che nasce spontaneamente nella nostra mente durante i primi anni di etá. Ora, noi possiamo certamente prescindere da questo, possiamo astrarre, possiamo dire ''no, guarda, i numeri naturali sono boh degli insiemi'' e poi inventare delle regole ma spero che questo non annulli il semplice fatto che il concetto di numero naturale è stato sempre presente nella tua mente come misura di quantitá. Cioè la differenza tra i complessi e i naturali è che nel primo caso NOI abbiamo deciso di descrivere un fenomeno fisico tramite questi numeri (avremmo potuto sfruttare altre invenzioni matematiche) mentre nel caso dei naturali ci ha pensato il nostro cervello durante i primi anni di vita.
"Dreamphiro":
I numeri complessi, i quaternioni ecc sono solo lettere, puri simboli che vengono manipolati tramite regole astratte inventate. I numeri naturali invece hanno un senso fisico, sono un concetto che serve a quantificare il mondo fisico.
Studi ingegneria? Puoi dare un'occhiata al Lang, Undergraduate Algebra. Nell'appendice costruisce l'insieme dei numeri naturali e poi interi usando gli assiomi di Peano. Visto che gli interi li prende per noti, precedentemente costruisce l'insieme dei numeri razionali, reali poi complessi.
"Dreamphiro":
I numeri complessi, i quaternioni ecc sono solo lettere, puri simboli che vengono manipolati tramite regole astratte inventate. I numeri naturali invece hanno un senso fisico, sono un concetto che serve a quantificare il mondo fisico.
I numeri naturali possono fregiarsi del titolo di concetti matematici proprio perché possono, anch'essi, essere visti come simboli da processare attraverso regole tipografiche. D'altro canto, tutti i tipi di numeri che ho elencato sembrano descrivere dei fenomeni fisici, anche se a volte solo a livello microscopico. Questi due "attributi" sono quindi entrambi condivisi sia dai naturali che dai reali.
"Caenorhabditis":
[quote="Dreamphiro"][quote="5mrkv"]Facendo un passo indietro, è possibile costruire fisicamente:
[*:38fj4or8]Un numero intero negativo?[/*:m:38fj4or8]
[*:38fj4or8]Un numero razionale?[/*:m:38fj4or8][/list:u:38fj4or8]
Se costruire l'\(1\) significa prendere una mela verde, prendiamo una mela rossa per il \(-1\). Prendiamo coppie di mele per i numeri razionali. Prendiamo successioni di razionali per i numeri reali. Se servono infinite mele non posso costruirli.
Meno uno fondamentalmente non è un numero e non lo sono nemmeno i numeri razionali. Gli unici numeri sono i numeri naturali, tutti il resto è opera dell'uomo (cit. Kronecker). Ossia esistono solo i numeri naturali (e con esistono solo i numeri naturali non intendo dire che vedi il numero uno viaggiare nel cielo ma che hai in mente il concetto di uno quando vedi un pallone, una casa, un oggetti qualunque). Meno uno è semplicemente un modo comodo che usavano in antichitá per definire ''quantitá in debito'' piuttosto che ''quantitá in credito'' ossia il meno indicava che dovevi dare una quantitá piuttosto che riceverli nei commerci, poi questo concetto è stato generalizzato dalla matematica ma è un altro discorso. I numeri razionali non esistono, cosa vuol dire ''2/3 di una cosa?''? Esistono solo i concetti di due e di tre, che combini per indicare una determinata parte di un oggetto, ossia dividi in tre parti e ne prendi due, come vedi stai sempre usando numeri naturali. I razionali poi sono stati generalizzati dalla Matematica.[/quote]
Non vedo in che modo il concetto di numero naturale differisca fondamentalmente da quello di numero realtivo, razionale, reale, complesso o chi più ne ha più ne metta. Sono tutte teorie formali astratte, che trovano corrispondenze in diversi ambiti della natura.[/quote]
I numeri complessi, i quaternioni ecc sono solo lettere, puri simboli che vengono manipolati tramite regole astratte inventate. I numeri naturali invece hanno un senso fisico, sono un concetto che serve a quantificare il mondo fisico.
"Dreamphiro":
[quote="5mrkv"]Facendo un passo indietro, è possibile costruire fisicamente:
[*:3518vx9a]Un numero intero negativo?[/*:m:3518vx9a]
[*:3518vx9a]Un numero razionale?[/*:m:3518vx9a][/list:u:3518vx9a]
Se costruire l'\(1\) significa prendere una mela verde, prendiamo una mela rossa per il \(-1\). Prendiamo coppie di mele per i numeri razionali. Prendiamo successioni di razionali per i numeri reali. Se servono infinite mele non posso costruirli.
Meno uno fondamentalmente non è un numero e non lo sono nemmeno i numeri razionali. Gli unici numeri sono i numeri naturali, tutti il resto è opera dell'uomo (cit. Kronecker). Ossia esistono solo i numeri naturali (e con esistono solo i numeri naturali non intendo dire che vedi il numero uno viaggiare nel cielo ma che hai in mente il concetto di uno quando vedi un pallone, una casa, un oggetti qualunque). Meno uno è semplicemente un modo comodo che usavano in antichitá per definire ''quantitá in debito'' piuttosto che ''quantitá in credito'' ossia il meno indicava che dovevi dare una quantitá piuttosto che riceverli nei commerci, poi questo concetto è stato generalizzato dalla matematica ma è un altro discorso. I numeri razionali non esistono, cosa vuol dire ''2/3 di una cosa?''? Esistono solo i concetti di due e di tre, che combini per indicare una determinata parte di un oggetto, ossia dividi in tre parti e ne prendi due, come vedi stai sempre usando numeri naturali. I razionali poi sono stati generalizzati dalla Matematica.[/quote]
Non vedo in che modo il concetto di numero naturale differisca fondamentalmente da quello di numero realtivo, razionale, reale, complesso o chi più ne ha più ne metta. Sono tutte teorie formali astratte, che trovano corrispondenze in diversi ambiti della natura.
"Dreamphiro":
[quote="5mrkv"]Facendo un passo indietro, è possibile costruire fisicamente:
[*:2ap9od6z]Un numero intero negativo?[/*:m:2ap9od6z]
[*:2ap9od6z]Un numero razionale?[/*:m:2ap9od6z][/list:u:2ap9od6z]
Se costruire l'\(1\) significa prendere una mela verde, prendiamo una mela rossa per il \(-1\). Prendiamo coppie di mele per i numeri razionali. Prendiamo successioni di razionali per i numeri reali. Se servono infinite mele non posso costruirli.
Meno uno fondamentalmente non è un numero e non lo sono nemmeno i numeri razionali. Gli unici numeri sono i numeri naturali, tutti il resto è opera dell'uomo (cit. Kronecker). Ossia esistono solo i numeri naturali (e con esistono solo i numeri naturali non intendo dire che vedi il numero uno viaggiare nel cielo ma che hai in mente il concetto di uno quando vedi un pallone, una casa, un oggetti qualunque). Meno uno è semplicemente un modo comodo che usavano in antichitá per definire ''quantitá in debito'' piuttosto che ''quantitá in credito'' ossia il meno indicava che dovevi dare una quantitá piuttosto che riceverli nei commerci, poi questo concetto è stato generalizzato dalla matematica ma è un altro discorso. I numeri razionali non esistono, cosa vuol dire ''2/3 di una cosa?''? Esistono solo i concetti di due e di tre, che combini per indicare una determinata parte di un oggetto, ossia dividi in tre parti e ne prendi due, come vedi stai sempre usando numeri naturali. I razionali poi sono stati generalizzati dalla Matematica.[/quote]
Dimmi in due righe dove vuoi arrivare.
"Luca.Lussardi":
Intendo il continuo dei reali, è fisicamente improbabile che esista ma è molto più comodo per farci dei conti; invece la natura probabilmente è discreta su ogni scala ma se la scala è molto piccola è come se fosse continua.
Esatto, credo che i numeri irrazionali siano validi sotto una ipotesi di continuitá ma non ho ben capito il senso di questa affermazione e come questa sia collegata al quadrato unitario e alle leggi geometriche (rigorosamente dimostrate tra l'altro usando le leggi logiche del mondo ordinario).
"5mrkv":
Facendo un passo indietro, è possibile costruire fisicamente:
[*:p3hz70ve]Un numero intero negativo?[/*:m:p3hz70ve]
[*:p3hz70ve]Un numero razionale?[/*:m:p3hz70ve][/list:u:p3hz70ve]
Se costruire l'\(1\) significa prendere una mela verde, prendiamo una mela rossa per il \(-1\). Prendiamo coppie di mele per i numeri razionali. Prendiamo successioni di razionali per i numeri reali. Se servono infinite mele non posso costruirli.
Meno uno fondamentalmente non è un numero e non lo sono nemmeno i numeri razionali. Gli unici numeri sono i numeri naturali, tutti il resto è opera dell'uomo (cit. Kronecker). Ossia esistono solo i numeri naturali (e con esistono solo i numeri naturali non intendo dire che vedi il numero uno viaggiare nel cielo ma che hai in mente il concetto di uno quando vedi un pallone, una casa, un oggetti qualunque). Meno uno è semplicemente un modo comodo che usavano in antichitá per definire ''quantitá in debito'' piuttosto che ''quantitá in credito'' ossia il meno indicava che dovevi dare una quantitá piuttosto che riceverli nei commerci, poi questo concetto è stato generalizzato dalla matematica ma è un altro discorso. I numeri razionali non esistono, cosa vuol dire ''2/3 di una cosa?''? Esistono solo i concetti di due e di tre, che combini per indicare una determinata parte di un oggetto, ossia dividi in tre parti e ne prendi due, come vedi stai sempre usando numeri naturali. I razionali poi sono stati generalizzati dalla Matematica.
Facendo un passo indietro, è possibile costruire fisicamente:
[*:dmy5nn12]Un numero intero negativo?[/*:m:dmy5nn12]
[*:dmy5nn12]Un numero razionale?[/*:m:dmy5nn12][/list:u:dmy5nn12]
Se costruire l'\(1\) significa prendere una mela verde, prendiamo una mela rossa per il \(-1\). Prendiamo coppie di mele per i numeri razionali. Prendiamo successioni di razionali per i numeri reali. Se servono infinite mele non posso costruirli.
"Luca.Lussardi":
Meglio così, non mi piacciono le prese di posizione condivise da tutti. Io non sono un filosofo ne' tanto meno un filosofo della fisica, e non c'e' modo sperimentale per sapere se davvero la natura e' discreta o no. Penso solo che il fatto che sia discreta sia più semplice della continuità, e la soluzione più semplice ad un problema, come è ben noto, tende a essere quella più vera.
Concordo con Luca, discreto e continuo sono aggettivi che si riferiscono sempre a un modello mai
alla realtà. Volendo possiamo chiederci solo se i modelli che ci permettono di fare cose più precise
o prediconol valori di misure migliori adottino lo schema discreto o continuo.
E la risposta non è univoca.
Poi c'è da dire che i calcolatori lavorano su segnali digitalizzati quindi per sfruttare
la potenza di calcolo si discretizza necessariamente.
Non so che intendi, sicuramente hanno già dato risposte migliori,
ma banalmente ti dico che radice di due è la diagonale di un quadrato
il cui lato viene assunto unitario. Tu mi dirai, e che non lo sapevo?
bè io ho risposto solo alla tua domanda.
Comunque, per costruire radice di due fisicamente,
io intendo misurare una grandezza che per una legge fisica o una relazione logica
è una quantità il cui quadrato teoricamente è pari al doppio di
uno dei parametri noti di tale legge o relazione.
In questo senso chi più ne ha più ne metta.
ma banalmente ti dico che radice di due è la diagonale di un quadrato
il cui lato viene assunto unitario. Tu mi dirai, e che non lo sapevo?
bè io ho risposto solo alla tua domanda.
Comunque, per costruire radice di due fisicamente,
io intendo misurare una grandezza che per una legge fisica o una relazione logica
è una quantità il cui quadrato teoricamente è pari al doppio di
uno dei parametri noti di tale legge o relazione.
In questo senso chi più ne ha più ne metta.
Meglio così, non mi piacciono le prese di posizione condivise da tutti. Io non sono un filosofo ne' tanto meno un filosofo della fisica, e non c'e' modo sperimentale per sapere se davvero la natura e' discreta o no. Penso solo che il fatto che sia discreta sia più semplice della continuità, e la soluzione più semplice ad un problema, come è ben noto, tende a essere quella più vera.
"Luca.Lussardi":
Molto probabilmente la natura è discreta.
Non tutti sono d'accordo (es.: http://fqxi.org/data/essay-contest-files/Tong_integers.pdf)
ho capito.
Intendo il continuo dei reali, è fisicamente improbabile che esista ma è molto più comodo per farci dei conti; invece la natura probabilmente è discreta su ogni scala ma se la scala è molto piccola è come se fosse continua.
Cosa si intende per discreto e continuo?
Il continuo è una approssimazione del discreto. Molto probabilmente la natura è discreta, ma è troppo difficile da descrivere il discreto, col continuo è molto più facile e si fa l'analisi matematica. Ma l'analisi matematica è una approssimazione comoda del discreto.
@ Dreamphiro: Ma perché sei così convinto che \(\sqrt{2}\) "esista"? O che "esista" \(1\)?
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