È possibile costruire fisicamente radice di due?

[Dreamphiro]

Come si fa a costruire fisicamente un numero irrazionale? Anzi, a dire la veritá, e questo lo trovo piuttosto sconvolgente perchè non ci avevo mai pensato, sto mettendo in dubbio l'esistenza degli irrazionali.

[Caenorhabditis]

Più che una domanda di matematica, questa mi sembra una domanda di fisica. Per quanto ne so, allo stato attuale delle conoscenze nessuno può dire se, alla scala di Planck, sia più opportuno pensare lo spazio discreto oppure continuo.

[gio73]

"Dreamphiro":Cioè come è possibile che un segmento finito di diagonale possa essere rappresentato da un numero con infinito numero di cifre decimali?

La radice di due è il rapporto tra due segmenti: la diagonale del quadrato e il lato dello stesso quadrato (ideali, s'intende).
Se al lato del quadrato assegno come lunghezza la radice di 2 allora la diagonale sarà lunga 2, un bel numero naturale. Il punto è che questi due segmenti (ideali) sono incommensurabili: cioè non ammettono un sottomultiplo comune, quindi se uno è rappresentato da un numero razionale, l'altro è rappresentato da un numero irrazionale.

[Sk_Anonymous]

"Dreamphiro":Cioè come è possibile che un segmento finito di diagonale possa essere rappresentato da un numero con infinito numero di cifre decimali?

Non capisco quale sia il problema. Idealmente è così, mentre dal punto di vista fisico... Beh, se prendo una matita e traccio un segmento di retta, non è detto che io passi necessariamente per il \(\sqrt{2}\) matematicamente inteso. Questo perché non ci è dato sapere se lo spazio sia continuo nel senso dei numeri reali.

[Dreamphiro]

Cioè come è possibile che un segmento finito di diagonale possa essere rappresentato da un numero con infinito numero di cifre decimali?

[Dreamphiro]

"Delirium":Se per questo è impossibile costruire fisicamente anche l'\(1\), visto che qualsiasi puntolino tu disegni conterrà sempre un'infinità di reali (sempre ammesso che lo spazio fisico sia continuo, e questo pare non sia chiaro). Se parliamo invece di costruzioni ideali, la cosa certa è che non puoi costruire \(\sqrt{2}\) utilizzando soltanto un compasso (ideale) ed una riga non graduata (ideale); tuttavia si può fare utilizzando delle curve, per esempio la spirale di Archimede (cfr. ex. 8 pag. 584 di G. Simmons, Calculus with Analytic Geometry)

No, che c'entra scusa? L'uno esiste, o meglio esista una quantitá di oggetti pari a uno, come una bottiglia o un sasso. Ma mi risulta difficile immaginare che esistano sqrt(2) cm di distanza, per esempio.

[Sk_Anonymous]

Se per questo è impossibile costruire fisicamente anche l'\(1\), visto che qualsiasi puntolino tu disegni conterrà sempre un'infinità di reali (sempre ammesso che lo spazio fisico sia continuo, e questo pare non sia chiaro). Se parliamo invece di costruzioni ideali, la cosa certa è che non puoi costruire \(\pi\) o \(\sqrt{\pi}\) utilizzando soltanto un compasso (ideale) ed una riga non graduata (ideale); tuttavia si può fare utilizzando delle curve, per esempio la spirale di Archimede (cfr. ex. 8 pag. 584 di G. Simmons, Calculus with Analytic Geometry)

Edit. Avevo scritto una cazzata.