*coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

[Indrjo Dedej]

Viste di recente le smanie di alcuni che credono che certi si sentono offesi o perseguitati o sminuiti, iniziamo una discussione che vuole essere almeno un po' seria e magari risolutiva. Polemiche a parte, iniziamo.
Vista l'ignoranza (nessuna offesa, pure io ignoro tante cose e sto imparando) e i "pregiudizi" (ma sì, usiamo pure questo nome) voglio provare in un altro modo. Visto che usare di mia iniziativa l'approccio categoriale, mi fa sembrare sgarbato, rude o violento, chiedo a voi: cosa volete che io faccia per introdurre nella maniera più produttiva e soft questa teoria qua dentro? Poi potrete scegliere voi di odiarla e disprezzarla definitivamente, e dopo averla un minimo conosciuta sarete giustificati in questa scelta.

Principio a cui mi atterrò in questa discussione. I suggerimenti sono ben accetti, naturalmente. Ogni intervento che esula da questo principio o dalla mia domanda verrà ignorata: facile costruire conflitti inutili... Io aspetto proposte, invece.

Detto questo, sono aperto a varie proposte. Non siate timidi...

[otta96]

Comunque io avrei una richiesta: quando arrivi alla definizione di categoria poi concentrarti particolarmente sugli aspetti insiemistici che non sono mai riuscito a trovare qualcuno che li trattasse in modo per me soddisfacente?

[vict85]

@Epimenide93: concordo a pieno e bentornato.

[Fioravante Patrone1]

Epimenide93, non so cosa dire del tuo intervento. In sintesi: grazie.
Hai espresso concisamente un punto di vista che mi piace moltissimo (forse perché è molto affine alla mia opinione ). Ma, al di là dei gusti personali, credo che tu abbia ragione, e complimenti vivissimi per essere riuscito in una così mirabile e concisa sintesi.

Per me, senza aver mai studiato la teoria delle categorie, ma da umile travet della matematica più ordinaria e dozzinale è sempre stato evidente, a semplice "intuito", che ci fossero i funtori o che "i 15 teoremi" fossero invece un unico teorema. Ben venuto quindi a chi ha avuto la voglia di andare oltre l'intuizione, contribuendo a chiarire magari fin dove l'intuizione funzionava e dove faceva cilecca. Diciamo che ha trasformato "intuitions of the working mathematician" in "categories for the working mathematician".

Grazie quindi a chi si occupa profittevolmente di categorie, ma lascerei perdere deliri di superiorità. Lasciamoli ai batteri, che sono davvero fondamentali, loro

[gugo82]

"Indrjo Dedej":Se non l'avete capito, ci tengo a chiarirlo: non sono io l'autore di quel post, ho solo prestato la mia voce. Indovinate a chi.

"Indrjo Dedej":Che situazione soffocante.

Chi va con lo zoppo… Anzi: chi presta il proprio account allo zoppo…

"Indrjo Dedej":Dissi nel mio primo post "troppo facile innescare un conflitto". QED

Quale conflitto?

Se questo è conflitto, quando ho letto cose davvero offensive nei miei riguardi da parte dello “zoppo” che dovevo fare? Chiamare gli osservatori dell’ONU?
Per favore, non drammatizzare.

"Indrjo Dedej":Devo trovare un modo per iniziare bene; stando male non sono riuscito a crearmi un piano sufficientemente preciso, una tabella di marcia, le modalità. Chiedo perdono per quelli che dall'inizio si sono mostrati interessati. Mi farò sentire presto, fuori da questo topic.

Guarda che a me farebbe solo piacere leggere cose ben scritte in merito.
È stata una richiesta che ho fatto più volte, poi mi sono ritrovato davanti o uno schema della torta meringata al limone o una bibliografia sterminata di citazioni altrui o un testo che dopo i primi capitoli mi portava insistentemente la domanda: “Sì, vabbè, e allora…?”
Il suggerimento che chiedevi l’ho dato.
Quindi mi siedo ed aspetto…

[xdom="gugo82"]… E tralascio la violazione del [regolamento]Reg1[/regolamento], cfr. 2.5, 4.11 e 4.13.

Ma tutto rimane archiviato.[/xdom]

[axpgn]

Ciao Epimenide, ben tornato

[Epimenide93]

Salve! Torno dopo tanto, tanto tempo su questo forum, perché mi è stato segnalato questo thread, ed è un topic su cui penso di aver qualcosa da dire.

Premessa d'obbligo, per lo più non sono uno che fa teoria delle categorie, ma sono uno che la usa, e anche parecchio, in quanto buona parte dei miei interessi matematici sarebbero, nei fatti, informulabili senza di essa.

Quel che vorrei dire in merito alla teoria, è che, basandomi sulla mia seppur limitata comprensione della "big picture" della Matematica, trovo bisognerebbe smettere di darle una connotazione diversa (in qualche senso) dal resto delle teorie matematiche. Provo a spiegarmi meglio. Come in molti altri casi, c'è una grossa differenza tra l'essere specializzati in una teoria, ed il mero usarla. Da matematici, usiamo su base quotidiana (una quantità minuscola di nozioni inerenti) la teoria degli insiemi e la topologia generale, ad esempio. Eppure, la maggior parte di noi non è direttamente interessata a questioni riguardanti la consistency strength dei cardinali inaccessibili, né sa a memoria risultati esoterici di topologia generale. Se una persona usa parlare di "funzione continua", "compattezza", o "numerabilità" in un contesto di analisi, algebra, geometria(, ...) nessuno pensa mai "ecco, è arrivato il tizio della teoria degli insiemi" o "ecco il topologo generale". Esiste un nocciolo duro di CT che andrebbe trattato allo stesso modo. Se una roba è un'aggiunzione, è un'aggiuzione, c'è poco da dire o da fare; si tratta puramente di linguaggio, la stessa cosa che permette di dire "compattezza" senza dover stare a ripetere ogni volta una delle diecimila formulazioni equivalenti della definizione. Similmente, credo sarebbe il caso di smetterla di trattare CT come una roba 0-100, per cui o si è degli esperti, o non si sanno neanche le definizioni di base. Non è una roba esoterica, specie nei suoi aspetti fondamentali, le basi son roba che uno studente di magistrale (indipendentemente dal suo indirizzo) può digerire in un paio di pomeriggi. Non tutti necessitano degli aspetti più raffinati della teoria, ma sono certo che tutti trarrebbero profitto dal capire la nozione di aggiunzione (tanto per dirne una). Le ragioni per cui la nozione di funtore non fa parte del bagaglio fondamentale di ogni matematico, come lo fa la nozione di funzione iniettiva, o di insieme chiuso, credo si trovi puramente nell'inerzia, e in qualche sfortuna storica, ma non è mai troppo tardi per rimediare.

Una cosa utile è capire a cosa, e a chi serva CT, e secondo me la risposta è facile eppure raramente considerata: CT separa le parti della matematica che sono vere "per motivi formali", da quelle vere "in virtù di tecniche specifiche inerenti gli oggetti trattati". Esistono teoremi che, in qualche senso, sono veri "perché davvero non potrebbe essere altrimenti", mentre esistono teoremi che sono veri perché "le definizioni e le tecniche proprie della teoria [bla] sono cucite in modo tale da far funzionare il tutto". CT separa in maniera molto pulita i primi teoremi dai secondi, permettendo di distinguere il "formal nonsense" dalla grana fine di una teoria. Tra i guadagni, oltre ad una certa pulizia concettuale, c'è l'evitare di ridimostrare per la quindicesima volta un teorema vero per "formal nonsense", scambiandolo per un risultato profondo che ha bisogno di chissà quali risultati tecnici. Il che non vuol dire che CT può banalizzare tutto. I teoremi non strutturali esistono, e sono in ultima istanza i risultati su cui tutta la matematica fa perno. Ma impiegare gli sforzi tipici di risultati profondi per dimostrare l'ennesima istanza del lemma di Yoneda è miope se non stupido.

La messa è finita, andate in pace

[vict85]

"Martino":[...] Una "teoria del tutto" non mi sembra plausibile. E' certamente affascinante, e merita di essere studiata, ma secondo me è sbagliato imporla come se la teoria delle categorie fosse più fondamentale della teoria degli insiemi (sembra uno scherzo, ma c'è chi ne è convinto). E' ovvio che la teoria delle categorie viene dopo la teoria degli insiemi perché uno introduce le categorie per "generalizzare" gli insiemi e non viceversa. [...]

Concordo su tutto tranne che su questo. Sicuramente, storicamente, è venuta dopo, ma entrambe si basano su concetti primitivi pressoché equivalenti (ovvero un qualche concetto di "collezione di oggetti"). Se fai prima il concetto di categoria allora un insieme è un oggetto di una qualche categoria con determinate proprietà. Tutto qui. Ci sono libri che studiano la logica dal punto di vista algebrico, direi che è ammissibile usare la teoria della categorie alla base della teoria degli insiemi, non ci vedo nulla di male. In fondo è una questione di poca importanza: non è che cambi qualcosa per la teoria dei gruppi o per la topologia.
Tra l'altro, non si può richiedere che la collezione degli oggetti di una categoria sia un insieme.

[gabriella127]

Indrjo, vai avanti nel tuo progetto, interessante, secondo i tuoi propri principi, e ti risentiremo quando avrai un tuo piano.

Io ti seguirò volentieri. Ho il vantaggio che 'l'ignoranza mi rende libera', (come diceva Ugo Gregoretti), libera di non avere alcuna opinione sulla teoria delle categorie.

[Indrjo Dedej]

Se non l'avete capito, ci tengo a chiarirlo: non sono io l'autore di quel post, ho solo prestato la mia voce. Indovinate a chi. E Martino riteneva la cosa costruttiva, avendo letto preventivamente la bozza dell'intervento. Evidentemente, non devo farlo più.

Che situazione soffocante.

Dissi nel mio primo post "troppo facile innescare un conflitto". QED

Devo trovare un modo per iniziare bene; stando male non sono riuscito a crearmi un piano sufficientemente preciso, una tabella di marcia, le modalità. Chiedo perdono per quelli che dall'inizio si sono mostrati interessati. Mi farò sentire presto, fuori da questo topic.

[Bremen000]

Quando dico questo

"Bremen000":[...] capaci di sorvolare sempre, si parte da un commentino, un altro, una frecciatina e poi finisce in caciara.
[...]

intendo anche cose come questa

"gugo82":[...]
@ Indrjo: Cioè, mi stai esplicitamente dicendo che riuscite a “fare i talebani” anche tra di voi e non solo con gli “altri”… Ma che bello.

, purtroppo.

[gugo82]

@ solaàl: Ah, non ti era chiaro penilunghismo, allora!
Spiego, a mo’ di dizionario.
[ot]Penilunghismo: (lett) atteggiamento tipico di molti maschi in età puberale, che consiste nel pavoneggiarsi esibendo le proprie sviluppande pudenda (questo è latino: se c’è bisogno di traduzione chiedi pure) a coetanei che essi suppongono avere un minor grado di maturazione dei caratteri sessuali secondari; (est) atteggiamento tipico di chi vuole solo mostrare di saperla lunga, che consiste nel tirare in ballo nozioni o concetti o esempi inutilmente complessi rispetto a o molto lontanamente correlati a o totalmente scorrelati dall’argomento di una discussione. Sinonimo: “giocare a chi ce l’ha più lungo”.[/ot]

Per il resto: ho letto il primo ed il terzo articolo. Simpatici e si capisce anche l’idea che c’è sotto.
Tuttavia, l’approccio non mi piace perché nasconde delle costruzioni che sono fondamentali per capire come fare “a fare i conti”[nota]Espressione gergale, ma che rende bene l’idea.[/nota] in casi più generali.


@ Indrjo: Cioè, mi stai esplicitamente dicendo che riuscite a “fare i talebani” anche tra di voi e non solo con gli “altri”… Ma che bello.

[Indrjo Dedej]

Ho aperto la discussione, ma mi sono eclissato da quasi subito. Scusate sono un po' male e mi sono scordato. Mi fa piacere comunque questa varietà di interventi e il confronto.

(Messaggio non mio, mi sono limitato a prestare la mie credenziali.)

Ciao Martino, il tuo intervento è certamente condivisibile in larga parte, ma mi sembra che sia basato su una serie di malintesi. Spero mi permetterai di aggiungere un parere informato.

Purtroppo sarà una risposta molto lunga, perché tu hai detto molte cose... ognuno apra la tendina su quel che più gli aggrada sapere.

1. Olivia
[ot]Primo. Olivia non è una categorista (nel senso che una sua lettera aperta alla comunità si chiude con le parole "I have been regularly told (by different category theorists) things such as “you are not one of us” (referring to my different way of doing mathematics), “you have made me and Lawvere seem idiots” (referring to my address at the CT 2010) and “it is not that we do not understand, it is that we do not want to understand”. This is an attitude that one might label as “mathematical fanaticism”. I therefore no longer consider it my problem to make my word heard by people that do not want to hear."

Questo mi sembra emblematico della volontà, da ambo le parti, di non considerarsi fratelli.

Olivia non si considera una persona che fa teoria delle categorie, ma una delle tante che le usa; nella fattispecie, per fare logica.

Quello che lei dice, quindi, è personale opinione di "una logica che usa la teoria delle categorie" (sue parole praticamente letterali). Ciò di cui si occupa è poi un frammento di logica, la logica categoriale e la teoria dei topos, gli strumenti di lavoro della quale sono una sottoclasse della teoria delle categorie.

In secondo luogo, "The unification of Mathematics" non è un articolo che pretende di unificare tutta la matematica con la teoria delle categorie/teoria dei topos, e non è stato pubblicato su una rivista. E', piuttosto, un programma di ricerca dal titolo roboante che Olivia ha presentato al CT2010 di Cambridge (generando, praticamente, la faida che l'ha portata a reagire nel modo che la "controversia" racconta). Insomma, c'è una storia dietro, che tu non sai, legata anche al carattere particolare di Olivia.
Il paper è stato presentato quando lei doveva ancora finire il dottorato; in quel periodo si considerava sì una categorista, e quel che faceva era proprio teoria dei topos. Poi c'è stata la diatriba (legata anche al fatto che i categoristi hanno un brutto carattere, e quando canzonate la loro matematica automaticamente state attaccando la loro persona...)

Il titolo del paper poi trae in inganno, ma se lo leggi sapendo qualcosa di logica categoriale ti rendi conto che è Matematica come le altre: profonda, tecnicamente molto virtuosa, generale, astratta, ma sempre Matematica. Quindi ha un campo di applicabilità limitato, perché è fatta di teoremi, e i teoremi si fanno con le ipotesi.

In terzo luogo, lavori simili, per esempio il paper di Lawvere "The category of categories as a foundation for mathematics" hanno anche loro un titolo roboante, ma (quello, ad esempio) dice una cosa molto precisa, che ha limiti di applicabilità precisi, che enuncia risultati e dimostra teoremi: praticamente, c'è una teoria al primo ordine, che fa cose, e che dovrebbe servire a "fondare" la matematica nello stesso senso in cui lo fa la teoria degli insiemi (meno persone si stupirebbero se il titolo del paper fosse "Set theory as a foundation for mathematics": la risposta "ci mancherebbe, cos'altro dovremmo usare?"... eh, sapeste cos'altro c'è!).[/ot]

2. La teoria delle categorie fa cose, ma non ne fa altre.
[ot]Questo approccio ha dei pregi? Certo: è generale, espressivo, potente, parla di strutture che sono difficili da catturare e da riconoscere in quanto simili usando gli insiemi; e soprattutto "non parla di insiemi" ma di un certo frammento di teoria dei tipi. Che è una teoria "migliore" sotto diversi punti di vista, filosofici e matematici-tecnici, della teoria degli insiemi.

Questo approccio ha molti difetti: non è chiaro quanto sia vero che questa è davvero una fondazione. Quello che si può dire "non piace" ai matematici che non sanno la teoria delle categorie, perché i teoremi sono meno potenti (si può misurare con una certa precisione quanto meno). Ciò significa che l'analisi funzionale viene peggio, la teoria delle equazioni differenziali, la fisica matematica, la combinatoria, sono più difficili da dire, e certi teoremi smettono di essere dimostrabili perché il linguaggio è meno potente. Che schifo, per chi vuole che la matematica distrugga tutto come un martello!

Sotto questo aspetto, la comunità di teoria delle categorie applicata sta facendo progressi enormi: stiamo a vedere, è nata da un paio d'anni. Ma la sensazione è che sia un momento di svolta, perché al momento la volontà è di parlare "di tutto quello di cui fino a ieri CT non parlava": genetica, teoria dei giochi, analisi stocastica, teoria della misura, combinatoria, teoria delle stringhe e gravità quantistica, sistemi dinamici, criptovalute, diagrammi di flusso del segnale, reti neurali, blockchain, machine learning, neuroscienze, linguistica... (non sto citando cose a caso, ho un paper o un cluster di articoli in mente per ciascuno di queste aree di ricerca, sto solo evitando di piazzare 120 link; chi vuole, chieda). Non sono lavori che cambieranno la vita a chi fa teoria dei giochi da 40 anni, e per ora non sembra esserci una relazione tra ciò che il resto del mondo chiama teoria dei giochi e ciò che i categoristi chiamano teoria dei giochi, quindi temo che la vostra risposta sarà "hahahahaha che cosa patetica". Ne possiamo parlare.[/ot]


3.

Purtroppo però quando si vanno a studiare questi oggetti nel dettaglio non si possono evitare i contacci troppo a lungo.

[ot]Questa è una vulgata che capisco da dove venga, ma che sono un po' stanco di sentire in giro: c'è la sensazione che CT sia un modo di svicolare dal fare "matematica vera" (perché la matematica vera deve essere difficile, no? Se non è astrusa e incomprensibile non è giusta). C'è un limite invalicabile alla possibilità di rendere strutturale la matematica? Sì, forse. Ma non è un buon motivo per smettere di assestarlo più in là possibile, come penso concorderai. Soprattutto, quello che porti tu è un esempio della fallacia che si chiama "cherrypicking": hai scelto un problema aperto che non ha niente di strutturale, perché è specifico di un singolo numero intero, e hai chiesto: perché col 6 è diverso? Vedi che le tue categorie non mi sanno rispondere? Vedi che con la teoria delle categorie non si può rispondere a tutte le domande e non si possono fare tutti i conti? Lo vedo, sì, ma non vedo cosa questo dimostri: si può distinguere il numero 6 dal numero 7 in teoria delle categorie, ma il punto è che "numero", "sei" e "sette", in teoria delle categorie sono oggetti puramente sintattici: è il contesto a incarnare questa sintassi in una semantica, a dare significato ai simboli. Il linguaggio è più povero, perché ora non si parla più di un numero 6, ma di "qualsiasi cosa il numero 6 significhi, in relazione al contesto dove esso è inserito"; ovviamente si può rendere un teorema questo virgolettato, ma farlo richiede spazio. Dirò di più se vi interessa. Quando interpreti "6" nel contesto classico, poi, torni ad avere quello che avevi prima, e devi dimostrare quello che dovevi dimostrare prima.
Ciò che la teoria delle categorie fa non è dimostrare perché \(S_6\) rompe un pattern altrimenti perfetto, e cos'ha di speciale il numero 6 rispetto agli altri; nello stesso senso, il motivo per cui esistono solo quelle algebre di divisione su \(\mathbb R\) non è categoriale, ma algebrico/combinatorio. E parliamo del solito esempio: il motivo per cui i gruppi di omotopia delle sfere sono un carnaio infernale privo di qualsiasi regolarità, apparentemente lontano da qualsiasi possibilità di essere imbrigliato in un teorema generale... questo non ha niente a che fare con le categorie, ma ha spronato molta ricerca in teoria delle categorie. Non puoi rispondere agilmente alla singola domanda che hai posto tu usando le categorie; così come non puoi agilmente piantare un chiodo su un muro usando un trapano. Del resto le categorie sono trapani che possono trasformarsi in molti altri oggetti.

E se tiri la coperta da un lato la allunghi dall'altro: il linguaggio dice di meno, ma dice "molto meglio" le cose, perché la logica di fondo è inerentemente costruttiva; si è liberata di una parte di risultati, ma quello che può dimostrare, può proprio farti vedere concretamente come è fatto in ogni sua parte; nello stesso senso della matematica costruttiva, perché la matematica scritta nel linguaggio delle categorie è forzata a esserlo.[/ot]

4. La tendenza velleitaria e un po' superomistica dei categoristi a voler dire tutto con le categorie, e quello che non riesci a dire con le categorie non è nemmeno matematica.
[ot]Ok, bene, parliamone: ma questo lato della storia aprirebbe una parentesi molto ampia su diversi temi che qui dentro sono "caldi"; c'è qui dentro la sensazione che la teoria delle categorie sia una matematica di second'ordine perché riesce a dire di meno, o perché la sua comunità è fatta da gente poco raccomandabile. Entrambe le cose sono vere, ma bisogna fare dei distinguo. Almeno due: il primo, chi fa teoria delle categorie molto spesso non lo fa né perché gli viene bene, né perché gli piace (cioè né per piacere né per convenienza); sente, piuttosto, intimamente in sé stesso, che sia "giusto" fare matematica in quel modo. Opinabile, condivisibile, orripilante... scegliete voi. Ma spero che questa discussione vi faccia scegliere perché vi siete informati, non perché un moderatore di un forum vi dice cosa deve piacervi, o perché un categorista vi ha molestato.

Secondo distinguo: la teoria delle categorie dice una cosa che i matematici tendono a non capire bene, e che genera questa confusione: tutta la matematica che un professore associato a Berkeley che si occupa di, diciamo, combinatoria, o sistemi dinamici ha visto nella sua carriera, tutta quella che ha prodotto, che i suoi colleghi gli hanno insegnato, che lui ha insegnato ai suoi studenti, su cui ha formulato congetture entusiasmanti... tutta quella matematica succede dentro una sola categoria. Io ne conosco almeno due, e conosco dei modi per prendere la matematica nel suo complesso, ossia l'intera teoria dei gruppi, l'intera teoria degli anelli, l'intera teoria di Galois, l'intera topologia algebrica, e portarla da una categoria all'altra. In questo senso la teoria delle categorie "è più grande della matematica nel suo complesso"; ma ancora una volta, questa non è la velleità di grandezza di un giovane imberbe: è un teorema, una cosa che si può formalizzare e dimostrare.

Il punto, che è anche ciò che i matematici tendono a non capire bene, e che senza la teoria delle categorie non si riesce nemmeno a enunciare, è, tenetevi forte, che
le teorie matematiche sono oggetti matematici
e in quanto tali sono passibili dello stesso studio di cui sono passibili gli oggetti di cui quelle teorie parlano. Ovviamente questo è impreciso, perché scopre il fianco a paradossi terribili: altrettanto ovviamente, il motivo per cui sto essendo impreciso è che l'idea è molto piu importante della sua formalizzazione. Chi vuole la formalizzazione, la chieda e la avrà.

Prevedibilmente, gli oggetti matematici sono proprio le categorie, che di CT sono l'oggetto di studio: "la teoria dei gruppi" è quell'oggetto matematico che chiamo la categoria dei gruppi. Ma posso andare più in là e definire una "teoria" come una particolare categoria \(\mathbb T\), e considerare i suoi "modelli", ossia i modi di realizzare la teoria \(\mathbb T\) "dentro" un'altra categoria, per esempio quella degli insiemi, o quella dei gruppi abeliani, etc. Allora, se chiamo questi modelli "funtori", e scrivo \(\mathbb T \to \text{Set}\) per uno di tali funtori, la totalità di questi modelli forma una categoria che "dice le stesse cose che la matematica classica dice sulla teoria che corrisponde a \(\mathbb T\)". Incidentalmente "l'unificazione della matematica attraverso blabla" è una generalizzazione di questo problema: se scrivo \((\mathbb T, \text{Set})\) per la categoria dei modelli di \(\mathbb T\), cosa implica aver trovato che \((\mathbb T, \text{Set}) \cong (\mathbb S, \text{Set})\)? Quanto si somigliano due teorie che hanno gli stessi modelli?

Niente più e niente meno che un teorema del tipo: se due gruppi agiscono nello stesso modo sugli stessi insiemi, quanto distanti sono quei gruppi? Solo che qui non si parla di gruppi, ma di teorie matematiche nella loro interezza; e non di fumosi concetti da filosofo, no, sono definizioni precise, che parlano con rigore di cose che senza questo linguaggio non è nemmeno pensabile dire.

Se fosse adeguato al contesto dire che la teoria delle categorie è "tutta qui", direi che è "tutta qui", perché l'idea è davvero tutta qui.
Ma non è tutta qui perché è tanta roba, molta più di quella che alcuni matematici che preferiscono fare le cose in piccolo vedranno in un'intera carriera (questo non è un giudizio di valore: significa solo che il numero 36 è più grande del 10).[/ot]

5. In CT non si fanno conti, è tutto un muovere le mani.
[ot]Martino (et al.), tu non hai idea di quanti conti meschini faccia un categorista nella sua giornata tipo. Parlo proprio dell'equivalente tecnico di fare esercizi di analisi 1, integrali lunghi e difficili per cui devi "sapere il trucco" e che non hanno assolutamente nulla di concettuale. Quello che rende la teoria delle categorie un po' diversa dal resto della matematica è che spesso questo è solo un modo di agire tra tanti. Puoi fare i conti per dimostrare il teorema A, nessuno te lo impedisce, ma se sai cosa dire, la ragione per cui è vero il teorema A è il fatto che qualcosa di molto più in alto ne impone la verità. Hai accesso a quel che vedono le formiche? No. E' un limite? Sì (o meglio: dipende). Ha dei pregi? Certo, ti sono già evidenti. Fare degli esempi significa entrare nel merito tecnico: lo farò, se mi è permesso.[/ot]

6. In sintesi.
[ot]La matematica è quella cosa che si fa nelle categorie, e per ogni teoria matematica serve una classe di categorie diversa. Allora tanto vale studiarle tutte. E quella parte di matematica che si occupa di studiare le categorie, cioè le varie parti della matematica come singoli oggetti matematici nella loro mutua interazione come si chiamerà?[/ot]

[solaàl]

[ot]

È semplicemente una considerazione su quanto sia sbagliato credere che tutti possano fare in uno stesso modo

Credo che se avessi voluto dire questo sarebbe bastato dire questo, alludere al fatto che leggere un libro ti ha ricordato uno studente dalla carriera fallimentare è un po' un'offesa al libro (e a chi lo legge), no? E un libro che di matematica non ha nulla, poi... è un po' capzioso, sembra quasi tu scelga degli argomenti che in apparenza ti danno ragione...

Non mi risulta di averti dato dell’arrogante altrove, né di averti mai rivolto apprezzamenti sprezzanti.

Beh, insomma... hai cercato di spiegarmi l'inglese quando l'osservazione che ti avevo fatto era una completamnte diversa Comunque perché dovrei prendermela? Succede di non capirsi. Ma... Perché ogni volta che qualcuno ti ha dato una risposta che entra nel merito l'hai ignorata e hai preferito concentrarti su altro (proprio sulle cose che sai rischiano di fare da miccia a un litigio)? Vedo che lo fai spesso...[/ot]

[gugo82]

@ solaàl: [ot]

"solaàl":

Ho dato più di uno sguardo al testo introduttivo di CT, segnalato più volte su queste pagine, quello che comincia con un bello schema di come si prepari la torta meringata al limone…
Mi sono ricordato di un mio studente dell’università, che pretendeva di imparare quel po’ di Analisi che viene illustrata nel corso di Analisi I (definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esercizi) mettendosi a fare schemi simili.
Ha abbandonato.

Cos'è, questa, se non una analogia, non-educated (nel tuo senso, che ho trovato una risposta un po' arrogante e verbosa...), tra il fallimento dell'uno e dell'altra, una allusione, che qualcuno potrebbe trovare fastidiosa? Verso tante persone vedo che rispondi quasi prendendole in giro.

È semplicemente una considerazione su quanto sia sbagliato credere che tutti possano fare in uno stesso modo, o che tutto si possa fare allo stesso modo, “ideologia” che criticavo qui:

"gugo82":
@ gabriella127 (ed altri): Nessuno ha mai pensato di contestare la voglia di “pensare in grande”.
Tuttavia, è capitato che chi “pensasse in grande” fosse talmente piccolo da pretendere di imporre il proprio pensiero come l’unico possibile ed accettabile […]

P.S.: Non mi risulta di averti dato dell’arrogante altrove, né di averti mai rivolto apprezzamenti sprezzanti.
Quindi certe parole farebbero meglio a rimanerti nella tastiera… Please, be polite and behave.[/ot]

[solaàl]

Mettici qualche esempio tratto dall’Analisi (dopotutto, Grothendieck era un analista funzionale).

A quanto ho capito leggendo qua e là, mi sembra che il problema sia che non si possono introdurre degli esempi che vengono dall'analisi all'inizio, poco dopo la definizione di categoria; perché l'analisi parla di oggetti che è difficile rendere in maniera categoriale, è una teoria "difficile" (e chi la fa, solitamente è un matematico con abilità di problem solving a uno che fa algebra o logica, che tende più al costuire teorie). Quindi ha bisogno di oggetti molto raffinati. Ma introducendo il linguaggio giusto si può fare

- teoria della misura http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/23/12/23-12abs.html
- teoria della misura senza assioma della scelta https://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/ ... ackson.pdf (ho letto che la definizione di fascio, che è quella che definisce i "topos" dell'altro thread e di Olivia Caramello, l'ha data un analista, Jean Leray. Una brava persona!)
- spazi Lp https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/cambridg ... 4_talk.pdf
- analisi stocastica (?) https://arxiv.org/abs/1808.09898
- teoria della probabilità https://www.chrisstucchio.com/blog_medi ... y_giry.pdf
- analisi funzionale https://bookstore.ams.org/mmono-233

Chiaramente non sono in grado di spiegarti cosa c'è scritto dentro, non subito. Dai tempo anche a me.
Ma se ti fidi che la matematica in questi lavori sia corretta (mi sembra che venga da dei ricercatori abbastanza bravi), c'è qualcosa da cui studiare, che ha dei nomi e delle definizioni a cui puoi, se vuoi, muovere delle critiche. E spero ne farai: si cresce attraverso le critiche.

Magari è anche un buon modo per te per collaborare a questo progetto che sta nascendo? Non c'è ragione tu ne stia fuori, puoi fare domande sulla teoria o tradurre esercizi in questo linguaggio e proporli.

[solaàl]

“pregiudizialità” nello sminuire la CT (ma quando mai!?!)

Ho dato più di uno sguardo al testo introduttivo di CT, segnalato più volte su queste pagine, quello che comincia con un bello schema di come si prepari la torta meringata al limone…
Mi sono ricordato di un mio studente dell’università, che pretendeva di imparare quel po’ di Analisi che viene illustrata nel corso di Analisi I (definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esercizi) mettendosi a fare schemi simili.
Ha abbandonato.

Stai paragonando un libro (che non è un libro di matematica: credo che ti è stato consigliato lo stesso libro che è stato consigliato a me: https://arxiv.org/abs/1612.09375 commenta su questo, non su un libro divulgativo...) alla carriera fallimentare di un tuo ex-studente. Lo stai facendo in maniera polite, ma...

Cos'è, questa, se non una analogia, non-educated (nel tuo senso, che ho trovato una risposta un po' arrogante e verbosa...), tra il fallimento dell'uno e dell'altra, una allusione, che qualcuno potrebbe trovare fastidiosa? Verso tante persone vedo che rispondi quasi prendendole in giro.

[gabriella127]

@Gugo. Ma sì , gugo, figurati, ho visto perfettamente quello che hai visto tu negli atteggiamenti, e sono d'accordo con te che erano insopportabili e denotavano una mentalità 'piccola piccola', nun se reggevano. (Non Indrjo, of course)

Mi riferivo a Olivia Caramello, citata da Martino, lontana da noi e dalle nostre beghe de' noantri, e a coloro che studiano queste cose e sono separati da noi dall'oceano.
Nota bene: le beghe de' noantri non le fai tu, ma i categoristi de' noantri ( Indrjo non c'entra niente, anzi, ha solo diciotto anni, credo, per cui: chapeaux!).

Indrjo ha molti meriti, non addossiamogli colpe di categoristi che non si sopportano.
Lasciamolo lavorare, che ha intelligenza da vendere.

[gugo82]

@ Indrjo: Dalle mie parti si dice Lassa fa’ a Marònna!
Mettici qualche esempio tratto dall’Analisi (dopotutto, Grothendieck era un analista funzionale).

@ Martino: Condivido.
Da profano, di gran lunga più profano di te, ovviamente.
Se posso permettermi un’analogia (e correggimi pure se non la trovi adeguata), sembra il classico dualismo tra scrittore e traduttore. Ci sono scrittori che riescono a comporre meraviglie nella propria lingua, ma non riescono a rendere ciò che hanno scritto in altre; ci sono traduttori che conoscono le chiavi per esprimere capolavori in dieci lingue diverse, ma che di proprio non hanno scritto mai nulla. Entrambi, grandi scrittori ed ottimi traduttori, sono necessari alla Letteratura; e ridurre la comunicazione letteraria ad uno solo di tali aspetti è impensabile (e sbagliato, ed inaudito).

@ gabriella127 (ed altri): Nessuno ha mai pensato di contestare la voglia di “pensare in grande”.
Tuttavia, è capitato che chi “pensasse in grande” fosse talmente piccolo da pretendere di imporre il proprio pensiero come l’unico possibile ed accettabile, da denigrare chi non era d’accordo insinuando pubblicamente la sua “inferiorità” o “deformazione” culturale, la sua “inadeguatezza” a svolgere attività professionali, la sua “pregiudizialità” nello sminuire la CT (ma quando mai!?!) e la sua “volontà di estromettere” dal forum chiunque parli di CT.
Ecco, questi atteggiamenti miserabili e non la CT hanno causato ciò di cui si discettava ieri con i soliti noti ella stanza Geometria ed Algebra lineare, in coda a questo thread (che ha avuto l’unico merito di far intavolare, e finalmente, un discorso serio su come queste cose possano essere proposte).


P.S.: Ho dato più di uno sguardo al testo introduttivo di CT, segnalato più volte su queste pagine, quello che comincia con un bello schema di come si prepari la torta meringata al limone…
Mi sono ricordato di un mio studente dell’università, che pretendeva di imparare quel po’ di Analisi che viene illustrata nel corso di Analisi I (definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esercizi) mettendosi a fare schemi simili.
Ha abbandonato.

[gabriella127]

@ Martino, Otta Non posso esprimermi sulla teoria delle categorie perché non la conosco. Ma istintivamente tendo a essere d'accordo con voi che la pretesa di unificare la matematica sotto qualche teoria sovraordinata sia poco fondata.
E forse anche una pretesa con un vizio idealistico di fondo (idealistico in senso filosofico, volere ricondurre la realtà molteplice a un pensiero unificante, non so).
Ma mi viene in mente che molte conquiste nella scienza si sono ottenute dal porsi obiettivi troppo ambiziosi, anche irrealistici, anche sbagliati, ma dal 'pensare in grande'. Proprio di età più 'auree', più fiduciose ed entusiaste della nostra (anche se adesso si vedono cose in senso contrario, più 'visionarie', con l'informatica, l'intelligenza artificiale etc., ma è un discorso a parte). Il novecento è stato il secolo della crisi, della frammentazione, della specializzazione, del frantumarsi dell'Io e del 'solo questo possiamo dire, ciò che non siamo, ciò che non vogliamo' (Montale).
Forse la matematica ha fatto eccezione perché il novecento è stato il secolo delle generalizzazioni. E forse la scienza in generale.
Scusate la filosofia da strapazzo.

Quindi è probabile che questo tentativo, forse velleitario, dei categoristi porti cose buone.

[gabriella127]

@ Indrjo Comunque voglio ribadirti che la tua idea di far emergere i concetti della teoria della categorie da cose ordinarie, tipo prodotto cartesiano, funzioni, classi di equivalenza, kernel è molto carina.
Sarebbe parecchio user friendly per chi ci si accosta per la prima volta e potrebbe spaventarsi per l'eccessiva astrazione.