*coff coff* teoria delle categorie *coff coff*
Viste di recente le smanie di alcuni che credono che certi si sentono offesi o perseguitati o sminuiti, iniziamo una discussione che vuole essere almeno un po' seria e magari risolutiva. Polemiche a parte, iniziamo.
Vista l'ignoranza (nessuna offesa, pure io ignoro tante cose e sto imparando) e i "pregiudizi" (ma sì, usiamo pure questo nome) voglio provare in un altro modo. Visto che usare di mia iniziativa l'approccio categoriale, mi fa sembrare sgarbato, rude o violento, chiedo a voi: cosa volete che io faccia per introdurre nella maniera più produttiva e soft questa teoria qua dentro? Poi potrete scegliere voi di odiarla e disprezzarla definitivamente, e dopo averla un minimo conosciuta sarete giustificati in questa scelta.
Principio a cui mi atterrò in questa discussione. I suggerimenti sono ben accetti, naturalmente. Ogni intervento che esula da questo principio o dalla mia domanda verrà ignorata: facile costruire conflitti inutili... Io aspetto proposte, invece.
Detto questo, sono aperto a varie proposte. Non siate timidi...
Vista l'ignoranza (nessuna offesa, pure io ignoro tante cose e sto imparando) e i "pregiudizi" (ma sì, usiamo pure questo nome) voglio provare in un altro modo. Visto che usare di mia iniziativa l'approccio categoriale, mi fa sembrare sgarbato, rude o violento, chiedo a voi: cosa volete che io faccia per introdurre nella maniera più produttiva e soft questa teoria qua dentro? Poi potrete scegliere voi di odiarla e disprezzarla definitivamente, e dopo averla un minimo conosciuta sarete giustificati in questa scelta.
Principio a cui mi atterrò in questa discussione. I suggerimenti sono ben accetti, naturalmente. Ogni intervento che esula da questo principio o dalla mia domanda verrà ignorata: facile costruire conflitti inutili... Io aspetto proposte, invece.
Detto questo, sono aperto a varie proposte. Non siate timidi...
Risposte
"Martino":
Per riassumere, la teoria delle categorie è essenziale per avere una montagna di teoria gratis solo dalla definizione degli oggetti. Purtroppo però quando si vanno a studiare questi oggetti nel dettaglio non si possono evitare i contacci troppo a lungo.
Quoto totalmente.
Visto che so qualcosa di teoria delle categorie, penso che la mia opinione possa essere utile. Io adoro la teoria delle categorie, è fenomenale, mi ha aperto un mondo. Inoltre uno si accorge subito che è inevitabile, perché ci sono concetti canonici che saltano fuori in molte teorie. Uno può creare una categoria e chiedersi chi sono i prodotti, i coprodotti, i limiti diretti, i limiti inversi, e saltano fuori oggetti nuovi, praticamente se introduci un nuovo oggetto matematico la teoria delle categorie ti fornisce di una montagna di teoria già gratis.
Ora, veniamo al "ma" della faccenda. Io non sono un categorista, qualsiasi cosa questo voglia dire - tra parentesi mi scuso se userò questo termine ma è per capirci: diciamo che un "categorista" è una persona a cui piace la teoria delle categorie e la vuole usare molto spesso, e in molti casi vuole farci ricerca sopra. Bene, dicevo, io non sono un categorista, nonostante abbia sempre amato la teoria (come detto sopra), e penso che una delle prime volte in cui mi sono accorto che non sono un categorista è stato ascoltando Olivia Caramello all'università di Padova, nello specifico ci sono testi e video. Vorrei attenermi appunto all'espressione "essere un categorista" o "non essere un categorista" appunto perché la teoria non è né giusta né sbagliata, è una teoria, un modo di porsi, un approccio. Può essere che si riveli rivoluzionario? Sì, ma non sto parlando di questo al momento. Sto analizzando la mia reazione a seminari o articoli tipo quelli che ho linkato. Dicevo, nel 2010 ascoltavo Olivia parlare (qui non sto giudicando il suo merito, che comunque considero molto alto) e mi chiedevo come si potesse conciliare una teoria tanto generale con ogni singola teoria particolare. Cioè, mi sembra più che ovvio che le diverse teorie geometriche (algebrica, differenziale, etc.), la topologia, le diverse teorie algebriche (gruppi, anelli, algebre, combinatoria, teoria dei numeri algebrica etc.), le teorie analitiche (analisi reale, analisi complessa, analisi funzionale, teoria dei numeri analitica, etc.) sono teorie tra loro diverse. Da qui non ci si scappa.
I categoristi con cui ho parlato spesso sembrano credere che si possa creare una teoria che unifichi tutta la matematica (cf. i link sopra). Sarebbe fantastico, e sarei il primo ad esserne entusiasta. La mia personale posizione è che una tale teoria è certamente possibile fino a un certo punto, unificherà la matematica fino a certi limiti non oltrepassabili. Una "teoria del tutto" non mi sembra plausibile. E' certamente affascinante, e merita di essere studiata, ma secondo me è sbagliato imporla come se la teoria delle categorie fosse più fondamentale della teoria degli insiemi (sembra uno scherzo, ma c'è chi ne è convinto). E' ovvio che la teoria delle categorie viene dopo la teoria degli insiemi perché uno introduce le categorie per "generalizzare" gli insiemi e non viceversa. Quello che voglio dire è che siamo ben lontani dal risolvere tutto usando solo diagrammi commutativi. Potrei dare esempi ma si scenderebbe nel tecnico. Specialmente quando uno analizza strutture finite si rende conto che si arriva ad un certo punto in cui bisogna "sporcarsi le mani", fare i "contacci", quelli sono inevitabili. E i contacci dipendono fortemente dalla teoria specifica in cui uno si trova.
Uno potrebbe dirmi che sono pessimista, che una teoria del tutto va certamente studiata e sviluppata, ma certo! Concordo assolutamente. Ma non è un lavoro che voglio fare io, lo lascio fare ad altri (ovvero, "non sono un categorista") perché per me la teoria delle categorie è un (potentissimo) linguaggio, non la so usare per risolvere problemi concreti (e spero davvero che qualcuno invece ci riesca!). Non voglio scendere nel tecnico, ma farò un esempio che darà l'idea.
(*) Se ho un gruppo $G$ voglio calcolare il suo gruppo degli automorfismi $Aut(G)$, cioè il gruppo degli isomorfismi $G to G$.
La teoria delle categorie mi insegna che la parola "automorfismo" si può adattare in contesti diversi, e quindi il problema (*) in realtà è una famiglia infinita di problemi, dove invece di "gruppo" appare l'oggetto in esame $X$, di cui si può facilmente definire un "automorfismo" (morfismo $X to X$ che ammette inverso), e probabilmente si può vedere $Aut(X)$ come un qualche tipo di oggetto strutturato. Meraviglioso! Ma come mi aiuta questo a risolvere il problema (*)? Facciamo due diagrammi commutativi, studiamo la funtorialità del fenomeno, pensiamo al lemma di Yoneda, ok ma e poi? La teoria delle categorie mi aiuta a formulare problemi canonicamente legati a (*) ma mi aiuta veramente a risolverlo? Non voglio dire che la risposta sia no, voglio dire che nessuno mi ha mai convinto del contrario. Per fare un esempio di come le cose escono dal nostro controllo, se $G$ è il gruppo simmetrico $S_n$ allora $Aut(S_n)$ è isomorfo a $S_n$ (bello, canonico, no?) e possiamo pure dire che tutti gli automorfismi sono del tipo $x to g^{-1}xg$ con $g in S_n$ fissato, tranne quando $n=2$ e $n=6$. Cioè $Aut(S_2)$ non è isomorfo a $S_2$ e $Aut(S_6)$ non è isomorfo a $S_6$. Passi il $n=2$ che è un caso talmente piccolo che non dà fastidio, ma quel $n=6$ mi ha sempre scioccato, ed è un altro motivo per cui non sono un categorista. Potrebbe mai una teoria del tutto saltare un numero così, come se fosse più brutto degli altri? Come fanno i diagrammi commutativi a spiegarmi l'esistenza dell'eccezione $n=6$?
Per riassumere, la teoria delle categorie è essenziale per avere una montagna di teoria gratis solo dalla definizione degli oggetti. Purtroppo però quando si vanno a studiare questi oggetti nel dettaglio non si possono evitare i contacci troppo a lungo.
Ora, veniamo al "ma" della faccenda. Io non sono un categorista, qualsiasi cosa questo voglia dire - tra parentesi mi scuso se userò questo termine ma è per capirci: diciamo che un "categorista" è una persona a cui piace la teoria delle categorie e la vuole usare molto spesso, e in molti casi vuole farci ricerca sopra. Bene, dicevo, io non sono un categorista, nonostante abbia sempre amato la teoria (come detto sopra), e penso che una delle prime volte in cui mi sono accorto che non sono un categorista è stato ascoltando Olivia Caramello all'università di Padova, nello specifico ci sono testi e video. Vorrei attenermi appunto all'espressione "essere un categorista" o "non essere un categorista" appunto perché la teoria non è né giusta né sbagliata, è una teoria, un modo di porsi, un approccio. Può essere che si riveli rivoluzionario? Sì, ma non sto parlando di questo al momento. Sto analizzando la mia reazione a seminari o articoli tipo quelli che ho linkato. Dicevo, nel 2010 ascoltavo Olivia parlare (qui non sto giudicando il suo merito, che comunque considero molto alto) e mi chiedevo come si potesse conciliare una teoria tanto generale con ogni singola teoria particolare. Cioè, mi sembra più che ovvio che le diverse teorie geometriche (algebrica, differenziale, etc.), la topologia, le diverse teorie algebriche (gruppi, anelli, algebre, combinatoria, teoria dei numeri algebrica etc.), le teorie analitiche (analisi reale, analisi complessa, analisi funzionale, teoria dei numeri analitica, etc.) sono teorie tra loro diverse. Da qui non ci si scappa.
I categoristi con cui ho parlato spesso sembrano credere che si possa creare una teoria che unifichi tutta la matematica (cf. i link sopra). Sarebbe fantastico, e sarei il primo ad esserne entusiasta. La mia personale posizione è che una tale teoria è certamente possibile fino a un certo punto, unificherà la matematica fino a certi limiti non oltrepassabili. Una "teoria del tutto" non mi sembra plausibile. E' certamente affascinante, e merita di essere studiata, ma secondo me è sbagliato imporla come se la teoria delle categorie fosse più fondamentale della teoria degli insiemi (sembra uno scherzo, ma c'è chi ne è convinto). E' ovvio che la teoria delle categorie viene dopo la teoria degli insiemi perché uno introduce le categorie per "generalizzare" gli insiemi e non viceversa. Quello che voglio dire è che siamo ben lontani dal risolvere tutto usando solo diagrammi commutativi. Potrei dare esempi ma si scenderebbe nel tecnico. Specialmente quando uno analizza strutture finite si rende conto che si arriva ad un certo punto in cui bisogna "sporcarsi le mani", fare i "contacci", quelli sono inevitabili. E i contacci dipendono fortemente dalla teoria specifica in cui uno si trova.
Uno potrebbe dirmi che sono pessimista, che una teoria del tutto va certamente studiata e sviluppata, ma certo! Concordo assolutamente. Ma non è un lavoro che voglio fare io, lo lascio fare ad altri (ovvero, "non sono un categorista") perché per me la teoria delle categorie è un (potentissimo) linguaggio, non la so usare per risolvere problemi concreti (e spero davvero che qualcuno invece ci riesca!). Non voglio scendere nel tecnico, ma farò un esempio che darà l'idea.
(*) Se ho un gruppo $G$ voglio calcolare il suo gruppo degli automorfismi $Aut(G)$, cioè il gruppo degli isomorfismi $G to G$.
La teoria delle categorie mi insegna che la parola "automorfismo" si può adattare in contesti diversi, e quindi il problema (*) in realtà è una famiglia infinita di problemi, dove invece di "gruppo" appare l'oggetto in esame $X$, di cui si può facilmente definire un "automorfismo" (morfismo $X to X$ che ammette inverso), e probabilmente si può vedere $Aut(X)$ come un qualche tipo di oggetto strutturato. Meraviglioso! Ma come mi aiuta questo a risolvere il problema (*)? Facciamo due diagrammi commutativi, studiamo la funtorialità del fenomeno, pensiamo al lemma di Yoneda, ok ma e poi? La teoria delle categorie mi aiuta a formulare problemi canonicamente legati a (*) ma mi aiuta veramente a risolverlo? Non voglio dire che la risposta sia no, voglio dire che nessuno mi ha mai convinto del contrario. Per fare un esempio di come le cose escono dal nostro controllo, se $G$ è il gruppo simmetrico $S_n$ allora $Aut(S_n)$ è isomorfo a $S_n$ (bello, canonico, no?) e possiamo pure dire che tutti gli automorfismi sono del tipo $x to g^{-1}xg$ con $g in S_n$ fissato, tranne quando $n=2$ e $n=6$. Cioè $Aut(S_2)$ non è isomorfo a $S_2$ e $Aut(S_6)$ non è isomorfo a $S_6$. Passi il $n=2$ che è un caso talmente piccolo che non dà fastidio, ma quel $n=6$ mi ha sempre scioccato, ed è un altro motivo per cui non sono un categorista. Potrebbe mai una teoria del tutto saltare un numero così, come se fosse più brutto degli altri? Come fanno i diagrammi commutativi a spiegarmi l'esistenza dell'eccezione $n=6$?
Per riassumere, la teoria delle categorie è essenziale per avere una montagna di teoria gratis solo dalla definizione degli oggetti. Purtroppo però quando si vanno a studiare questi oggetti nel dettaglio non si possono evitare i contacci troppo a lungo.
"vict85":
Iniziare dall'inizio mi sembra sinceramente un po' esagerato. Di introduzioni alla teoria delle categorie se ne trovano tantissime e molte di loro sono accessibilissime. Secondo me, quelle scritte per i programmatori possono tranquillamente essere lette da studenti del liceo. Diciamo che la mancanza di esempi potrebbe essere l'unico vero problema per uno studente del liceo. Una cosa, infatti, è vedere oggetti e freccie, un'altra è capire a fondo il concetto di funtore o l'utilità di alcune costruzioni.
Forse un elenco di buon materiale da sfogliare può essere più utile a chi voglia esplorare la teoria. Non ne conosco in italiano però.
Da non matematico/profano anche io la penso come Vict, una succinta bibliografia per chi inizia, magari contenente anche i prerequisiti sarebbe un'ottima cosa.
Ad esempio, io leggerei volentieri un'introduzione per programmatori contenente qualche esempio, per pura curiosità.
Purtroppo l'assenza di materiale in italiano sicuramente potrebbe scoraggiare chi si avvicina per hobby e non conoscere l'inglese, per uno studente universitario penso sia diverso.
Una cosa simile (?) era stata fatta in passato. La mia proposta e' questa: "istituire" un reading course online; penso che si possa fare, la struttura del forum lo permette. Scrivi delle note, delle lezioncine, e poi proponi degli esercizi. Chi e' interessato si legge le note e poi prova gli esercizi. Gli esercizi si discutono pubblicamente. Quando l'audience ha suppergiù digerito una lezione, si passa alla successiva.
Quella che dice Vict è un'altra possibilità, dipende da quanto voglia essere inclusivo Indrjo. Se selezionare chi già ne sa qualcosa o è interessato tanto da prendersi la briga di leggere materiale per conto proprio oppure allargare la cerchia.
Mi sembra che Indrjo voglia farsi un po' ambasciatore, diffondere la teoria delle categorie a più ampio raggio, cercando di coinvolgere anche persone che al momento ne sono lontane.
Ma la scelta è sua.
Mi sembra che Indrjo voglia farsi un po' ambasciatore, diffondere la teoria delle categorie a più ampio raggio, cercando di coinvolgere anche persone che al momento ne sono lontane.
Ma la scelta è sua.
Iniziare dall'inizio mi sembra sinceramente un po' esagerato. Di introduzioni alla teoria delle categorie se ne trovano tantissime e molte di loro sono accessibilissime. Secondo me, quelle scritte per i programmatori possono tranquillamente essere lette da studenti del liceo. Diciamo che la mancanza di esempi potrebbe essere l'unico vero problema per uno studente del liceo. Una cosa, infatti, è vedere oggetti e freccie, un'altra è capire a fondo il concetto di funtore o l'utilità di alcune costruzioni.
Forse un elenco di buon materiale da sfogliare può essere più utile a chi voglia esplorare la teoria. Non ne conosco in italiano però.
Forse un elenco di buon materiale da sfogliare può essere più utile a chi voglia esplorare la teoria. Non ne conosco in italiano però.
"Indrjo Dedej":
Ok: affinare i modi.
Ora come ora avrei questa idea, poi ditemi se può andare bene. Avendo iniziato l'università con qualche bagaglio di teoria delle categorie, man mano "vedevo" concetti categoriali emergere dalle cose spiegate in maniera canonica a lezione. Per esempio: il prodotto cartesiano può essere ridefinito in termini che sanno di categoriali, tra i primi rudimenti delle funzioni si possono tirar fuori pullbacks, con le classi di equivalenza coequalizzatori, coi kernel equalizzatori. Una volta ho risolto un esercizio in python (lo devo ripescare) risolto pensando al prodotto in CT. Quindi penso sia più sensato in un certo senso proporre inizialmente situazioni in cui ridefinire concetti già noti e rilevare patterns shiftando da una branca all'altra (per questo devo vedere come e quando). Le definizioni date come in CT, penso di farle arrivare piano piano e in modo naturale (spero che sia così).
Il piano di studi è più o meno quello, e penso di usare questa scansione per i miei fini.
A me sembra molto interessante! Però davvero, come dice Gabriella, da 0. Cioè una prima "lezione" dove metti giù cosa è una categoria e cosa è un funtore, secondo me è essenziale.
Be' vedi, già così mi hai fatto venire voglia di studiare teoria delle categorie.
Vedi tu l'approccio che ti sembra migliore, quello che proponi è interessante.
L'importante, perché più persone si interessino, è che cominci da zero.
Vedi tu l'approccio che ti sembra migliore, quello che proponi è interessante.
L'importante, perché più persone si interessino, è che cominci da zero.
Ok: affinare i modi.
Ora come ora avrei questa idea, poi ditemi se può andare bene. Avendo iniziato l'università con qualche bagaglio di teoria delle categorie, man mano "vedevo" concetti categoriali emergere dalle cose spiegate in maniera canonica a lezione. Per esempio: il prodotto cartesiano può essere ridefinito in termini che sanno di categoriali, tra i primi rudimenti delle funzioni si possono tirar fuori pullbacks, con le classi di equivalenza coequalizzatori, coi kernel equalizzatori. Una volta ho risolto un esercizio in python (lo devo ripescare) risolto pensando al prodotto in CT. Quindi penso sia più sensato in un certo senso proporre inizialmente situazioni in cui ridefinire concetti già noti e rilevare patterns shiftando da una branca all'altra (per questo devo vedere come e quando). Le definizioni date come in CT, penso di farle arrivare piano piano e in modo naturale (spero che sia così).
Il piano di studi è più o meno quello, e penso di usare questa scansione per i miei fini.
Ora come ora avrei questa idea, poi ditemi se può andare bene. Avendo iniziato l'università con qualche bagaglio di teoria delle categorie, man mano "vedevo" concetti categoriali emergere dalle cose spiegate in maniera canonica a lezione. Per esempio: il prodotto cartesiano può essere ridefinito in termini che sanno di categoriali, tra i primi rudimenti delle funzioni si possono tirar fuori pullbacks, con le classi di equivalenza coequalizzatori, coi kernel equalizzatori. Una volta ho risolto un esercizio in python (lo devo ripescare) risolto pensando al prodotto in CT. Quindi penso sia più sensato in un certo senso proporre inizialmente situazioni in cui ridefinire concetti già noti e rilevare patterns shiftando da una branca all'altra (per questo devo vedere come e quando). Le definizioni date come in CT, penso di farle arrivare piano piano e in modo naturale (spero che sia così).
Il piano di studi è più o meno quello, e penso di usare questa scansione per i miei fini.
Ciao Indrjo, riprendo il suggerimento di Bremen.
Cominciare a a spiegare qualcosa dall'inizio, in modo semplice e chiaro, a persone che è possibile che la vedano per la prima volta. Definire e spiegare i nuovi concetti e la terminologia, senza dare per scontato termini che non tutti possono conoscere. Dare un'idea di come è nata e in cosa è interessante.
Senza atteggiamenti da lectio magistralis e di superiorità, che per la verità non sono tuoi propri, ma hanno caratterizzato molti interventi in materia e reso difficile la discussione.
Insomma, non è che ti si chiede poco...
Introdurre una materia a persone che cominciano è una delle cose più difficili.
p.s. tutti siamo ignoranti in milioni di cose, ma allora ogni volta che uno parla di qualcosa dovrebbe dare dell'ignorante a quasi tutto il resto del mondo, e non è buona norma nei rapporti sociali...
, il termine 'ignorante' ha assunto una connotazione negativa, difficilmente può essere inteso nell'accezione neutra a cui ti riferisci.
Comunque se scrivi qualcosa anche io ti seguirò con interesse.
Cominciare a a spiegare qualcosa dall'inizio, in modo semplice e chiaro, a persone che è possibile che la vedano per la prima volta. Definire e spiegare i nuovi concetti e la terminologia, senza dare per scontato termini che non tutti possono conoscere. Dare un'idea di come è nata e in cosa è interessante.
Senza atteggiamenti da lectio magistralis e di superiorità, che per la verità non sono tuoi propri, ma hanno caratterizzato molti interventi in materia e reso difficile la discussione.
Insomma, non è che ti si chiede poco...
Introdurre una materia a persone che cominciano è una delle cose più difficili. p.s. tutti siamo ignoranti in milioni di cose, ma allora ogni volta che uno parla di qualcosa dovrebbe dare dell'ignorante a quasi tutto il resto del mondo, e non è buona norma nei rapporti sociali...
, il termine 'ignorante' ha assunto una connotazione negativa, difficilmente può essere inteso nell'accezione neutra a cui ti riferisci.Comunque se scrivi qualcosa anche io ti seguirò con interesse.
Ciao, se ti andasse potresti magari fare dei piccoli post dove spieghi un po' le basi della teoria. O dei semplici esercizi per fare in modo che si possa familiarizzare un po' con questa branca della matematica che, a me che la conosco pochissimo, sembra molto lontana e difficile!
Se posso permettermi, non è la teoria delle categorie o il fatto che tu voglia proporla ciò che, a volte, può irritare. Secondo me è più legato alla maniera con cui uno comunica. Esempio banale: tacciare il lettore di "ignoranza", per quanto nel senso più letterale e neutro della parola, può far partire una discussione col piede sbagliato! Non tutti sono capaci di sorvolare sempre, si parte da un commentino, un altro, una frecciatina e poi finisce in caciara.
Comunque contami tra i tuoi fan se fai qualcosa del tipo che suggerivo!
Se posso permettermi, non è la teoria delle categorie o il fatto che tu voglia proporla ciò che, a volte, può irritare. Secondo me è più legato alla maniera con cui uno comunica. Esempio banale: tacciare il lettore di "ignoranza", per quanto nel senso più letterale e neutro della parola, può far partire una discussione col piede sbagliato! Non tutti sono capaci di sorvolare sempre, si parte da un commentino, un altro, una frecciatina e poi finisce in caciara.
Comunque contami tra i tuoi fan se fai qualcosa del tipo che suggerivo!
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