Cercasi esperto in logica matematica :)
Salve! mi son appena iscritto a questo forum! sono uno studente universitario ed a breve dovrei sostenere l'esame di logica matematica ma ho alcune preplessità su argomento come la soddisfacibilità etc. Cè qualcuno tra di voi che può darmi una mano ?
Risposte
Non sò "puntovale" a quale esempio ti riferisci magari se mi illumini....
Riguardo al dominio vuoto credo che il prof. aveva ragione. Dico questo in primoluogo perchè mi ricordo che l'ha detto e poi mi ricordo un altro esempio in cui affervava che:
Dato l'insieme I = {1 , 2}
e data la relazione R sottoinsieme di IxI, contenete ={ (1;2) } , cioè la coppia (1;2) , ebbene questa relazione R è "Transitiva".
Questo perchè la definizione dice che Se esiste (x;y) AND (y;z) --> esiste anche (a;z).
Quindi dato che come più volte ti ho detto la "premessa" è falsa (e te lo ripeto perchè anche questo me l'ha spiegato lui)ed è falsa perchè non esistono z e quindi neanche coppie (y;z),
l'implicazione non deve essere espressa o cumunque leggendo la formula non devi arrivare ad "--->allora"
Quindi se la premessa è falsa come tu sai l'implicazione può assumere tutti e due i valori a piacere tanto il valore di verità rimane invariato ed è Vero.
Quindi si ok! non esitono ne (y;z) ne (a;z), ma questo non compromette la soddisfacibilità della formula!
O almeno così mi hanno spiegato, adesso sia "puntovale" che "infinito" mi avete detto che "per definizione" il dominio deve essere non vuoto, posso provare a rivedere sulle dispense ma sinceramente non mi sono mai accorto di una tale definizione.
E approposito di relazioni e funzioni credo che sia la "Funzione" un tipo di "Relazione" tra insiemi che gode di speciali regole, non che la "Relazione" sia una "Funzione" alrtimenti ogni elemento nel dominio di Relazione non dovrebbe avere più di un immagine, cosa che invece accade proprio per la transitiva ad esempio.
Di questo ne sono certo spero di non aver interpretato male anche questa parte del programma.
Come sempre sono amesse smentite e contro-post
CIAO!
Bemipefe
Riguardo al dominio vuoto credo che il prof. aveva ragione. Dico questo in primoluogo perchè mi ricordo che l'ha detto e poi mi ricordo un altro esempio in cui affervava che:
Dato l'insieme I = {1 , 2}
e data la relazione R sottoinsieme di IxI, contenete ={ (1;2) } , cioè la coppia (1;2) , ebbene questa relazione R è "Transitiva".
Questo perchè la definizione dice che Se esiste (x;y) AND (y;z) --> esiste anche (a;z).
Quindi dato che come più volte ti ho detto la "premessa" è falsa (e te lo ripeto perchè anche questo me l'ha spiegato lui)ed è falsa perchè non esistono z e quindi neanche coppie (y;z),
l'implicazione non deve essere espressa o cumunque leggendo la formula non devi arrivare ad "--->allora"
Quindi se la premessa è falsa come tu sai l'implicazione può assumere tutti e due i valori a piacere tanto il valore di verità rimane invariato ed è Vero.
Quindi si ok! non esitono ne (y;z) ne (a;z), ma questo non compromette la soddisfacibilità della formula!
O almeno così mi hanno spiegato, adesso sia "puntovale" che "infinito" mi avete detto che "per definizione" il dominio deve essere non vuoto, posso provare a rivedere sulle dispense ma sinceramente non mi sono mai accorto di una tale definizione.
E approposito di relazioni e funzioni credo che sia la "Funzione" un tipo di "Relazione" tra insiemi che gode di speciali regole, non che la "Relazione" sia una "Funzione" alrtimenti ogni elemento nel dominio di Relazione non dovrebbe avere più di un immagine, cosa che invece accade proprio per la transitiva ad esempio.
Di questo ne sono certo spero di non aver interpretato male anche questa parte del programma.
Come sempre sono amesse smentite e contro-post
CIAO!
Bemipefe
Bemipefe non so che dirti non è che forse il tuo prof. intendesse dire con I={} non il dominio vuoto ma un insieme di formule vuoto?? Anche perkè mi son andato a rileggere la definizione di interpretazione e dice chiaramente che il dominio su cui definisco l'interptretazione non
deve essere vuoto.
D altronde come ha detto infinito una relazione altro non è che una funzione ed in particolare una funzione che associa ad ogni ennupla del dominio 0 se la relazione tra gli elementi della ennupla non sussiste ed 1 se invece sussiste.
Adesso se ho un dominio vuoto come posso definire una relazione tra i suoi elementi se non ve ne sono ?
Cmq ho perso un po il filo del discorso ma concordate che la relazione di >= è un controesempio che dimostra come la mia formula non è valida in domini infiniti come quello dei naturali (poichè è vera che è transitiva, che è riflessiva e che per ogni x ed y o è x>=y o y>=x ma che ciò non implica che esiste un numero più grande di tutti ) ??
Ps bemipefe anche io sono iscritto a scienze informatiche
deve essere vuoto.
D altronde come ha detto infinito una relazione altro non è che una funzione ed in particolare una funzione che associa ad ogni ennupla del dominio 0 se la relazione tra gli elementi della ennupla non sussiste ed 1 se invece sussiste.
Adesso se ho un dominio vuoto come posso definire una relazione tra i suoi elementi se non ve ne sono ?
Cmq ho perso un po il filo del discorso ma concordate che la relazione di >= è un controesempio che dimostra come la mia formula non è valida in domini infiniti come quello dei naturali (poichè è vera che è transitiva, che è riflessiva e che per ogni x ed y o è x>=y o y>=x ma che ciò non implica che esiste un numero più grande di tutti ) ??
Ps bemipefe anche io sono iscritto a scienze informatiche
Ancora una volta mi sono trovato a contraddire me stesso, e ancora una volta mi avete corretto inteligentemente...ancora una volta la logica matematica mi ha dato una lezione, insegnandomi che devo pensare più profondamente prima di rispondere.
Infatti quello che aveva detto "puntovale" sulla possibilità di rendere nulla la validità di un enunciato, estendento l'insieme di definizione è vero ma è vero anche quello che ha detto "infinito" in quanto può accadere anche il contrario.
Sul fatto che non si possa "lavorare" su insiemi infiniti invece volevo solo dire che con essi si può lavorare ma ovviamente non si può dimostrare per induzione la validità di una proprietà per "ogni" elemento dato che sono infiniti.
Quindi a questo punto è meglio usare la dimostrazione per assurdo oppure fare un controesempio.
Sul fatto che una funzione è anche una relazione ci sono, ma non ho capito allora il perchè della non validità del predicato di "puntovale" su dominio vuoto.
Cioè mi sembra di aver capito questo: il predicato analizzato per i suoi valori di verità con l'insieme vuoto è Vero ma la proprietà però non è dimostrata per I = {} perchè non esiste almeno un y......
Allora ritorniamo sempre quì...perchè il ,mio prof mi ha detto che
I = {} è Transitiva?
Abbiate pazienza ma sono alle prime armi...
CIAO!
Bemipefe
Infatti quello che aveva detto "puntovale" sulla possibilità di rendere nulla la validità di un enunciato, estendento l'insieme di definizione è vero ma è vero anche quello che ha detto "infinito" in quanto può accadere anche il contrario.
Sul fatto che non si possa "lavorare" su insiemi infiniti invece volevo solo dire che con essi si può lavorare ma ovviamente non si può dimostrare per induzione la validità di una proprietà per "ogni" elemento dato che sono infiniti.
Quindi a questo punto è meglio usare la dimostrazione per assurdo oppure fare un controesempio.
Sul fatto che una funzione è anche una relazione ci sono, ma non ho capito allora il perchè della non validità del predicato di "puntovale" su dominio vuoto.
Cioè mi sembra di aver capito questo: il predicato analizzato per i suoi valori di verità con l'insieme vuoto è Vero ma la proprietà però non è dimostrata per I = {} perchè non esiste almeno un y......
Allora ritorniamo sempre quì...perchè il ,mio prof mi ha detto che
I = {} è Transitiva?
Abbiate pazienza ma sono alle prime armi...
CIAO!
Bemipefe
Allora riposto il mio precedente post (speriamo in bene)
Per Bemipefe.
In Ø (insieme vuoto), quale che sia la relazione R, è vera la proposizione « VxyR(x,y) », quindi è vera l'ipotesi del tuo enunciato, cioè « VxR(x,x) et Vxyz[R(x,y) et R(y,z) -> R(x,z)] et Vxy[R(x,y) or R(y,x)]»,
mentre è falsa la tesi « EyVx(R(y,x)) »,
dal momento che non esiste un elemento y.
Il fatto che y "non debba fare nulla" (cioè che il teorema è vero per qualunque ente consideri al posto di y) non coambia la sostanza del "problema": «non eiste alcun y elemento di Ø».
Per puntovale.
Non ho capito il senso di quello che dici: si è dimostrato che vale su tutti gli gli insiemi finiti non vuoti, come puoi affermare «Tutto questo per dirvi che una formula che e' valida in domini finiti non e' detto che lo sia in domini piu' grandi»? Certo, in generale e' vero, ma in questo caso si dimostrato che vale.
Non concordo molto neppure con l'affermazione «il testo dell'esercizio effetivamente e' un po ambiguo perke' si chiede di dimostrare che "l'implicazione e' valida per domini finiti ma non lo e' per domini infiniti" senza specificare altro», perche' a me pare che ci sia una unica interpretazione corretta: che vale negli insiemi finiti significa che per ogni insieme finito A e per ogni relazione R in A l'enunciato è valido; che non vale negli insiemi infiniti significa che esiste un insieme infinito B e esiste una relazione R tale l'enunciato non è valido (cioe' "e' falso").
E poi rispondo.
Per puntovale
Per risponderti uso la seconda parte della risposta appena data e poi riposto una parte della mia prima risposta in questa pagina:
«
nel caso infinito non ho capito che cosa vuoi dimostrare:
1 - che esiste un insieme infinito su cui non funziona.
2 - che su ogni insieme infinito c'è una relazione ... che non funziona.
3 - che ogni relazione su un insieme infinito non funziona.
4 - altro.
La 1 credo l'abbiano già dimostrata .
la 3 è falsa.
la 4 chiariscila.
la 2 si può dimostrare mettendo in realzione biunivoca il tuo insieme con il cardinale della sua cardinalità, e su questo considerare l'ordine decrescente; non c'è nessun "primo elemento" (con enon c'è nessun"ultimo elemento" per l'ordine consueto).
»
Per Bemipefe
Dici «... non in quelli infiniti anche perchè sarebbe inpossibile provarla(almeno elemento per elemento)»
??? ma che stati dicendo: che non si può lavorare negli insiemi infiniti?
Poi dici «Quindi seguendo il tuo ragionamento dico che se non è valida in un insieme finito figuriamoci in uno infinito......»
Esistono proprietà che non sono valide in insiemi , ma che lo sono su loro soprainsiemi, per esempio succede che il reciproco di ogni numero non c'è nei mnaturali positivi, mentre c'è nei razionali positivi, analogamente per le radici cubiche (razionali e reali) ecc. .
Il seguito del capoverso non l'ho capito bene, ma ti ricordo che ogni funzione è una relazione ... .
Dici: "Quanto al fatto che il dominio debba essere non vuoto "per definizione"» No, non è vero, ma il teorema è valido per i domini finiti non vuoti, perché per l'insieme vuoto non è valido.
Io "feci" Matematica, ma non diedi nessun esame specifico di logica (vado molto "ad occhio").
Per Bemipefe.
In Ø (insieme vuoto), quale che sia la relazione R, è vera la proposizione « VxyR(x,y) », quindi è vera l'ipotesi del tuo enunciato, cioè « VxR(x,x) et Vxyz[R(x,y) et R(y,z) -> R(x,z)] et Vxy[R(x,y) or R(y,x)]»,
mentre è falsa la tesi « EyVx(R(y,x)) »,
dal momento che non esiste un elemento y.
Il fatto che y "non debba fare nulla" (cioè che il teorema è vero per qualunque ente consideri al posto di y) non coambia la sostanza del "problema": «non eiste alcun y elemento di Ø».
Per puntovale.
Non ho capito il senso di quello che dici: si è dimostrato che vale su tutti gli gli insiemi finiti non vuoti, come puoi affermare «Tutto questo per dirvi che una formula che e' valida in domini finiti non e' detto che lo sia in domini piu' grandi»? Certo, in generale e' vero, ma in questo caso si dimostrato che vale.
Non concordo molto neppure con l'affermazione «il testo dell'esercizio effetivamente e' un po ambiguo perke' si chiede di dimostrare che "l'implicazione e' valida per domini finiti ma non lo e' per domini infiniti" senza specificare altro», perche' a me pare che ci sia una unica interpretazione corretta: che vale negli insiemi finiti significa che per ogni insieme finito A e per ogni relazione R in A l'enunciato è valido; che non vale negli insiemi infiniti significa che esiste un insieme infinito B e esiste una relazione R tale l'enunciato non è valido (cioe' "e' falso").
E poi rispondo.
Per puntovale
Per risponderti uso la seconda parte della risposta appena data e poi riposto una parte della mia prima risposta in questa pagina:
«
nel caso infinito non ho capito che cosa vuoi dimostrare:
1 - che esiste un insieme infinito su cui non funziona.
2 - che su ogni insieme infinito c'è una relazione ... che non funziona.
3 - che ogni relazione su un insieme infinito non funziona.
4 - altro.
La 1 credo l'abbiano già dimostrata .
la 3 è falsa.
la 4 chiariscila.
la 2 si può dimostrare mettendo in realzione biunivoca il tuo insieme con il cardinale della sua cardinalità, e su questo considerare l'ordine decrescente; non c'è nessun "primo elemento" (con enon c'è nessun"ultimo elemento" per l'ordine consueto).
»
Per Bemipefe
Dici «... non in quelli infiniti anche perchè sarebbe inpossibile provarla(almeno elemento per elemento)»
??? ma che stati dicendo: che non si può lavorare negli insiemi infiniti?
Poi dici «Quindi seguendo il tuo ragionamento dico che se non è valida in un insieme finito figuriamoci in uno infinito......»
Esistono proprietà che non sono valide in insiemi , ma che lo sono su loro soprainsiemi, per esempio succede che il reciproco di ogni numero non c'è nei mnaturali positivi, mentre c'è nei razionali positivi, analogamente per le radici cubiche (razionali e reali) ecc. .
Il seguito del capoverso non l'ho capito bene, ma ti ricordo che ogni funzione è una relazione ... .
Dici: "Quanto al fatto che il dominio debba essere non vuoto "per definizione"» No, non è vero, ma il teorema è valido per i domini finiti non vuoti, perché per l'insieme vuoto non è valido.
Io "feci" Matematica, ma non diedi nessun esame specifico di logica (vado molto "ad occhio").
Mi trovo daccordo con te "puntovale" sul fatto che bisogna logicamente cercare la validita in insiemi finiti e non in quelli infiniti anche perchè sarebbe inpossibile provarla(almeno elemento per elemento).
Ma ritornando a quello che avevi detto sul fatto che allargando l'insieme di definizione si possono trovare elementi per cui la proprietà non è verificata , allora potrei dire che se non è valida perogni x allora la proprieta non è "Valida" ma soddisfacibile poiche valida per almeno un x.
Quindi seguendo il tuo ragionamento dico che se non è valida in un insieme finito figuriamoci in uno infinito...... e lo stesso può succedere con una proprietà valida in un insieme di definizione A , la quale se venisse modificato o esteso A potrebbe divenire soddisfacibile e non più valida.
Effettivamente è abbastanza difficiele dimostrare che la tua proprietà valga per un insieme di definizione infinito.....però io volevo dire che comunque è possibile trovarne alcune valide anche per insiemi infiniti.
Quanto al fatto che il dominio debba essere non vuoto
"per definizione" , .....ma sinceramente sapevo che questo deve accadere per le funzioni ma per le relazioni......qual'è ad esempio il dominio di una relazione transitiva o riflessiva? Il Dominio è forse
, in caso della tua proprietà l'insieme contenente tuttle le x le y e le z?
A questo punto dovrei contraddire il professore che mi ha detto che il dominio può essere anche vuoto . Infatti con A = { /vuoto } si può costruire egualmente una proprietà transitiva (parole uscite dalla sua bocca), come ti ho spiegato questo è giusto perche se la premessa è falsa , ossia non ho ne x ne y ne z allora la proprietà è comunque verificata.
FOR <"infinito">:
["infinito" per favore potresti ripostarmi il tuo post? Ci sono molte "A" accentate e puntini a mo di esponente, non sò perchè il forum le visualizza così.]
Beh che dire speriamo bene per il tuo esame "puntovale ......così almeno tu lo passi , io invece dovro pultroppo ridarlo a luglio.
Per curiosità che facoltà frequentate ?
Io faccio Scienze Informatiche ed è per questo che studio Logica Matematica è voi? Vi piace? .........dai che non è male per tenere il "muscolo" in allenamento!
Bemipefe
Ma ritornando a quello che avevi detto sul fatto che allargando l'insieme di definizione si possono trovare elementi per cui la proprietà non è verificata , allora potrei dire che se non è valida perogni x allora la proprieta non è "Valida" ma soddisfacibile poiche valida per almeno un x.
Quindi seguendo il tuo ragionamento dico che se non è valida in un insieme finito figuriamoci in uno infinito...... e lo stesso può succedere con una proprietà valida in un insieme di definizione A , la quale se venisse modificato o esteso A potrebbe divenire soddisfacibile e non più valida.
Effettivamente è abbastanza difficiele dimostrare che la tua proprietà valga per un insieme di definizione infinito.....però io volevo dire che comunque è possibile trovarne alcune valide anche per insiemi infiniti.
Quanto al fatto che il dominio debba essere non vuoto
"per definizione" , .....ma sinceramente sapevo che questo deve accadere per le funzioni ma per le relazioni......qual'è ad esempio il dominio di una relazione transitiva o riflessiva? Il Dominio è forse
, in caso della tua proprietà l'insieme contenente tuttle le x le y e le z?
A questo punto dovrei contraddire il professore che mi ha detto che il dominio può essere anche vuoto . Infatti con A = { /vuoto } si può costruire egualmente una proprietà transitiva (parole uscite dalla sua bocca), come ti ho spiegato questo è giusto perche se la premessa è falsa , ossia non ho ne x ne y ne z allora la proprietà è comunque verificata.
FOR <"infinito">:
["infinito" per favore potresti ripostarmi il tuo post? Ci sono molte "A" accentate e puntini a mo di esponente, non sò perchè il forum le visualizza così.]
Beh che dire speriamo bene per il tuo esame "puntovale ......così almeno tu lo passi , io invece dovro pultroppo ridarlo a luglio.
Per curiosità che facoltà frequentate ?
Io faccio Scienze Informatiche ed è per questo che studio Logica Matematica è voi? Vi piace? .........dai che non è male per tenere il "muscolo" in allenamento!
Bemipefe
il punto è che nemmeno io ho capito benissimo. Dire che una formula è valida per me significa dire che in qualsiasi interpretazione ( e quindi anche in qualsiasi dominio finito o infinito) la formula è vera.
Quindi se dimostro che la formula per una interpretazione su dominio infinito non è vera, allora non dovrebbe essere valida o sbaglio ?
Per me non ha senso chiedersi se la formula è valida in domini finiti o domini infiniti perkè la validità per definizione deve essere indipendente da tutto e quindi anche dalla grandezza del dominio.
Avrebbe senso piuttosto chiedersi se la formula è vera in domini finiti e non sempre vera in domini infiniti
Quindi se dimostro che la formula per una interpretazione su dominio infinito non è vera, allora non dovrebbe essere valida o sbaglio ?
Per me non ha senso chiedersi se la formula è valida in domini finiti o domini infiniti perkè la validità per definizione deve essere indipendente da tutto e quindi anche dalla grandezza del dominio.
Avrebbe senso piuttosto chiedersi se la formula è vera in domini finiti e non sempre vera in domini infiniti
Scusate, ma non ho capito benissimo (non solo per le difficolta' di lettura dovute alle vocali accentate).
Comunque rispondo come posso.
Per Bemipefe.
In Ø (insieme vuoto), quale che sia la relazione R, è vera la proposizione « VxyR(x,y) », quindi è vera l'ipotesi del tuo enunciato, cioè
«VxR(x,x) et Vxyz[R(x,y) et R(y,z) -> R(x,z)] et Vxy[R(x,y) or R(y,x)]»,
mentre è falsa la tesi « EyVx(R(y,x)) »,
dal momento che no esiste un elemento y.
Il fatto che y "non debba fare nulla" (cioè che il teorema sia vero per qualunque ente consideri al posto di y) non coambia la sostanza del "problema": «non eiste alcun y elemnto di Ø».
Per puntovale.
Non ho capito il senso di quello che dici: si è dimostrato che vale su tuttgli gli insiemi finiti non vuoti, come puoi affermare «Tutto questo per dirvi che una formula che e' valida in domini finiti non e' detto che lo sia in domini piu' grandi»? Certo, in generale e' vero, ma in questo caso si è dimostrato che vale.
Non mi concordo molto neppure con l'affermazione «il testo dell'esercizio effetivamente e' un po ambiguo perke' si chiede di dimostrare che "l'implicazione e' valida per domini finiti ma non lo e' per domini infiniti" senza specificare altro», perche' a me pare che ci sia una unica interpretazione corretta: che vale negli insiemi finiti significa che per ogni insieme finito A e per ogni relazione R in A l'enunciato è valido; che non vale negli insiemi finiti significa che esiste un insieme infinito B e esiste una relazione R tale l'enunciato non è valido (cioe' "e' falso").
Comunque rispondo come posso.
Per Bemipefe.
In Ø (insieme vuoto), quale che sia la relazione R, è vera la proposizione « VxyR(x,y) », quindi è vera l'ipotesi del tuo enunciato, cioè
«VxR(x,x) et Vxyz[R(x,y) et R(y,z) -> R(x,z)] et Vxy[R(x,y) or R(y,x)]»,
mentre è falsa la tesi « EyVx(R(y,x)) »,
dal momento che no esiste un elemento y.
Il fatto che y "non debba fare nulla" (cioè che il teorema sia vero per qualunque ente consideri al posto di y) non coambia la sostanza del "problema": «non eiste alcun y elemnto di Ø».
Per puntovale.
Non ho capito il senso di quello che dici: si è dimostrato che vale su tuttgli gli insiemi finiti non vuoti, come puoi affermare «Tutto questo per dirvi che una formula che e' valida in domini finiti non e' detto che lo sia in domini piu' grandi»? Certo, in generale e' vero, ma in questo caso si è dimostrato che vale.
Non mi concordo molto neppure con l'affermazione «il testo dell'esercizio effetivamente e' un po ambiguo perke' si chiede di dimostrare che "l'implicazione e' valida per domini finiti ma non lo e' per domini infiniti" senza specificare altro», perche' a me pare che ci sia una unica interpretazione corretta: che vale negli insiemi finiti significa che per ogni insieme finito A e per ogni relazione R in A l'enunciato è valido; che non vale negli insiemi finiti significa che esiste un insieme infinito B e esiste una relazione R tale l'enunciato non è valido (cioe' "e' falso").
Ragazzi scusate ma sono stato un po indaffarato (ieri ho fatto lo scritto di logica). Vorrei fare una precisazione per infinito e per bemipefe e cioè che il dominio non può essere (per definizione) vuoto ma deve contenere almeno un elemento.
Per quanto riguarda il testo dell'esercizio effetivamente è un po ambiguo perkè si chiede di dimostrare che "l'implicazione è valida per domini finiti ma non lo è per domini infiniti" senza specificare altro.
Ora vi faccio questo semplice esempio:
ExA(x) -> VxA(x) supponiamo che il dominio D={1} allora
se A(1) è vera
allora lo è anche il conseguente e quindi l'implicazione è vera.
se A(1) è falsa allora la premessa è falsa è quindi l'implicazione resta vera
In poche parole la formula di prima è valida in qual si voglia dominio di un elemento e interpretazione di A.
Ma se allargo il dominio la validà può essere perduta (circostanza generale): esempio D={1 2} e dico che A(1) è vera ma A(2) è falsa. In tale interpretazione la formula di prima non è più valida.
Tutto questo per dirvi che una formula che è valida in domini finiti non è detto che lo sia in domini più grandi o cmq infiniti.
Alla luce di quanto detto credo che il prof ci ha chisto di dimostare che la formula è valida in domini finiti ( è li ho fatto una dimostazione simile a quella di infinito) mentre non è valida in domini infiniti e quindi di mostrare un controesempio su un dominio infinito (che è quella che vi ho postato sopra) che dimostra l'implicazione è falsa.
Per quanto riguarda il testo dell'esercizio effetivamente è un po ambiguo perkè si chiede di dimostrare che "l'implicazione è valida per domini finiti ma non lo è per domini infiniti" senza specificare altro.
Ora vi faccio questo semplice esempio:
ExA(x) -> VxA(x) supponiamo che il dominio D={1} allora
se A(1) è vera
allora lo è anche il conseguente e quindi l'implicazione è vera.
se A(1) è falsa allora la premessa è falsa è quindi l'implicazione resta vera
In poche parole la formula di prima è valida in qual si voglia dominio di un elemento e interpretazione di A.
Ma se allargo il dominio la validà può essere perduta (circostanza generale): esempio D={1 2} e dico che A(1) è vera ma A(2) è falsa. In tale interpretazione la formula di prima non è più valida.
Tutto questo per dirvi che una formula che è valida in domini finiti non è detto che lo sia in domini più grandi o cmq infiniti.
Alla luce di quanto detto credo che il prof ci ha chisto di dimostare che la formula è valida in domini finiti ( è li ho fatto una dimostazione simile a quella di infinito) mentre non è valida in domini infiniti e quindi di mostrare un controesempio su un dominio infinito (che è quella che vi ho postato sopra) che dimostra l'implicazione è falsa.
Scusa "infinito"
Forse ti abbiamo lasciato in disparte ed hai ragione. In ogni caso non sono del tutto convinto che non valga per l'insieme vuoto.
come hai detto per il caso I = {x} cioè [#I = 1])cardinalità di I = 1)
la proprietà vale, questo perchè la premessa è falsa poiche non sono soddisfatte le altre due condizioni concatenate dafli AND con la riflessivita che invece è OK.
Ora quindi abbiamo F--->F, cioè il primo falso si riferisce alla premessa che ha come condizione la validità di tutte le proprietà riflessiva transitiva e l'altra che come ho detto sono concatenate con l'AND.
Il Secondo F si riferisce all'implicazione anche'essa falsa poiche essa è vera solo se son vere le prorpietà della premessa (almeno credo che non ci sia un caso diverso).
Quindi se rendiammo insoddisfatta la Riflessività la Transitività o l'altra non fà differenza perchè per poter implicare servono tutte e tre vere.
Dunque ponendo I = {} mi trovo sempre nella medesima situazione
F --> F.
Cos'è "infinito" che ti ha portato a dire che vale per un elemento ma non per l'insieme vuoto?
Sei consapevole del fatto che I = {} è Transitiva e Riflessiva?
Il mio Prof. mi ha detto infatti che quando la premessa è falsa la proprietà è verificata poichè il falso nell'implicazione può implicare qualsiasi cosa e mantenere sempre Vero l'enunciato o predicato che sia.
CIAO!
Bemipefe
Forse ti abbiamo lasciato in disparte ed hai ragione. In ogni caso non sono del tutto convinto che non valga per l'insieme vuoto.
come hai detto per il caso I = {x} cioè [#I = 1])cardinalità di I = 1)
la proprietà vale, questo perchè la premessa è falsa poiche non sono soddisfatte le altre due condizioni concatenate dafli AND con la riflessivita che invece è OK.
Ora quindi abbiamo F--->F, cioè il primo falso si riferisce alla premessa che ha come condizione la validità di tutte le proprietà riflessiva transitiva e l'altra che come ho detto sono concatenate con l'AND.
Il Secondo F si riferisce all'implicazione anche'essa falsa poiche essa è vera solo se son vere le prorpietà della premessa (almeno credo che non ci sia un caso diverso).
Quindi se rendiammo insoddisfatta la Riflessività la Transitività o l'altra non fà differenza perchè per poter implicare servono tutte e tre vere.
Dunque ponendo I = {} mi trovo sempre nella medesima situazione
F --> F.
Cos'è "infinito" che ti ha portato a dire che vale per un elemento ma non per l'insieme vuoto?
Sei consapevole del fatto che I = {} è Transitiva e Riflessiva?
Il mio Prof. mi ha detto infatti che quando la premessa è falsa la proprietà è verificata poichè il falso nell'implicazione può implicare qualsiasi cosa e mantenere sempre Vero l'enunciato o predicato che sia.
CIAO!
Bemipefe
Rettifico (alla luce di quello che ha detto Bemipefe, anche se io affermo “il contrario”).
Per l’insieme vuoto non vale il teorema, infatti (come dice Bemipefe) vale l’ipotesi, ma ovviamente non vale la tesi (cioè non esiste un elemento y tale che per ogni x è vera R(y,x), e il punto non è “R(x,y)”, ma “esiste y”).
La mia dimostrazione “parte” da due elementi, comunque il teorema vale anche per uno solo: se l’insieme ha un solo elemento x, e se «Vxy[R(x,y) or R(y,x)]», allora Vxx[R(x,x) or R(x,x)], cioè R(x,x), che è la tesi.
Per quanto riguarda il principio di induzione sui transfiniti, chi è interessato può confrontarsi con la mia risposta in «Giochi logico-matematici e gara induzione....» (esiste ed è un teorema che potrebbe fare al caso vostro).
Comunque mi ha stupito che non abbiate assolutamente risposto (come dire: “preso in considerazione”) a tutto quello che ho postato sopra: mah?
Per l’insieme vuoto non vale il teorema, infatti (come dice Bemipefe) vale l’ipotesi, ma ovviamente non vale la tesi (cioè non esiste un elemento y tale che per ogni x è vera R(y,x), e il punto non è “R(x,y)”, ma “esiste y”).
La mia dimostrazione “parte” da due elementi, comunque il teorema vale anche per uno solo: se l’insieme ha un solo elemento x, e se «Vxy[R(x,y) or R(y,x)]», allora Vxx[R(x,x) or R(x,x)], cioè R(x,x), che è la tesi.
Per quanto riguarda il principio di induzione sui transfiniti, chi è interessato può confrontarsi con la mia risposta in «Giochi logico-matematici e gara induzione....» (esiste ed è un teorema che potrebbe fare al caso vostro).
Comunque mi ha stupito che non abbiate assolutamente risposto (come dire: “preso in considerazione”) a tutto quello che ho postato sopra: mah?
Ciao Puntovale!
Beh direi che può essere una soluzione
Però non capisco la motivazione dell'esclusione degli insiemi infiniti
dalla dimostrazione. In fondo anche N(naturali) oppure R(reali) oppure Q(razionali) possono godere di transitività e riflessività.
Non vedo quindi perchè escludere a priori il fatto che se questo accade allora ci sarà almeno una tra le coppie (x;y) - (y;x) e dunque deve esistere per ogni x un y che fà coppia con lui.
Ora vorrei riflettessimo su un esemio "ad esempio" :
Innanzi tutto credo dovresti inserire anche questo caso se non l'hai fatto:
Insieme I = {}
Caso banale ma da considerare. Infatti essendo l'implicazione falsa, cioè il fatto che debbano esistere per ogni x R(x;x)......
....l'intera formula è dimostrata.
Ad esempio non so se sai che I gode di prorpietà transitiva in quanto la definizione dice "SE" blablabla allora -----> blobloblo, quindi 'se' blablabla non è soddisfatta io non devo implicare niente e ho dimostrato transitività. Allo stesso modo si potrebbe fare con la Riflessiva.
In oltre altro problema è il fatto che se esistesse un insieme infinito dove la propiretà non è verificata allora dovresti poter ottenere un esempio che dimostri ciò per almeno un insieme infinito.
E qui sono cavoli perchè per indizione su domini infiniti non so fino a che punto puoi essere credibile....
CIAO!
A presto
Bemipefe
Beh direi che può essere una soluzione
Però non capisco la motivazione dell'esclusione degli insiemi infiniti
dalla dimostrazione. In fondo anche N(naturali) oppure R(reali) oppure Q(razionali) possono godere di transitività e riflessività.
Non vedo quindi perchè escludere a priori il fatto che se questo accade allora ci sarà almeno una tra le coppie (x;y) - (y;x) e dunque deve esistere per ogni x un y che fà coppia con lui.
Ora vorrei riflettessimo su un esemio "ad esempio" :
Innanzi tutto credo dovresti inserire anche questo caso se non l'hai fatto:
Insieme I = {}
Caso banale ma da considerare. Infatti essendo l'implicazione falsa, cioè il fatto che debbano esistere per ogni x R(x;x)......
....l'intera formula è dimostrata.
Ad esempio non so se sai che I gode di prorpietà transitiva in quanto la definizione dice "SE" blablabla allora -----> blobloblo, quindi 'se' blablabla non è soddisfatta io non devo implicare niente e ho dimostrato transitività. Allo stesso modo si potrebbe fare con la Riflessiva.
In oltre altro problema è il fatto che se esistesse un insieme infinito dove la propiretà non è verificata allora dovresti poter ottenere un esempio che dimostri ciò per almeno un insieme infinito.
E qui sono cavoli perchè per indizione su domini infiniti non so fino a che punto puoi essere credibile....
CIAO!
A presto
Bemipefe
ok bemipefe io in realtà sono riuscito ad ottenere una dimostrazione usando il principio di induzione sulla cardinalità del dominio.
In pratica ho dimostato che in un' interpretazione generica su un dominio di un elemento l'implicazione è vera (caso base) poi supposto che l'implicazione è vera su un dominio di n elementi ho dimostrato che deve per forza di cosa essere verà per su un dominio di n+1 elementi (caso induttivo).
In pratica ho dimostato che in un' interpretazione generica su un dominio di un elemento l'implicazione è vera (caso base) poi supposto che l'implicazione è vera su un dominio di n elementi ho dimostrato che deve per forza di cosa essere verà per su un dominio di n+1 elementi (caso induttivo).
Si puntovale simbolismo è la "formula"
...e comunue avevi ragione tù non è simmetrica , scusami ma appeno ho visto la cappia (x;y) e la coppia (y;x) ho dedotto subito la simmetria senza ragionare.
Per quanto riguarda il tuo problema......ti rispondo dopo che adesso ho da fare.
CIAO!
Bemipefe
...e comunue avevi ragione tù non è simmetrica , scusami ma appeno ho visto la cappia (x;y) e la coppia (y;x) ho dedotto subito la simmetria senza ragionare.
Per quanto riguarda il tuo problema......ti rispondo dopo che adesso ho da fare.
CIAO!
Bemipefe
Faccio velocemente (al limite considratelo un suggerimento).
La parte "sul finito" si fa per induzione:
Sia I l'iniseme considerato.
Se I è finito ha una cardinalità n finita, quindi posso ordinare i suo elementi da 1 a n, e questi sono e1, e2, ...., en.
Quindi dimostro che per ogni sottoinsieme (anche proprio) di I «EyVx(R(y,x)» (che è la tua tesi).
per e1 ed e2 il teorema è ovvio (basta prendere il primo della relazione che vale fra R(e1;e2) e R(e2;e1) );
supponiamo vero il teorema per i primi m elementi (m
nel caso infinito non ho capito che cosa vuoi dimostrare:
1 - che esiste una insieme infinito su cui non funziona.
2 - che su ogni insieme infinito c'è una relazione ... che non funsziona.
3 - che ogni relazione su un insieme infinito non funziona.
4 - altro.
La 1 credo l'abbiano già dimostrata .
la 3 è falsa.
la 4 chiariscila.
la 2 si può dimostrare mettendo in realzione biunivoca il tuo insieme con il cardinale della sua cardinalità, e su questo considerare l'ordine decrescente; non c'è nessun "primo elemento" (con enon c'è nessun"ultimo elemento" per l'ordine consueto).
Spero di averti risposto correttamente.
(Scusate il completamente OT: avevo chiesto informazioni sulla definizione di limite, ma non sono riuscito a ritrovare dove. Potete dirmi come fare?)
La parte "sul finito" si fa per induzione:
Sia I l'iniseme considerato.
Se I è finito ha una cardinalità n finita, quindi posso ordinare i suo elementi da 1 a n, e questi sono e1, e2, ...., en.
Quindi dimostro che per ogni sottoinsieme (anche proprio) di I «EyVx(R(y,x)» (che è la tua tesi).
per e1 ed e2 il teorema è ovvio (basta prendere il primo della relazione che vale fra R(e1;e2) e R(e2;e1) );
supponiamo vero il teorema per i primi m elementi (m
nel caso infinito non ho capito che cosa vuoi dimostrare:
1 - che esiste una insieme infinito su cui non funziona.
2 - che su ogni insieme infinito c'è una relazione ... che non funsziona.
3 - che ogni relazione su un insieme infinito non funziona.
4 - altro.
La 1 credo l'abbiano già dimostrata .
la 3 è falsa.
la 4 chiariscila.
la 2 si può dimostrare mettendo in realzione biunivoca il tuo insieme con il cardinale della sua cardinalità, e su questo considerare l'ordine decrescente; non c'è nessun "primo elemento" (con enon c'è nessun"ultimo elemento" per l'ordine consueto).
Spero di averti risposto correttamente.
(Scusate il completamente OT: avevo chiesto informazioni sulla definizione di limite, ma non sono riuscito a ritrovare dove. Potete dirmi come fare?)
bemipefe sei sicuro che VxVy[R(x,y) o R(y,x) ] voglia dire che relazione
R deve essere simmetrica?? se non ricordo male simmetria vuol dire
VxVy[ R(x,y) -> R(y,x)]
Comunque lo scopo è quello di dimostrare che esiste almeno una interpretazione in un dominio infinito che renda falsa l'implicazione
ad esempio se considero R come relazione di > questa implicazione dovrebbe essere falsa nei naturali. Quindi almeno la seconda parte (non validità in domini infiniti) è dimostrata
L'aspetto più complicato è quindi di dimostrare che qualsiasi significato attribuisca a R, in un dominio finito l'implicazione è sempre vera.
Per simbolismo ti riferisci alla formula che ho postato sopra ?
R deve essere simmetrica?? se non ricordo male simmetria vuol dire
VxVy[ R(x,y) -> R(y,x)]
Comunque lo scopo è quello di dimostrare che esiste almeno una interpretazione in un dominio infinito che renda falsa l'implicazione
ad esempio se considero R come relazione di > questa implicazione dovrebbe essere falsa nei naturali. Quindi almeno la seconda parte (non validità in domini infiniti) è dimostrata
L'aspetto più complicato è quindi di dimostrare che qualsiasi significato attribuisca a R, in un dominio finito l'implicazione è sempre vera.
Per simbolismo ti riferisci alla formula che ho postato sopra ?
Ciao puntovale!
Mi sono permesso di ricopiare la tua simbolistica...
...vorrei attaccaarla al Post ma non ci riesco... se sai come si fà dimmelo così l'appiccico in bella vista.
A parte ciò, dopo un attenta scrutazione sono arrivato a dire che quello che ti espone quel predicato è che:
Se una relazione è Riflessiva , Transitiva e "Simmetrica" (questo lo avevi omesso) allora per ogni x esiste almeno un y che à coppia con lui.
In pratica data una relazione d'"Equivalenza" che tu sono sicuro sai cos'è , devi dimostrare che essa contiene per ogni x almeno un elemento y in relazione con esso.
Ora ti devi chiedere verso quale insieme deve essere Riflessiva , Transitiva e Simmetrica ?
Ad esempio se fosse N (naturali) questo insieme R , cioè l'insieme "relazione" che contiene tutte le coppie , dovrebbe contenere tutte le coppie Riflessive , Transitive e Simmetriche....quindi sarebbe R una relazione avente "cardinalità" infinità cioè l'insieme R conterrebbe infinite coppie.
Questo può succedere , e non si può escludere a priori che un insieme infinito non possa godere di proprietà di "Equivalenza"
Quindi se puoi dacci più informazioni in quanto a questo quesito.
CIAO!
Bemipefe
Mi sono permesso di ricopiare la tua simbolistica...
...vorrei attaccaarla al Post ma non ci riesco... se sai come si fà dimmelo così l'appiccico in bella vista.
A parte ciò, dopo un attenta scrutazione sono arrivato a dire che quello che ti espone quel predicato è che:
Se una relazione è Riflessiva , Transitiva e "Simmetrica" (questo lo avevi omesso) allora per ogni x esiste almeno un y che à coppia con lui.
In pratica data una relazione d'"Equivalenza" che tu sono sicuro sai cos'è , devi dimostrare che essa contiene per ogni x almeno un elemento y in relazione con esso.
Ora ti devi chiedere verso quale insieme deve essere Riflessiva , Transitiva e Simmetrica ?
Ad esempio se fosse N (naturali) questo insieme R , cioè l'insieme "relazione" che contiene tutte le coppie , dovrebbe contenere tutte le coppie Riflessive , Transitive e Simmetriche....quindi sarebbe R una relazione avente "cardinalità" infinità cioè l'insieme R conterrebbe infinite coppie.
Questo può succedere , e non si può escludere a priori che un insieme infinito non possa godere di proprietà di "Equivalenza"
Quindi se puoi dacci più informazioni in quanto a questo quesito.
CIAO!
Bemipefe
ok ragazzi vi ringrazio tutti ed ora che abbiamo appurato che il ragionamento è corretto mi permetto di approfittare della vostra competenza e vi pongo quindi una domanda direi molto più complicata
VxR(x,x) et Vxyz[R(x,y) et R(y,z) -> R(x,z)] et
Vxy[R(x,y) or R(y,x)] -> EyVx(R(y,x))
che vuole dire in parole semplici che se R è riflessiva transitiva e per tutti gli elementi almeno una tra R(x,y) e R(y,x) è vera allora esiste un y che è in relazione R con tutti gli altri
Qualcuno di voi ha la più pallida idea di come si possa dimostrare che tale formula è valida in domini finiti ma non lo è in quelli infiniti ???
VxR(x,x) et Vxyz[R(x,y) et R(y,z) -> R(x,z)] et
Vxy[R(x,y) or R(y,x)] -> EyVx(R(y,x))
che vuole dire in parole semplici che se R è riflessiva transitiva e per tutti gli elementi almeno una tra R(x,y) e R(y,x) è vera allora esiste un y che è in relazione R con tutti gli altri
Qualcuno di voi ha la più pallida idea di come si possa dimostrare che tale formula è valida in domini finiti ma non lo è in quelli infiniti ???
OK mi avete convinto....
in effetti facendo il Tableau Predicativo della negata di:
[(A-->B) and (B -->C) and (C-->D)] --> (A-->D)
vale a dire il Tableau di:
non {[(A-->B) and (B -->C) and (C-->D)] --> (A-->D)}
..esso si chiude e questo dimostra che l'intero ragionamento è una Tautologia.
A questo punto però se volessimo inserire dei "quantificatori"?
Nella deduzione c'era infatti <<"Tutti" gli uccelli volano>>.
Forse rimarrebbe tutto com'è ossia una tautologia ma da "Enunciato" si trasformerebbe in "Preicato".
Quinidi "puntovale" puoi stare tranquillo sulla verità di questa deduzione...non perchè me ne sia convinto anche io ma perchè sia dalle tabelle di verità fatte dagli Amici Logici sia dai tableau fatti da me 
risulta effettivamente una Tautologia.
Spero però che nessuno si sia convinto che beep-beep voli ....
....altrimenti lo scopo della Logica è tremendamente fallito!
CIAO! A tutti e Grazie per i Chiarimenti
Bemipefe
in effetti facendo il Tableau Predicativo della negata di:
[(A-->B) and (B -->C) and (C-->D)] --> (A-->D)
vale a dire il Tableau di:
non {[(A-->B) and (B -->C) and (C-->D)] --> (A-->D)}
..esso si chiude e questo dimostra che l'intero ragionamento è una Tautologia.
A questo punto però se volessimo inserire dei "quantificatori"?
Nella deduzione c'era infatti <<"Tutti" gli uccelli volano>>.
Forse rimarrebbe tutto com'è ossia una tautologia ma da "Enunciato" si trasformerebbe in "Preicato".
Quinidi "puntovale" puoi stare tranquillo sulla verità di questa deduzione...non perchè me ne sia convinto anche io ma perchè sia dalle tabelle di verità fatte dagli Amici Logici
sia dai tableau fatti da me risulta effettivamente una Tautologia.Spero però che nessuno si sia convinto che beep-beep voli ....
....altrimenti lo scopo della Logica è tremendamente fallito!
CIAO! A tutti e Grazie per i Chiarimenti
Bemipefe
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