Principio del terzo escluso...
Ciao 
Ho scoperto da poco un tweet (in realtà un thread) di John Carlos Baez molto interessante, in cui dice
Il link è questo: https://twitter.com/johncarlosbaez/stat ... 65441?s=20 .
Vorrei sapere da qualche Working Mathematician (visto che qualcuno mi sembra che ce ne sia) cosa ne pensa. Ovvero quale peso ha la logica intuizionista nel lavoro di ricerca e insegnamento (perché no?). Oppure in generale, che considerazione se ne ha.
Ho scoperto da poco un tweet (in realtà un thread) di John Carlos Baez molto interessante, in cui dice
It may seem hard to think and do math while avoiding the "law of excluded middle" [...] In fact you can get used to avoiding it. I know lots of mathematicians who can. It's an ability you can turn on and off.
Il link è questo: https://twitter.com/johncarlosbaez/stat ... 65441?s=20 .
Vorrei sapere da qualche Working Mathematician (visto che qualcuno mi sembra che ce ne sia) cosa ne pensa. Ovvero quale peso ha la logica intuizionista nel lavoro di ricerca e insegnamento (perché no?). Oppure in generale, che considerazione se ne ha.
Risposte
Alcuni hanno il vizietto dei naturali.
"solaàl":
Sembra una di quelle storie da vecchi al bar, o quei videomessaggi che ormai i 50enni si passano su whatsapp: uno si carica \( \mathbb N \) in macchina, fa per appartarsi, e poi tac, trova la sorpresa...
Tra l’altro in quel caso la sorpresa è pure più grande di qualsiasi lunghezza finita.
Per quanto riguarda la distinzione tra LEM nella teoria e nella metateoria, si dovrebbe scrivere un libro sul tema, anche per chiarire una certa dose di errori che (sempre per pressione sociale, o meglio per il suo opposto) passano inosservati alla pratica matematica; certamente non lo scriverò io, ma mi limito a osservare che solitamente i matematici sono inerentemente pragmatisti (ogni fondazione della matematica si basa su una metateoria che semplicemente "c'è": tra le altre cose, questo libro fantomatico dovrebbe spiegare che una tale posizione è soddisfacente.)
Sembra una di quelle storie da vecchi al bar, o quei videomessaggi che ormai i 50enni si passano su whatsapp: uno si carica \(\mathbb N\) in macchina, fa per appartarsi, e poi tac, trova la sorpresa...
C'è anche il tipo di pressione sociale che rende più socialmente accettabile dubitare di Zorn ma non avere problemi con ZF, rispetto a dubitare dei numeri naturali.
Eppure assumendo la consistenza di ZF si può dimostrare la consistenza di ZFC, ma assumere la consistenza di ZFC non basta a stabilire l’esistenza di un modello i cui numeri naturali siano quelli standard, senza sorprese dentro.
Eppure assumendo la consistenza di ZF si può dimostrare la consistenza di ZFC, ma assumere la consistenza di ZFC non basta a stabilire l’esistenza di un modello i cui numeri naturali siano quelli standard, senza sorprese dentro.
La parte della «pressione sociale», ammetto, non l'ho compresa. La parte in neretto mi piace.
Niente di che, solo la constatazione che quello che la comunità riconosce come una dimostrazione cambia in base al tempo e alla comunità stessa. Alcuni usano l'handwaving, altri usano argomenti bourbakisti, altri argomenti di mera plausibilità corredati da evidenze sperimentali, altri si appoggiano in maniera semi-formale a un corpo di conoscenze costruito dai "fondatori".
La pressione sociale è quella che ti fa scrivere
\usepackage{ amsmath
, amssymb
, amsfonts
}invece di un più modesto
\usepackage{ amsmath, amssymb, amsfonts}La prima scelta è ispirata a un canone estetico (è più facile leggere una lista formattata così) e pratico (è più facile de/commentare un package, farlo lascia più pulito il codice, e introduce meno rumore di fondo che un programma di controllo versione potrebbe interpretare come cambiamento semantico, laddove invece è solo un de/commento). Ai fini del pdf che viene fuori a cose fatte, non cambia niente; ma se la comunità cui ti rivolgi (per esempio, i tuoi coautori) insistono affinché tu ti ispiri a quel canone estetico e pratico, e sono particolarmente testardi e puntigliosi, esercitano su di te una pressione a comportarti in una certa maniera, la quale alla fine diventa un riflesso istintivo.
(Corollario: i propri coautori sono simili a cani di Pavlov che vanno addestrati alle best practice di TeX.)
Sì, questa distinzione semmai sarebbe venuta dopo; tra poco rispondo anche a kaspar.
In tutta questa discussione c’è un equivoco di fondo che mette insieme: 1) studiare logiche non classiche, 2) usare logiche non classiche nella modellizzazione (economia, informatica, fisica, bo), 3) usare una logica non classica come meta-logica.
Non è che uno che scrive un articolo sulle MV algebre usa la logica di Lukasievic per farlo.
Non è che uno che scrive un articolo sulle MV algebre usa la logica di Lukasievic per farlo.
"solaàl":
Solitamente la matematica è un fenomeno sociale: quando si deve dimostrare qualcosa, se ci si riconosce nella religione che non crede alle dimostrazioni per assurdo, si cerca una dimostrazione che risponda a quel canone non per utilitarismo (la matematica costruttiva non è una parte di matematica, è più un modo di organizzarla) ma per -passami il termine- pressione sociale. Si concorda che un certo modo di fare una dimostrazione sia "sbagliato" perché non risponde a quegli assiomi che sono ragionevoli e "giusti all'intuizione".
La parte della «pressione sociale», ammetto, non l'ho compresa. La parte in neretto mi piace.
"solaàl":
è più un modo di intendere la matematica: per alcuni, è una maniera di fare episteme (e tra i costruttivisti ci sono matematici e filosofi assai rispettabili [...])
Questo pure è interessante.
[ot]
"solaàl":
le dimostrazioni che usano il lemma di Zorn sono tutte un po' una presa in giro, non trovi?
Abbastanza, per quel che vale detto da me.
[/ot]
"gugo82":
Pur di pubblicare c'è chi passa anche sul cadavere delle proprie convinzioni filosofiche.
Duro ma sincero, penso.
"gugo82":
[...] dubito che se ti siedi al tavolo con lui ti possa sembrare un alieno.
Non penso questo, penso sia interessante.
Le due parti di risposta volevano innescare una deduzione quando le avessi lette vicine: vedo che non ce l'ho fatta.
Sono più di tre, è che tu non li conosci e questo discorso ti sembra forzato: esiste una comunità di analisti e geometri differenziali che frasa i propri risultati usando la matematica costruttiva (quindi niente AC, niente LEM...); ed esiste gente che fa fisica, o altro. Mi sembra però che il problema non sia questo: il problema è che nessuna lista ti riuscirebbe a soddisfare, perché sei animato da un pregiudizio.
Cosa vuoi sapere, quindi?
E visto che avevo frasato così la prima risposta: cosa ti sembra elusivo o inerentemente filosofico, nell'asserzione "teorema X implica che concentrarsi a studiare logiche a soli due valori è sullo stesso piano di concentrarsi a studiare spazi topologici con due soli aperti: una restrizione innaturale, che taglia fuori le patologie ma anche gli esempi interessanti"?
Sono più di tre, è che tu non li conosci e questo discorso ti sembra forzato: esiste una comunità di analisti e geometri differenziali che frasa i propri risultati usando la matematica costruttiva (quindi niente AC, niente LEM...); ed esiste gente che fa fisica, o altro. Mi sembra però che il problema non sia questo: il problema è che nessuna lista ti riuscirebbe a soddisfare, perché sei animato da un pregiudizio.
Cosa vuoi sapere, quindi?
E visto che avevo frasato così la prima risposta: cosa ti sembra elusivo o inerentemente filosofico, nell'asserzione "teorema X implica che concentrarsi a studiare logiche a soli due valori è sullo stesso piano di concentrarsi a studiare spazi topologici con due soli aperti: una restrizione innaturale, che taglia fuori le patologie ma anche gli esempi interessanti"?
"solaàl":immagino non siano tante le persone che lavorano fuori dalla logica usuale.
Sono una minoranza, ma più di quelle che credi. Ma sarebbe interessante contarli: come proponi di farlo, come si potrebbe stimare quanti sono senza rischiare che la stima sia falsata da una visione molto parziale della matematica?
Beh, sì, sarebbe interessante capirlo.
"solaàl":non ho capito neanche io dove vuoi andare a parare...e Manin. E avrei potuto continuare con lo stesso Baez che ha aperto la discussione: volevo contraddire il commento che diceva che "è raro che un fisico matematico si interessi di logica". E' accaduto spesso, non solo in quei casi.
Ah, capisco... Insomma two's company, three's a crowd letteralmente.
immagino non siano tante le persone che lavorano fuori dalla logica usuale.
Sono una minoranza, ma più di quelle che credi. Ma sarebbe interessante contarli: come proponi di farlo, come si potrebbe stimare quanti sono senza rischiare che la stima sia falsata da una visione molto parziale della matematica?
non ho capito neanche io dove vuoi andare a parare...e Manin. E avrei potuto continuare con lo stesso Baez che ha aperto la discussione: volevo contraddire il commento che diceva che "è raro che un fisico matematico si interessi di logica". E' accaduto spesso, non solo in quei casi.
Comunque tutto questo è offtopic, ed è chiaramente un modo per indurre a litigare ancora di più.
come conduce il suo lavoro di ricerca/insegnamento.Solitamente la matematica è un fenomeno sociale: quando si deve dimostrare qualcosa, se ci si riconosce nella religione che non crede alle dimostrazioni per assurdo, si cerca una dimostrazione che risponda a quel canone non per utilitarismo (la matematica costruttiva non è una parte di matematica, è più un modo di organizzarla) ma per -passami il termine- pressione sociale. Si concorda che un certo modo di fare una dimostrazione sia "sbagliato" perché non risponde a quegli assiomi che sono ragionevoli e "giusti all'intuizione". Similmente accade, quando si cerca di ispirare la scrittura di codice a certe buone pratiche. Certe cose "non si fanno" perché rendono illeggibile o difficile da mantenere il sorgente, ma se le fai il codice compila lo stesso. Qualcosa di analogo succede con la matematica.
Spesso quella costruttiva, o che non usa LEM, è una dimostrazione equiespressiva ma migliore sotto l'aspetto dell'ergonomia. Per esempio può essere piu modulare, piu facile da generalizzare; oppure è semplicemente oggettivamente più comprensibile: ci sono tante dimostrazioni scritte male e difficili da capire, perché usano un assurdo anche quando potrebbero evitarlo, scrivendo di più ma in modo più chiaro; e di solito, le dimostrazioni che usano il lemma di Zorn sono tutte un po' una presa in giro, non trovi?
Questo è un altro motivo per cui non ne farei una questione di utilitarismo; è più un modo di intendere la matematica: per alcuni, è una maniera di fare episteme (e tra i costruttivisti ci sono matematici e filosofi assai rispettabili, che una cattedra ce l'hanno eccome: è un'illazione antipatica ridurli a semplici arrivisti, ma capisco l'origine di questo pessimismo nei confronti delle intenzioni altrui); per altri, è... beh, quello che sembra stare trapelando dal contrappunto in questa conversazione.
@ kaspar:
[ot]Certo che la esegue... Pur di pubblicare c'è chi passa anche sul cadavere delle proprie convinzioni filosofiche. Tipo quelli che "questo forum non è posto per me" e poi continuano a tornarci, puntualmente, dopo ogni ban per intemperanze/comportamenti scorretti/insulti gratuiti/minacce di querele ad altri utenti/etc.
Dopotutto, la filosofia non paga le bollette, né consente di vincere concorsi a cattedra. [/ot]
Fuori di battuta, immagino non siano tante le persone che lavorano fuori dalla logica usuale.
Chi lo fa, lo fa perché ha trovato qualcosa che può dire in un certo ambito di ricerca che gli è più o meno congeniale ed, utilitaristicamente, lo fa... Ma dubito che se ti siedi al tavolo con lui ti possa sembrare un alieno.
@ solaàl: Sinceramente, non ho capito neanche io dove vuoi andare a parare citando Truesdell o la bibliografia parziale di Lawvere.
P.S.: A scanso di equivoci, in OT non mi riferivo a solaàl.
"kaspar":
se uno deve ricorrere ad una dimostrazione per assurdo, che fa? La esegue senza preoccupazione («il pricipio del terzo escluso come collegato ad un interruttore»), oppure cerca di usare un'alternativa costruttivista?
[ot]Certo che la esegue... Pur di pubblicare c'è chi passa anche sul cadavere delle proprie convinzioni filosofiche. Tipo quelli che "questo forum non è posto per me" e poi continuano a tornarci, puntualmente, dopo ogni ban per intemperanze/comportamenti scorretti/insulti gratuiti/minacce di querele ad altri utenti/etc.
Dopotutto, la filosofia non paga le bollette, né consente di vincere concorsi a cattedra.
[/ot]Fuori di battuta, immagino non siano tante le persone che lavorano fuori dalla logica usuale.
Chi lo fa, lo fa perché ha trovato qualcosa che può dire in un certo ambito di ricerca che gli è più o meno congeniale ed, utilitaristicamente, lo fa... Ma dubito che se ti siedi al tavolo con lui ti possa sembrare un alieno.
@ solaàl: Sinceramente, non ho capito neanche io dove vuoi andare a parare citando Truesdell o la bibliografia parziale di Lawvere.
P.S.: A scanso di equivoci, in OT non mi riferivo a solaàl.
"j18eos":
@kaspar ...ma te che idea ti sei fatto di queste logiche a più valori di verità?
L'orientamento che volevo da quando ho concepito questo thread è questo e forse non sono stato chiaro a sufficienza:
"kaspar":
Vorrei sapere da qualche Working Mathematician (visto che qualcuno mi sembra che ce ne sia) cosa ne pensa. Ovvero quale peso ha la logica intuizionista nel lavoro di ricerca e insegnamento (perché no?). Oppure in generale, che considerazione se ne ha.
Parafrasando: non volevo qualcuno che mi confermasse o negasse l'esistenza di queste logiche; piuttosto volevo sapere se nel suo «lavoro quotidiano» un Matematico usasse o meno, e in quale misura logice intuizioniste. È per questo che io ho parlato di «posizioni»
"kaspar":
Per ora mi devo accontentare dell'esistenza di posizioni [...]
nel senso di scelte che uno fa nel lavoro di Matematico. E questo stralcio mi sembra fornire una risposta.
"j18eos":
Non sono d'accordo che venga tralasciata per ignoranza, ma per scelte di ricerca [...]
Per esempio, visto che solaàl parla e sembra lavorare con un certo tipo di Matematica, mi piacerebbe chiedere come lavora, come conduce il suo lavoro di ricerca/insegnamento. Esempio stupido che mi può venire in mente: se uno deve ricorrere ad una dimostrazione per assurdo, che fa? La esegue senza preoccupazione («il pricipio del terzo escluso come collegato ad un interruttore»), oppure cerca di usare un'alternativa costruttivista?
E io non ho capìto che vuoi... e manco lo voglio sapere.
Mi dileguo;
buona chiacchierata a chi vorrà intervenire!
Mi dileguo;
buona chiacchierata a chi vorrà intervenire!
Rispondo solo a 3, per il resto ho rinunciato da tempo a ottenere da te una risposta che non sia aneddotica:
Ora: la struttura di algebra di Heyting è il modo in cui le logiche a più valori si formalizzano algebricamente. Una tale nozione è strumento adatto per formalizzare la condizione fisica dell'inosservabilita' di punti materiali isolati, che nel passaggio al "pseudocomplementare" di un elemento "perde" tutto cio' che e' "troppo piccolo" per essere "osservato", ossia (nel locale generato indotto su uno spazio topologico) la frontiera e i punti isolati di ogni aperto considerato.
A te la topologia generale piace enormemente, vero? Benissimo: ogni poset di aperti di uno spazio topologico è un'algebra di Heyting, se definisci lo pseudo-complementare di $U$ come l'interno di \(U^\complement\).
Quando usi questa idea per "formalizzare" l'intuizione spaziale fisica, nvece di tracciare la differenza usuale tra osservabile e non osservabile (un insieme in un universo, dove un punto si trova, e il suo complementare, dove non si trova), se ne traccia una intuizionistica, dove si differenzia l'osservabile dal non refutabile (un insieme dove un punto si trova, uno dove sicuramente non si trova, e una "intercapedine" su cui non abbiamo potere ermeneutico).
Ma andiamo avanti.
Truesdell, che fu il primo relatore di William Lawvere, fu un raffinato storico della scienza e uomo poliedrico, che curò una parte del lato fondazionale di discipline insospettabili.
William Lawvere, nella cui produzione scientifica ricordiamo:
Elementary Theory of the Category of Sets, Proceedings of the National Academy of Science 52, No. 6 (December 1964), 1506-1511.
Categorical Dynamics, Open House on Topos Theoretic Methods in Geometry Proceedings of Aarhus May 1978 (1979), Aarhus/Denmark.
Categorical algebra for continuum microphysics, Journal of Pure and Applied algebra 175, (2002), 267-287.
20. State Categories, Closed Categories, and the Existence of Semicontinuous Entropy Functions - IMA Research Report #86, University of Minnesota (1986).
Unity and Identity of Opposites in Calculus and Physics, Proceedings of ECCT 1994 Tours Conference, Applied Categorical Structures, 4: 167-174 Kluwer Academic Publishers, (1996).
Volterra's functionals and covariant cohesion of space, Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, 64, R. Betti, F. W. Lawvere (Eds), (2000), 201-214.
Ma andiamo avanti:
Andiamo ancora avanti, o hai un altro aneddoto sulle zingare?
Vi sono anzitutto le difficolta' che si incontrano quando
si vogliano definire le nozioni fondamentali.
Che cos'e' la massa? E' –risponde Newton– il
prodotto del volume per la densita'.
Sarebbe meglio –replicano Thomson e Tait– dire
che la densita' e' il quoziente della massa per il volume.
Che cos'e' la forza? E' –risponde Lagrange– una
causa che produce il movimento o che tende a produrlo.
E' –affermera' invece Kirchhoff– il
prodotto della massa per l'accelerazione. Ma allora
perché non dire che la massa e' il quoziente della
forza per l'accelerazione? Queste difficolt`a
sono inestricabili
- Henri Poincaré, Le idee di Hertz sulla Meccanica, 1897
Ora: la struttura di algebra di Heyting è il modo in cui le logiche a più valori si formalizzano algebricamente. Una tale nozione è strumento adatto per formalizzare la condizione fisica dell'inosservabilita' di punti materiali isolati, che nel passaggio al "pseudocomplementare" di un elemento "perde" tutto cio' che e' "troppo piccolo" per essere "osservato", ossia (nel locale generato indotto su uno spazio topologico) la frontiera e i punti isolati di ogni aperto considerato.
A te la topologia generale piace enormemente, vero? Benissimo: ogni poset di aperti di uno spazio topologico è un'algebra di Heyting, se definisci lo pseudo-complementare di $U$ come l'interno di \(U^\complement\).
Quando usi questa idea per "formalizzare" l'intuizione spaziale fisica, nvece di tracciare la differenza usuale tra osservabile e non osservabile (un insieme in un universo, dove un punto si trova, e il suo complementare, dove non si trova), se ne traccia una intuizionistica, dove si differenzia l'osservabile dal non refutabile (un insieme dove un punto si trova, uno dove sicuramente non si trova, e una "intercapedine" su cui non abbiamo potere ermeneutico).
Ma andiamo avanti.
Clifford A. Truesdell, in un ormai famoso (e provocatorio) pamphlet “Il calcolatore:
rovina della scienza e minaccia per il genere umano”, La nuova ragione, Scientia/Il Mulino
1981, giunge addirittura al seguente scenario. Se nel XVII secolo fossero esistiti i calcolatori, non ci sarebbe stata alcuna forte pulsione per tentare una ricostruzione matematica
unitaria quale quella formidabile di Isaac Newton, non sarebbe servita, forse sarebbe stata
controproducente: la “macchina” epicicloidale esistente, e sempre eventualmente perfettibile mediante l'aggiunta di nuovi epicicli, sarebbe apparsa piu' che adeguata per il calcolo
computerizzato.
Truesdell, che fu il primo relatore di William Lawvere, fu un raffinato storico della scienza e uomo poliedrico, che curò una parte del lato fondazionale di discipline insospettabili.
William Lawvere, nella cui produzione scientifica ricordiamo:
Elementary Theory of the Category of Sets, Proceedings of the National Academy of Science 52, No. 6 (December 1964), 1506-1511.
Categorical Dynamics, Open House on Topos Theoretic Methods in Geometry Proceedings of Aarhus May 1978 (1979), Aarhus/Denmark.
Categorical algebra for continuum microphysics, Journal of Pure and Applied algebra 175, (2002), 267-287.
20. State Categories, Closed Categories, and the Existence of Semicontinuous Entropy Functions - IMA Research Report #86, University of Minnesota (1986).
Unity and Identity of Opposites in Calculus and Physics, Proceedings of ECCT 1994 Tours Conference, Applied Categorical Structures, 4: 167-174 Kluwer Academic Publishers, (1996).
Volterra's functionals and covariant cohesion of space, Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, 64, R. Betti, F. W. Lawvere (Eds), (2000), 201-214.
Ma andiamo avanti:
Yuri Ivanovitch Manin (Russian: Ю́рий Ива́нович Ма́нин; born February 16, 1937) is a Russian mathematician, known for work in algebraic geometry and diophantine geometry, and many expository works ranging from mathematical logic to theoretical physics.
Andiamo ancora avanti, o hai un altro aneddoto sulle zingare?
Sperando di non accendere un flame:
[list=1]
[*:2y21s046]No, non è una posizione: le logiche a più valori di verità "esistono", sono studiabili e sono studiate; e nessun* in questo thread le ha contestate![/*:m:2y21s046]
[*:2y21s046]Non sono d'accordo che venga tralasciata per ignoranza, ma per scelte di ricerca; tipo vedo difficile che un fisico-matematico si metta a dissertare di logica...[/*:m:2y21s046]
[*:2y21s046]Almeno in questo thread, nessun* ha negato che esistono le logiche a più valori di verità.[/*:m:2y21s046][/list:o:2y21s046]
@kaspar ...ma te che idea ti sei fatto di queste logiche a più valori di verità?
"solaàl":scrivo giuste tre cose:
[...] non è una posizione l'esistenza o meno di logiche a più valori. [...] è semplicemente matematica che, per ignoranza, viene tralasciata [...] Non volerle vedere (le logiche a più valori di verità, NdR.) [...]
[list=1]
[*:2y21s046]No, non è una posizione: le logiche a più valori di verità "esistono", sono studiabili e sono studiate; e nessun* in questo thread le ha contestate![/*:m:2y21s046]
[*:2y21s046]Non sono d'accordo che venga tralasciata per ignoranza, ma per scelte di ricerca; tipo vedo difficile che un fisico-matematico si metta a dissertare di logica...[/*:m:2y21s046]
[*:2y21s046]Almeno in questo thread, nessun* ha negato che esistono le logiche a più valori di verità.[/*:m:2y21s046][/list:o:2y21s046]
@kaspar ...ma te che idea ti sei fatto di queste logiche a più valori di verità?
Beh, le logiche sfumate si generalizzano molto facilmente (e a costo quasi zero) a logiche interne di topos.
Non lo conosco personalmente, ma per motivi di lavoro mi sono avvicinato alla fuzzy logic e questo articolo è stato illuminante.
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