Principio del terzo escluso...
Ciao 
Ho scoperto da poco un tweet (in realtà un thread) di John Carlos Baez molto interessante, in cui dice
Il link è questo: https://twitter.com/johncarlosbaez/stat ... 65441?s=20 .
Vorrei sapere da qualche Working Mathematician (visto che qualcuno mi sembra che ce ne sia) cosa ne pensa. Ovvero quale peso ha la logica intuizionista nel lavoro di ricerca e insegnamento (perché no?). Oppure in generale, che considerazione se ne ha.
Ho scoperto da poco un tweet (in realtà un thread) di John Carlos Baez molto interessante, in cui dice
It may seem hard to think and do math while avoiding the "law of excluded middle" [...] In fact you can get used to avoiding it. I know lots of mathematicians who can. It's an ability you can turn on and off.
Il link è questo: https://twitter.com/johncarlosbaez/stat ... 65441?s=20 .
Vorrei sapere da qualche Working Mathematician (visto che qualcuno mi sembra che ce ne sia) cosa ne pensa. Ovvero quale peso ha la logica intuizionista nel lavoro di ricerca e insegnamento (perché no?). Oppure in generale, che considerazione se ne ha.
Risposte
Sempre bello leggere un articolo del prof. Sgarro. 
Mi manca vederlo correre avanti e indietro, su e giù, con le scarpe da ginnastica e lo sguardo sempre altrove... ma con una lucidità quando ti spiega e ti risponde davvero encomiabile.
Mi manca vederlo correre avanti e indietro, su e giù, con le scarpe da ginnastica e lo sguardo sempre altrove... ma con una lucidità quando ti spiega e ti risponde davvero encomiabile.
Premetto che non ho gli strumenti matematici per capire il discorso che si sta facendo (e devo dire che sono temi che non mi appassionano più di tanto). Penso però che questo articolo possa essere interessante per l’utente che ha aperto il thread
https://www.openstarts.units.it/bitstre ... Sgarro.pdf
https://www.cambridge.org/core/journals ... 044FD1E47E
https://www.openstarts.units.it/bitstre ... Sgarro.pdf
https://www.cambridge.org/core/journals ... 044FD1E47E
@kaspar La mia più che una posizione è una constatazione. 
Un po' come mi dicono i colleghi di geometria combinatorica:
O restando in argomento: col principio del terzo escluso ci lavoro benissimo;
so perfettamente che si può "fare matematica"[nota]Qualunque cosa voglia dire questa frase![/nota] senza il suddetto principio;
ed ad esempio questa matematica è utile in informatica, meccanica quantistica, ed anche elettronica.
Ma non interessandomi manco di queste ultime tre, non ho approfondito la conoscenza.
...però leggo con piacere la divulgazione in merito.
Un po' come mi dicono i colleghi di geometria combinatorica:
Matematicamente parlando esistono gli insiemi infiniti[nota]Io lavoro esclusivamente sul campo complesso od al più sui campi algebricamente chiusi di caratteristica \(\displaystyle0\). Giusto per cronaca...[/nota];
ma cogli insiemi finiti ci lavoro benissimo.
O restando in argomento: col principio del terzo escluso ci lavoro benissimo;
so perfettamente che si può "fare matematica"[nota]Qualunque cosa voglia dire questa frase![/nota] senza il suddetto principio;
ed ad esempio questa matematica è utile in informatica, meccanica quantistica, ed anche elettronica.
Ma non interessandomi manco di queste ultime tre, non ho approfondito la conoscenza.
...però leggo con piacere la divulgazione in merito.
Ecco, vedi, il punto è questo: non sono "posizioni"; non è una posizione il fatto che il teorema spettrale sia vero, e non è una posizione l'esistenza o meno di logiche a più valori. Il mio punto era questo: ad alcuni sembra sia una scelta filosofica, o qualcosa su cui si ha libertà decisionale. Non è così: è semplicemente matematica che, per ignoranza, viene tralasciata; ma col pacchetto "spazi topologici con topologie non discrete" si ottiene, volenti o nolenti, il contropacco "logiche a più valori". Non volerle vedere, è un altro conto. Ma sono lì, indotte proprio dall'esigenza o dalla curiosità verso spazi topologici con topologie non banali.
Cosa c'entra, poi, quale sia il perno dell'Universo? E' una richiesta di netiquette, che però vedo mancare.
Cosa c'entra, poi, quale sia il perno dell'Universo? E' una richiesta di netiquette, che però vedo mancare.
Pensavo di non ricevere risposte, e invece non avevo attivato le notifiche.
Flame a parte ché non mi interessa, dei punti.
@solaàl, grazie per gli spunti. Li considererò sicuramente un po' più in là, visto che al momento ci sono tante cose che non so.
Per ora mi devo accontentare dell'esistenza di posizioni:
[ot]
No.
Non gira tutto attorno a te.[/ot]
Flame a parte ché non mi interessa, dei punti.
@solaàl, grazie per gli spunti. Li considererò sicuramente un po' più in là, visto che al momento ci sono tante cose che non so.
Per ora mi devo accontentare dell'esistenza di posizioni:
"j18eos":
[...] volevo affermare che nel caso "stupido" si lavora bene e, aggiungo, in maniera per nulla "deficiente"!
"solaàl":
Questo teorema, diciamo $T$, che è un risultato abbastanza profondo, ispira una prassi; questa prassi ti fa fare certa matematica ispirata ad essa, e altra no. Quasi come se la verità di un fatto si potesse spegnere o accendere a seconda della bisogna.
[ot]
"solaàl":
Posso chiedere a mia volta il favore che chi non sa cos'ho scritto commenti solo se vuole sapere cosa ho scritto [...]
No.
Non gira tutto attorno a te.[/ot]
Certo, ovviamente.
Un'altra cosa legata al discorso di prima è che il principio del terzo escluso si può riguardare come una forma estremamente debole di assioma della scelta: più precisamente, le condizioni seguenti sono equivalenti nel topos di fasci \(\mathcal E\) su uno spazio topologico $X$:
1. In \(\mathcal E\), vale il principio del terzo escluso: ossia, nella semantica di Kripke di \(\mathcal E\) vale
\[ p \lor \lnot p \Rightarrow 1\] 2. Gli oggetti "finitamente indicizzati" \(A\) di \(\mathcal E\) sono proiettivi, ossia ogni suriezione \(E \to B\) viene mandata in una suriezione \(E^{A} \to B^{A}\).
3. In \(\mathcal E\) vale l'assioma di scelta finito, ossia ogni oggetto finito \([n] = \{0,1,\dots,n-1\}\) di \(\mathcal E\) ammette una funzione di scelta.
Un oggetto $A$ è finitamente indicizzato se esiste un intero non negativo $n$ e una suriezione \([n] \to A\).
Per definire cos'è un finito va usata una nozione più tricky: anzitutto, \(\mathcal E\) ha un oggetto dei numeri naturali \(\mathbb N_{\mathcal E}\); nella semantica di Kripke questo ha dei termini, o elementi generalizzati \(n : U \to \mathbb N\); dato un termine di tipo \(\mathbb N\) definisco il cardinale finito \([n]\) come l'angolo in alto a sinistra di questo quadrato commutativo terminale:
Detto in maniera rude, sono le coppie \((i,j)\) tali che \(i+j+1=n\). Quindi, siccome \(i = 0,1,\dots,n-1\) e \(j=n-1,n-2,\dots,0\) si determinano a vicenda per questa relazione lineare, cioè dal momento che la mappa \(i \mapsto (i, n-1-i)\) è una biiezione, si recupera la vecchia nozione di "insieme finito" come "segmento iniziale di \(\mathbb N\)". Un riferimento per questa costruzione è
Il legame tra 3 e 2 si apprezza in questo modo: vedi alla sezione 2, "Properties" https://ncatlab.org/nlab/show/choice+object
Incidentalmente, visto che LEM è legato all'assioma della scelta finita, dico cosa succede ai vostri spazi topologici quando volete andare full choice. Never go full choice kids.
Allora: quando \(\mathcal E = \text{Sh}(X, \tau)\) soddisfa l'assioma della scelta inteso come "ogni suriezione ha un'inversa destra", allora (!) ogni aperto della topologia \(\tau_X\) è un clopen, e si scrive come unione disgiunta di componenti \(U_i\) ognuna dotata della topologia banale. Questo è il corollario finale di Diaconescu, appena prima delle reference. E' un articolo di due pagine, not a great effort.
Quelli che ottenete come unione disgiunta di clopen indiscreti sono spazi completamente inutili, giusto? Ma in logiche a due valori con AC vi state limitando a studiare quelli. Io, invece, i miei spazi, li voglio belli T2, metrizzabili con \(\aleph_1\) aperti, magari varietà; e quindi (proprio perché non posso farne a meno) uso logiche a molti valori, tanti quanti gli aperti del Mulino Bianco che vorrei.
Detto questo.
Posso chiedere a mia volta il favore che chi non sa cos'ho scritto commenti solo se vuole sapere cosa ho scritto, e non per raccontare aneddoti inopportuni sulla propria formazione o sugli zingari?
Un'altra cosa legata al discorso di prima è che il principio del terzo escluso si può riguardare come una forma estremamente debole di assioma della scelta: più precisamente, le condizioni seguenti sono equivalenti nel topos di fasci \(\mathcal E\) su uno spazio topologico $X$:
1. In \(\mathcal E\), vale il principio del terzo escluso: ossia, nella semantica di Kripke di \(\mathcal E\) vale
\[ p \lor \lnot p \Rightarrow 1\] 2. Gli oggetti "finitamente indicizzati" \(A\) di \(\mathcal E\) sono proiettivi, ossia ogni suriezione \(E \to B\) viene mandata in una suriezione \(E^{A} \to B^{A}\).
3. In \(\mathcal E\) vale l'assioma di scelta finito, ossia ogni oggetto finito \([n] = \{0,1,\dots,n-1\}\) di \(\mathcal E\) ammette una funzione di scelta.
Un oggetto $A$ è finitamente indicizzato se esiste un intero non negativo $n$ e una suriezione \([n] \to A\).
Per definire cos'è un finito va usata una nozione più tricky: anzitutto, \(\mathcal E\) ha un oggetto dei numeri naturali \(\mathbb N_{\mathcal E}\); nella semantica di Kripke questo ha dei termini, o elementi generalizzati \(n : U \to \mathbb N\); dato un termine di tipo \(\mathbb N\) definisco il cardinale finito \([n]\) come l'angolo in alto a sinistra di questo quadrato commutativo terminale:
[tex]\xymatrix{
[n] \ar[rr]\ar[d]&& U \ar[d]^n \\
\mathbb N \times \mathbb N \ar[r]_+ & \mathbb N \ar[r]_{\textsf{suc}}& \mathbb N
}[/tex]
[n] \ar[rr]\ar[d]&& U \ar[d]^n \\
\mathbb N \times \mathbb N \ar[r]_+ & \mathbb N \ar[r]_{\textsf{suc}}& \mathbb N
}[/tex]
Detto in maniera rude, sono le coppie \((i,j)\) tali che \(i+j+1=n\). Quindi, siccome \(i = 0,1,\dots,n-1\) e \(j=n-1,n-2,\dots,0\) si determinano a vicenda per questa relazione lineare, cioè dal momento che la mappa \(i \mapsto (i, n-1-i)\) è una biiezione, si recupera la vecchia nozione di "insieme finito" come "segmento iniziale di \(\mathbb N\)". Un riferimento per questa costruzione è
Johnstone, Peter T., and Gavin C. Wraith. "Algebraic theories in toposes." Indexed categories and their applications. Springer, Berlin, Heidelberg, 1978. 141-242.
Il legame tra 3 e 2 si apprezza in questo modo: vedi alla sezione 2, "Properties" https://ncatlab.org/nlab/show/choice+object
Incidentalmente, visto che LEM è legato all'assioma della scelta finita, dico cosa succede ai vostri spazi topologici quando volete andare full choice. Never go full choice kids.
Allora: quando \(\mathcal E = \text{Sh}(X, \tau)\) soddisfa l'assioma della scelta inteso come "ogni suriezione ha un'inversa destra", allora (!) ogni aperto della topologia \(\tau_X\) è un clopen, e si scrive come unione disgiunta di componenti \(U_i\) ognuna dotata della topologia banale. Questo è il corollario finale di Diaconescu, appena prima delle reference. E' un articolo di due pagine, not a great effort.
Quelli che ottenete come unione disgiunta di clopen indiscreti sono spazi completamente inutili, giusto? Ma in logiche a due valori con AC vi state limitando a studiare quelli. Io, invece, i miei spazi, li voglio belli T2, metrizzabili con \(\aleph_1\) aperti, magari varietà; e quindi (proprio perché non posso farne a meno) uso logiche a molti valori, tanti quanti gli aperti del Mulino Bianco che vorrei.
Detto questo.
Posso chiedere a mia volta il favore che chi non sa cos'ho scritto commenti solo se vuole sapere cosa ho scritto, e non per raccontare aneddoti inopportuni sulla propria formazione o sugli zingari?
[xdom="gugo82"]@ solaàl: Posso farti notare che non sei stato il solo a rispondere con argomenti sensati e che hai quasi scatenato un flame scambiando messaggi con l'altro utente (j18eos)?
Qui non siamo abituati ad avere a che fare con chi ribalta la realtà a proprio uso e consumo.
Quindi, regolati di conseguenza.
Grazie.[/xdom]
Qui non siamo abituati ad avere a che fare con chi ribalta la realtà a proprio uso e consumo.
Quindi, regolati di conseguenza.
Grazie.[/xdom]
Possiamo tornare in topic, magari evitando di commentare se non si hanno le competenze per farlo? E' snervante questa mancanza di professionalità di fronte a chi fa domande. Possibile che sono l'unico utente che ha qualcosa da dire in merito alla domanda di OP?
[ot]@gug82 Anche io Ti Voglio Bene; ed aggiungo pure un augurio di Santa Pasqua (cattolica, riformata, ortodossa e chi più ne ha più ne metta) a te e famiglia.[/ot]
[ot]Ascolta, è semplice: c'è un teorema che dice una cosa. Non lo sapevi, e va bene così: ora lo sai.
Questo teorema, diciamo $T$, che è un risultato abbastanza profondo, ispira una prassi; questa prassi ti fa fare certa matematica ispirata ad essa, e altra no. Quasi come se la verità di un fatto si potesse spegnere o accendere a seconda della bisogna.
Il motivo di questi due pesi e due misure è che non sapevi che il teorema è vero, o che ritieni la matematica si possa fare decidendo volta per volta quali teoremi sono veri e quali no? Perché la differenza sta lì: se ora conosci l'enunciato di $T$, sei più libero di agire di conseguenza: essere coerente, ringraziarmi perché ti ho insegnato qualcosa, oppure continuare con la tua vita di tutti i giorni. (Le due possibilità non sono in mutua esclusione.)
Ma da come parli sembra che tu ti sia risentito perché ti ho detto che non sai $T$, o che ti comporti a seconda dell'utile, o della consuetudine, senza troppa coerenza operativa. Lo trovo bizzarro, così come trovo bizzarro il tuo personaggio.
Infine il fanatismo non c'entra proprio nulla: è matematica, mica politica o un assioma.
Che visione rabberciata avete delle cose...[/ot]
Questo teorema, diciamo $T$, che è un risultato abbastanza profondo, ispira una prassi; questa prassi ti fa fare certa matematica ispirata ad essa, e altra no. Quasi come se la verità di un fatto si potesse spegnere o accendere a seconda della bisogna.
Il motivo di questi due pesi e due misure è che non sapevi che il teorema è vero, o che ritieni la matematica si possa fare decidendo volta per volta quali teoremi sono veri e quali no? Perché la differenza sta lì: se ora conosci l'enunciato di $T$, sei più libero di agire di conseguenza: essere coerente, ringraziarmi perché ti ho insegnato qualcosa, oppure continuare con la tua vita di tutti i giorni. (Le due possibilità non sono in mutua esclusione.)
Ma da come parli sembra che tu ti sia risentito perché ti ho detto che non sai $T$, o che ti comporti a seconda dell'utile, o della consuetudine, senza troppa coerenza operativa. Lo trovo bizzarro, così come trovo bizzarro il tuo personaggio.
Infine il fanatismo non c'entra proprio nulla: è matematica, mica politica o un assioma.
Che visione rabberciata avete delle cose...[/ot]
"solaàl":No, è che sono assolutamente ignorante in materia; sapevo dell'esistenza delle logiche a più valori di verità, e nulla di più!
[...] fai questa parzializzazione perché non sai che a rigore non ti è permesso.
A scanso di equivoci, tali "signore della matematica" le ho incontrate oltre 10 anni fa;
se non m'hanno suscitato l'interesse all'epoca, non credo che m'interesseranno tutt'ora.
Inoltre, per altre vie, conoscevo già "i punti di contatto" tra topologia, teoria dei fasci, logica e teoria delle categorie; ed anche questo non ha suscitato il mio interesse matematico.
Cosa voglio dire? Sono discorsi interessanti, che cerco di seguire e di capire entro i miei limiti;
ma non mi metterò di certo a studiarli, e né impedirò ad altri di studiarli o di trasmetterli a terzi[nota]Qui non ho trovato un sinonimo adatto.[/nota].
Ma di sicuro non mi faccio offendere perché ho altri gusti matematici...
Guarda che la domanda era retorica, il motivo mi è chiaro: fai questa parzializzazione perché non sai che a rigore non ti è permesso.
"solaàl":Non ho affermato che in TVL (scrivo bene?) ci siano più teoremi rispetto a MVL; anzi, mi sembra banale affermare che sia altrettanto interessante MVL!
[...]con la two-valued logic si possono dimostrare delle belle caterve di teoremi!
Non più di quelli dimostrabili in MVL. [...] la teoria interessante sta nel mezzo, quando le topologie non sono troppo poco fini, né troppo fini. [...]
Per il resto, ti lascio il dubbio: troppe certezze possono fare male.
Stay well!
No, forse tu non hai capito quello che intendo dire: i tuoi spazi topologici hanno tanti aperti; perché le tue logiche non hanno tanti truth values, se la seconda scelta è vincolata alla prima, visto che i due oggetti (gli aperti di uno spazio e i valori di verità di una logica) sono criptomorfi?
Non più di quelli dimostrabili in MVL. Ora andrai a cercare un teorema vero solo grazie al terzo escluso; ma il punto non è questo. Il punto è morale, e strutturale, come sempre: ci sono teoremi veri per le topologie banali, grazie tante: ma la teoria interessante sta nel mezzo, quando le topologie non sono troppo poco fini, né troppo fini. Con la logica, in virtù di quel teorema, è lo stesso, e ora mi sorge il dubbio tu abbia capito quel che ho scritto.
con la two-valued logic si possono dimostrare delle belle caterve di teoremi!
Non più di quelli dimostrabili in MVL. Ora andrai a cercare un teorema vero solo grazie al terzo escluso; ma il punto non è questo. Il punto è morale, e strutturale, come sempre: ci sono teoremi veri per le topologie banali, grazie tante: ma la teoria interessante sta nel mezzo, quando le topologie non sono troppo poco fini, né troppo fini. Con la logica, in virtù di quel teorema, è lo stesso, e ora mi sorge il dubbio tu abbia capito quel che ho scritto.
"solaàl":Io credo che tu non abbia capìto ciò che volevo dire, dato che non ho affermato nulla del genere!
Hai un'idea piuttosto confusa se credi che esistano dei teoremi che sono dimostrabili in two-valued logic, e non in many-valued logic. Oppure non ho capito cosa intendi [...]
Volevo affermare che, utilizzando le tue parole, con la two-valued logic si possono dimostrare delle belle caterve di teoremi!
Ed ancòra, volevo affermare che nel caso "stupido" si lavora bene e, aggiungo, in maniera per nulla "deficiente"!
Hai un'idea piuttosto confusa se credi che esistano dei teoremi che sono dimostrabili in two-valued logic, e non in many-valued logic. Oppure non ho capito cosa intendi: a te piace che gli spazi topologici abbiano piu di due aperti, vero? Perché allora vuoi che le tue proposizioni abbiano solo due valori di verità, visto che è lo stesso tipo di richiesta?
E' una forma di cerchiobottismo matematico che non mi è mai piaciuto, preferisco essere coerente, e se voglio spazi con tanti aperti, sono costretto ad ammettere logiche a tanti valori; tanto più che MVL è più espressiva di TVL, non meno.
E' una forma di cerchiobottismo matematico che non mi è mai piaciuto, preferisco essere coerente, e se voglio spazi con tanti aperti, sono costretto ad ammettere logiche a tanti valori; tanto più che MVL è più espressiva di TVL, non meno.
Ricordo a @solaàl che la "cosa stupida" di limitare la logica a due valori permette di "fare" un mare di rob(b)a!
...e come dissi in una delle mie prime lezioni:
E in un'altra lezione:
...e come dissi in una delle mie prime lezioni:
Vi confesso che potremmo fare matematica in cui "il principio del terzo escluso" non vale, ma non ci vuole "la zingara" per vedere chiaramente che una siffatta matematica non è adatta agli scopi di questo corso.
E in un'altra lezione:
Parlo di corrispondenza tra i mondi dell'algebra e della geometria, ma tecnicamente dovrei usare la parola "categoria"; e non lo faccio perché a matematica mi sparerebbero, oltre che qui ad ingegneria... dico sul serio!
Se \(\Omega\) è l'algebra di Heyting \(O(X)\) degli aperti di uno spazio topologico \(X\), c'è un'equivalenza di categorie tra
1. La categoria dei fasci su \(X\) (o fasci su \(\Omega\), basta capirsi con le notazioni), come definiti qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... #p8457948;
2. La categoria degli spazi étalé su \(X\), ossia la categoria i cui oggetti sono omeomorfismi locali con codominio \(X\) https://en.wikipedia.org/wiki/Local_homeomorphism;
3. La categoria degli \(\Omega\)-insiemi, insiemi dove la relazione di appartenenza \([a\in A]\) è "sfumata" in modo da assumere valori in \(\Omega\): puoi avere che un elemento sta in \(A\) con "forza" non massima, ed è una proposizione "un po' vera", "non del tutto falsa". Vedi 2.9.8 qui https://books.google.ee/books?id=7jgots ... &q&f=false
Ovviamente nella terza categoria il terzo escluso non vale: \([a\in A]=x, [a\notin A]=y\), e se \(x\vee y \lneq 1\) ecco che "c'è un tertium che ti viene datur".
Chiaramente la cara vecchia categoria degli insiemi si recupera prendendo \(\Omega=\{0,1\}\), ossia il reticolo degli aperti di uno spazio topologico banale.
Ora.
Alla luce di questa equivalenza le cose seguenti sono ugualmente stupide da fare:
1. Limitare la propria matematica a studiare solo logiche a due valori;
2. Limitare la propria topologia a studiare solo spazi topologici con topologia banale.
Perché solo la seconda cosa sembra sciocca? Perché i matematici non sanno la teoria delle categorie (e nella fattispecie, non sanno che e perché questo risultato è vero).
1. La categoria dei fasci su \(X\) (o fasci su \(\Omega\), basta capirsi con le notazioni), come definiti qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... #p8457948;
2. La categoria degli spazi étalé su \(X\), ossia la categoria i cui oggetti sono omeomorfismi locali con codominio \(X\) https://en.wikipedia.org/wiki/Local_homeomorphism;
3. La categoria degli \(\Omega\)-insiemi, insiemi dove la relazione di appartenenza \([a\in A]\) è "sfumata" in modo da assumere valori in \(\Omega\): puoi avere che un elemento sta in \(A\) con "forza" non massima, ed è una proposizione "un po' vera", "non del tutto falsa". Vedi 2.9.8 qui https://books.google.ee/books?id=7jgots ... &q&f=false
Ovviamente nella terza categoria il terzo escluso non vale: \([a\in A]=x, [a\notin A]=y\), e se \(x\vee y \lneq 1\) ecco che "c'è un tertium che ti viene datur".
Chiaramente la cara vecchia categoria degli insiemi si recupera prendendo \(\Omega=\{0,1\}\), ossia il reticolo degli aperti di uno spazio topologico banale.
Ora.
Alla luce di questa equivalenza le cose seguenti sono ugualmente stupide da fare:
1. Limitare la propria matematica a studiare solo logiche a due valori;
2. Limitare la propria topologia a studiare solo spazi topologici con topologia banale.
Perché solo la seconda cosa sembra sciocca? Perché i matematici non sanno la teoria delle categorie (e nella fattispecie, non sanno che e perché questo risultato è vero).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo