(X,Y) ha densità allora P(X=Y)=0 (problema di analisi)
Io voglio dimostrare questa proposizione:
"Sia $(X,Y)$ una variabile aleatoria reale doppia. Se $(X,Y)$ ha densità, allora $P({X=y})=0$
Ho trovato una dimostrazione che dice:
Chiamo $D={x=y}$ la bisettrice del primo e terzo quadrante di $R^2$, e dunque abbiamo: ${w|X(w)=Y(w)}=(X,Y)^-1$;
Adesso calcola $P(X=Y) = int int_(D) f(x,y) dxdy$ dove $f$ è la densità di $(X,Y)$, e lo risolve dicendo: fissata $x$, integro rispetto a $y$ e ho un solo punto. Allora l'integrale di un punto è nullo e conclude che $P(D)=0$.
Adesso il mio dubbio è: se io integro una funzione su una retta in $R^2$ (o più in generale, integro una funzione in un insieme di dimensione minore rispetto allo spazio in cui è definita), mi viene sempre nullo l'integrale?? Secondo me no, perchè allora non avrebbe senso calcolare gli integrali curvilinei...
"Sia $(X,Y)$ una variabile aleatoria reale doppia. Se $(X,Y)$ ha densità, allora $P({X=y})=0$
Ho trovato una dimostrazione che dice:
Chiamo $D={x=y}$ la bisettrice del primo e terzo quadrante di $R^2$, e dunque abbiamo: ${w|X(w)=Y(w)}=(X,Y)^-1$;
Adesso calcola $P(X=Y) = int int_(D) f(x,y) dxdy$ dove $f$ è la densità di $(X,Y)$, e lo risolve dicendo: fissata $x$, integro rispetto a $y$ e ho un solo punto. Allora l'integrale di un punto è nullo e conclude che $P(D)=0$.
Adesso il mio dubbio è: se io integro una funzione su una retta in $R^2$ (o più in generale, integro una funzione in un insieme di dimensione minore rispetto allo spazio in cui è definita), mi viene sempre nullo l'integrale?? Secondo me no, perchè allora non avrebbe senso calcolare gli integrali curvilinei...
Risposte
"nuwanda":
Adesso il mio dubbio è: se io integro una funzione su una retta in $R^2$ (o più in generale, integro una funzione in un insieme di dimensione minore rispetto allo spazio in cui è definita), mi viene sempre nullo l'integrale?? Secondo me no, perchè allora non avrebbe senso calcolare gli integrali curvilinei...
Dipende dalla misura secondo la quale integri: in questo caso è la misura di Lebesgue sul piano, o meglio, secondo a una misura definita da una densità (rispetto alla misura di Lebesgue), e risulta effettivamente che, secondo tali misure, le rette e i segmenti hanno misura nulla.
Comunque non è così per tutte le misure. Pensa alle misure discrete.
Già perchè ho in entrambe le integrazioni (in $dx$ e $dy$) la misura di Lebesgue, e quindi integrando prima in una variabile e poi nell'altra ho l'integrale di un punto che con la misura di Lebesgue è nullo. Mentre ad esempio se avessi la misura che conta i punti avrei un altro risultato (se però integrassi su un intervallo, o un insieme più che numerabile, avrei misura $+oo$).
E allora un'altra domanda... quando faccio un integrale curvilineo, con quale misura integro??
E allora un'altra domanda... quando faccio un integrale curvilineo, con quale misura integro??
"nuwanda":
E allora un'altra domanda... quando faccio un integrale curvilineo, con quale misura integro??
Gli integrali lungo una curva sono integrali singoli, non doppi. Per la misura non so, ma penso che anche qui si possano fare integrali curvilinei rispetto a diverse misure.
Se conosci la teoria della misura un passaggio chiave è dimostrare che l'integrale di una funzione quasi ovunque nulla è 0.
Dunque $ int_D f = int_{RR^2} 1_D f $ . Siccome D ha misura di Lebesgue sul piano nulla (magari potresti dimostrare anche questo) allora quell'integrale è nullo.
In realtà poi il fatto che la misura di probabilità doppia sia con densità è un sinonimo del fatto che è assolutamente cotinua rispetto alla misura di Lebesgue. Dunque $L(B)=0$ implica $P_{(X,Y)}(B)=0$ per ogni borelliano.
Dunque $ int_D f = int_{RR^2} 1_D f $ . Siccome D ha misura di Lebesgue sul piano nulla (magari potresti dimostrare anche questo) allora quell'integrale è nullo.
In realtà poi il fatto che la misura di probabilità doppia sia con densità è un sinonimo del fatto che è assolutamente cotinua rispetto alla misura di Lebesgue. Dunque $L(B)=0$ implica $P_{(X,Y)}(B)=0$ per ogni borelliano.
Eh appunto come faccio a dimostrare che $D$ ha misura di Lebesgue nulla sul piano?
Scusate ma io teoria della misura la so veramente male... su wikipedia ho trovato questa dicitura:
Un sottoinsieme di $R^n$ è un insieme di misura nulla se per ogni $del >0$ può essere coperto con un insieme numerabile di prodotti di $n$ intervalli il cui volume totale è al massimo $del$. Tutti gli insiemi numerabili sono insiemi di misura nulla, così pure gli insiemi in $R^n$ la cui dimensione è più piccola di n, ad esempio rette o circonferenze in $R^2$
Adesso... perchè rette e circonferenze hanno misura nulla in $R^2$? mi torna il fatto che la retta abbia integrale di Lebesgue nullo in $R^2$, perchè se integro due volte, nella seconda integrazione integro solo un punto e quindi ha integrale pari a zero... ma perchè ha pure misura nulla?
Pensavo di risolvere il dilemma trovando un ricoprimento di parallelepipedi di misura nulla, ma non riesco a formalizzare... per ora ho trovato che una retta parallela all'asse $y$, ad esempio la retta ${1}xRR$, ha misura nulla perchè posso prendere un parallelepipedo che ha misura nulla (la misura di un parallelepipedo è il prodotto delle lunghezze dei lati, e quindi avendo la relazione $0 * oo = 0$ ha misura nulla) che la ricopre... ma per una retta obliqua come formalizzo?
Scusate ma io teoria della misura la so veramente male... su wikipedia ho trovato questa dicitura:
Un sottoinsieme di $R^n$ è un insieme di misura nulla se per ogni $del >0$ può essere coperto con un insieme numerabile di prodotti di $n$ intervalli il cui volume totale è al massimo $del$. Tutti gli insiemi numerabili sono insiemi di misura nulla, così pure gli insiemi in $R^n$ la cui dimensione è più piccola di n, ad esempio rette o circonferenze in $R^2$
Adesso... perchè rette e circonferenze hanno misura nulla in $R^2$? mi torna il fatto che la retta abbia integrale di Lebesgue nullo in $R^2$, perchè se integro due volte, nella seconda integrazione integro solo un punto e quindi ha integrale pari a zero... ma perchè ha pure misura nulla?
Pensavo di risolvere il dilemma trovando un ricoprimento di parallelepipedi di misura nulla, ma non riesco a formalizzare... per ora ho trovato che una retta parallela all'asse $y$, ad esempio la retta ${1}xRR$, ha misura nulla perchè posso prendere un parallelepipedo che ha misura nulla (la misura di un parallelepipedo è il prodotto delle lunghezze dei lati, e quindi avendo la relazione $0 * oo = 0$ ha misura nulla) che la ricopre... ma per una retta obliqua come formalizzo?
Non è facile se non conosci la teoria della misura.
Questa mi sembra la maniera più semplice di dimostrarlo.
Se $A_n $ é una successione crescente allora $lim l(A_n) =l(lim A_n)$;
se $B_n$ è decrescente e $l(B_n)< + infty$ allora $lim l(B_n) = l(lim B_n)$.
Questi due teoremi li trovi facilmente anche su internet.
A questo punto se D è la retta considera $D_n$ come i segmenti che uniscono i punti (-n,-n) e (n,n). Questi sono crescenti e convergono alla retta; dunque per il primo teorema la loro misuraconverge a quella di D.
Ora bisonga dimostrare che i segmenti hanno misura nulla. Considera dei rettangoli aventi due lati paralleli al segmento e che "chiudono" il segmento. Per il secondo teorema concludi che tutti i D_n hanno misura nulla.
Questa mi sembra la maniera più semplice di dimostrarlo.
Se $A_n $ é una successione crescente allora $lim l(A_n) =l(lim A_n)$;
se $B_n$ è decrescente e $l(B_n)< + infty$ allora $lim l(B_n) = l(lim B_n)$.
Questi due teoremi li trovi facilmente anche su internet.
A questo punto se D è la retta considera $D_n$ come i segmenti che uniscono i punti (-n,-n) e (n,n). Questi sono crescenti e convergono alla retta; dunque per il primo teorema la loro misuraconverge a quella di D.
Ora bisonga dimostrare che i segmenti hanno misura nulla. Considera dei rettangoli aventi due lati paralleli al segmento e che "chiudono" il segmento. Per il secondo teorema concludi che tutti i D_n hanno misura nulla.