[Vettori aleatori] E' lo stesso teorema?
Mi trovo davanti a due versioni un po' diverse dello stesso teorema, o a due teoremi diversi 
Teorema 1. Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio dotato di densità $f$. Sono equivalenti:
a) le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti;
b) tra le densità vale la relazione $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ (quasi ovunque).
Teorema 2. Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio. Sono equivalenti:
a') le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti e hanno densità $f_X$ e $f_Y$;
b') $(X,Y)$ ha densità $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ (quasi ovunque).
Quello che è scritto prima di "Sono equivalenti" è una ipotesi "globale" che vale sia per la prima che per la seconda condizione, giusto?
A me sembra che il Teorema 1 sia leggermente più "forte" del Teorema 2 perché nel primo la condizione a) contiene l'ipotesi (globale) che esista la densità congiunta, mentre l'ipotesi a') contiene l'ipotesi (più debole) che esistano le densità marginali.
Teorema 1. Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio dotato di densità $f$. Sono equivalenti:
a) le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti;
b) tra le densità vale la relazione $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ (quasi ovunque).
Teorema 2. Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio. Sono equivalenti:
a') le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti e hanno densità $f_X$ e $f_Y$;
b') $(X,Y)$ ha densità $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ (quasi ovunque).
Quello che è scritto prima di "Sono equivalenti" è una ipotesi "globale" che vale sia per la prima che per la seconda condizione, giusto?
A me sembra che il Teorema 1 sia leggermente più "forte" del Teorema 2 perché nel primo la condizione a) contiene l'ipotesi (globale) che esista la densità congiunta, mentre l'ipotesi a') contiene l'ipotesi (più debole) che esistano le densità marginali.
Risposte
sono equivalenti.
Prova a riscriverli così:
Teorema 1: Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio. Lasse
(a) $X$ e $Y$ sono indipendenti e $(X,Y)$ ammette densità $f$.
(b) Si ha che $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ qo.
Teorema 1: Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio. Lasse
(a)' $X$ e $Y$ sono indipendenti con densità $f_X$ e $f_Y$.
(b)' la densità di $(X,Y)$ è data da $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ qo.
Nota che (b) e (b)' sono la stessa affermazione e quindi (a) se e solo se (a)'.
Ti convince o ho detto una cavolata?
In generale è vero che se supponi che esista la densità congiunta è un'ipotesi più forte del richiedere che esistano le densità marginali, ma in questo caso conoscere la congiunta o le marginali è la stessa cosa.
Prova a riscriverli così:
Teorema 1: Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio. Lasse
(a) $X$ e $Y$ sono indipendenti e $(X,Y)$ ammette densità $f$.
(b) Si ha che $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ qo.
Teorema 1: Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio. Lasse
(a)' $X$ e $Y$ sono indipendenti con densità $f_X$ e $f_Y$.
(b)' la densità di $(X,Y)$ è data da $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ qo.
Nota che (b) e (b)' sono la stessa affermazione e quindi (a) se e solo se (a)'.
Ti convince o ho detto una cavolata?
In generale è vero che se supponi che esista la densità congiunta è un'ipotesi più forte del richiedere che esistano le densità marginali, ma in questo caso conoscere la congiunta o le marginali è la stessa cosa.
"fu^2":
Ti convince o ho detto una cavolata?
Se l'hai detta, io non me ne sono accorto
In generale è vero che se supponi che esista la densità congiunta è un'ipotesi più forte del richiedere che esistano le densità marginali, ma in questo caso conoscere la congiunta o le marginali è la stessa cosa.
Infatti. Del resto, a dispetto dell'apparenza, anche le "mie" ipotesi a) (con l'aggiunta che il vettore sia dotato di densità), cioè la tua (a), e a') sono equivalenti, no?
esatto. Ho semplicemente riscritto il tuo teorema spostando il fatto che $(X,Y)$ ha densità $f$ nell'affermazione (a), per mettere in evidenza la cosa.
OK, grazie!
Evito di aprire un nuovo argomento perché parlo di una conseguenza del suddetto teorema...
Ho ricostruito da appunti ed esercizi vari questa osservazione:
Se $f$ è la densità del vettore aleatorio $(X,Y)$ e $f_X$, $f_Y$ sono le densità delle variabili aleatorie indipendenti $X$ e $Y$, allora risulta
$f>0\quad\Leftrightarrow\quad f_X>0$ e $f_Y>0$
e quindi $\{f>0\}$ (il supporto di $f$) deve essere un rettangolo o unione di rettangoli (con lati paralleli agli assi cartesiani).
Questa è anche una condizione necessaria di indipendenza: se per esempio il supporto di $f$ è un cerchio, allora $X$ e $Y$ non sono indipendenti.
E' scritta bene?
Le condizioni di positività delle densità sono sempre da intendere quasi certamente, giusto?
Ho ricostruito da appunti ed esercizi vari questa osservazione:
Se $f$ è la densità del vettore aleatorio $(X,Y)$ e $f_X$, $f_Y$ sono le densità delle variabili aleatorie indipendenti $X$ e $Y$, allora risulta
$f>0\quad\Leftrightarrow\quad f_X>0$ e $f_Y>0$
e quindi $\{f>0\}$ (il supporto di $f$) deve essere un rettangolo o unione di rettangoli (con lati paralleli agli assi cartesiani).
Questa è anche una condizione necessaria di indipendenza: se per esempio il supporto di $f$ è un cerchio, allora $X$ e $Y$ non sono indipendenti.
E' scritta bene?
Le condizioni di positività delle densità sono sempre da intendere quasi certamente, giusto?
"retrocomputer":
Evito di aprire un nuovo argomento perché parlo di una conseguenza del suddetto teorema...
Ho ricostruito da appunti ed esercizi vari questa osservazione:
Questa è anche una condizione necessaria di indipendenza: se per esempio il supporto di $f$ è un cerchio, allora $X$ e $Y$ non sono indipendenti.
E' scritta bene?
Le condizioni di positività delle densità sono sempre da intendere quasi certamente, giusto?
esatto, in quanto se $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ allora $f_X:[a,b]\to \mathbb{R}$ e $f_Y:[c,d]\to \mathbb{R}$. Dunque $f:[a,b]\times[c,d]\to\mathbb{R}$.
Moralmente devi essere in grado quindi di dividere a strisce ildominio di $f$, per aver speranza di dividerle integrando
spero di aver reso l'idea.
Sì, è chiaro. E forse ho trovato un modo più simpatico di dire "unione di rettangoli (con lati paralleli agli assi cartesiani)", e cioè "prodotto cartesiano di due insiemi (misurabili)". Che ne dici?
Scusate se riprendo questo mio vecchio messaggio, ma oggi riguardavo come avevo dimostrato il seguente teorema e una parte non mi torna per niente:
La parte della dimostrazione che non mi torna è b' $\Rightarrow$ a':
il mio dubbio è sulla dimostrazione che $f_X$ e $f_Y$ sono effettivamente le densità di $X$ e $Y$.
Uno mi potrebbe dire che lo sono per ipotesi, ma vedo che nelle applicazioni spesso si usa questo teorema scrivendo $f(x,y)$ nella forma $g(x)\cdot h(y)$ e concludendo, appunto per il teorema, che $g$ e $h$ sono le densità di $X$ e $Y$.
Non so se mi sono spiegato decentemente...
"retrocomputer":
Teorema 2. Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio. Sono equivalenti:
a') le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti e hanno densità $f_X$ e $f_Y$;
b') $(X,Y)$ ha densità $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ (quasi ovunque).
La parte della dimostrazione che non mi torna è b' $\Rightarrow$ a':
il mio dubbio è sulla dimostrazione che $f_X$ e $f_Y$ sono effettivamente le densità di $X$ e $Y$.
Uno mi potrebbe dire che lo sono per ipotesi, ma vedo che nelle applicazioni spesso si usa questo teorema scrivendo $f(x,y)$ nella forma $g(x)\cdot h(y)$ e concludendo, appunto per il teorema, che $g$ e $h$ sono le densità di $X$ e $Y$.
Non so se mi sono spiegato decentemente...
Mi rispondo da solo.
Su un libro ho trovato una scrittura simile, che però questa sì riesco a dimostrarla:
Teorema 3. Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio e siano $g,h$ due densità su $RR$. Sono equivalenti:
a'') le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti e hanno densità rispettivamente $g$ e $h$;
b'') $(X,Y)$ ha densità $f(x,y)=g(x)h(y)$ (quasi ovunque).
La parte della dimostrazione che non mi tornava, cioè b $\Rightarrow$ a, ora mi torna.
Nella dimostrazione che $g$ è la densità di $X$ posso ora procedere così:
$f_X(x)=\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dy=\int_{-oo}^{+oo}g(x)h(y)dy=g(x)\int_{-oo}^{+oo}h(y)dy=g(x)$.
Avete capito dove avevo il problema? Nella versione 2 del teorema non potevo fare l'ultimo passaggio perché mi mancava l'ipotesi che $h$ fosse una densità (non necessariamente di $Y$).
Se si riesca a dimostrare anche la versione 2 non lo so, ma questa versione 3 mi basta per gli esercizi
Su un libro ho trovato una scrittura simile, che però questa sì riesco a dimostrarla:
Teorema 3. Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio e siano $g,h$ due densità su $RR$. Sono equivalenti:
a'') le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti e hanno densità rispettivamente $g$ e $h$;
b'') $(X,Y)$ ha densità $f(x,y)=g(x)h(y)$ (quasi ovunque).
La parte della dimostrazione che non mi tornava, cioè b $\Rightarrow$ a, ora mi torna.
Nella dimostrazione che $g$ è la densità di $X$ posso ora procedere così:
$f_X(x)=\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dy=\int_{-oo}^{+oo}g(x)h(y)dy=g(x)\int_{-oo}^{+oo}h(y)dy=g(x)$.
Avete capito dove avevo il problema? Nella versione 2 del teorema non potevo fare l'ultimo passaggio perché mi mancava l'ipotesi che $h$ fosse una densità (non necessariamente di $Y$).
Se si riesca a dimostrare anche la versione 2 non lo so, ma questa versione 3 mi basta per gli esercizi
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