Vettore aleatorio (X,Y) con distribuzione uniforme

[simonhackford]

Buongiorno, sto facendo questo esercizio: un vettore aleatorio $(X,Y)$ ha distribuzione uniforme sulla parte di piano contenuta nel triangolo di vertici $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$. Calcolare le densità condizionate: $f_(X|Y) (x,y) $ e $ f_(Y|X) (x,y) $ e la probabilità dell'evento condizionato $E|H$ con $ H = ( Y >= 1/2 ) $ e $ E = (X < 1/2) $.

Riporto il grafico del triangolo



Ho iniziato calcolando la funzione di densità congiunta $f(x,y)$. Poiché la distribuzione è uniforme ho calcolato l'area del triangolo rettangolo $A_T = (cat1 * cat2)/2 $ quindi $f(x,y) = 1/2$

Poi ho calcolato le densità marginali $f_X (x)$ e $f_Y (y)$.

1) Nel calcolo di $f_X(x)$ ho fissato un valore di $x$ nell'intervallo $[0,1]$ e ho fatto variare la $y$ nell'intervallo $[y_1,y_2]$ dove $y_1=1$ e $y_2$ è la retta passante per i punti $(0,1)$ e $(1,0)$ ovvero $y=1-x$. Quindi ho calcolato il seguente integrale:
$f_X(x) = \int_{1}^{1-x} f(x,y)dy$

$f_X(x) = \int_{1}^{1-x} 1/2dy = 1/2\int_{1}^{1-x} dy = 1/2y|_{1}^{1-x} = ... = -1/2x$

2) Nel calcolo di $f_Y(y)$ ho fissato un valore di $y$ nell'intervallo $[0,1]$ e ho fatto variare la $x$ nell'intervallo $[x_1,x_2]$ dove $x_1=1$ e $x_2$ è la retta passante per i punti $(0,1)$ e $(1,0)$ ovvero $x=1-y$. Quindi ho calcolato il seguente integrale:
$f_Y(y) = \int_{1}^{1-y} f(x,y)dx$

$f_Y(y) = \int_{1}^{1-y} 1/2dx = 1/2\int_{1}^{1-y} dx = 1/2x|_{1}^{1-y} = ... = -1/2y$

Poi ho calcolato le probabilità condizionate $f_(X|Y) (x,y) $ e $ f_(Y|X) (x,y) $ :

3) $f_(X|Y) (x,y) = f(x,y)/f_Y(y) = (1/2) / (-1/2y) = -y$

4) $f_(Y|X) (x,y) = f(x,y)/f_X(x) = (1/2) / (-1/2x) = -x$

Adesso ho dei problemi nel calcolo della probabilità condizionata: posto $P=(E|H)$ con gli eventi $E = {X < 1/2}$ ed $H = {Y >= 1/2}$.

Applicando la relazione della probabilità condizionata $P(E|H)=(P(E^^H))/(P(H))$ e cioè

$P({X<1/2} | {Y>=1/2}) = (P({X<1/2}^^{Y>=1/2}))/(P({Y>=1/2}))$

non riesco a capire come trovare le probabilità $P({X<1/2}^^{Y>=1/2})$ e $P({Y>=1/2})$.

Per $P({Y>=1/2})$ ho calcolato il seguente integrale doppio:

$P({Y>=1/2}) = \int_{0}^{1} int_{1/2}^{1-x} 1/2 dydx$ facendo variare $y$ nell'intervallo $[1/2,1-x]$ e $x$ nell'intervallo $[0,1]$
ma torna un valore negativo, quindi credo che abbia sbagliato gli estremi di integrazione o l'integrazione.

[Lo_zio_Tom]

non ho ancora letto nulla ( o quasi ) di ciò che hai scritto...

ma di sicuro la densità congiunta non va bene.....se è definita nel triangolo di area $1/2$ la $f(x,y)=2$


....questo è poco ma sicuro....appena ho tempo gli dò un'occhiata

...e vedo anche un po' di confusione sugli estremi di integrazione..
....sulle distribuzioni condizionate hai addirittura sbagliato a fare la divisione....dai questo è davvero un errore banale

ciao

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dunque questo è il grafico del dominio



che ha ovviamente area $A=1/2$

è evidente che, se la distribuzione deve essere uniforme avrà la forma di un solido con base triangolare ed altezza costante, in modo che il volume sia 1. La tua funzione di densità congiunta è proprio l'altezza di questo solido...ovvero $2$.

analiticamente puoi calcolare tale densità così:

$int_(0)^(1)int_(1-x)^(1)Cdxdy=1 rarr C=2$

(ma non serve....)

in conclusione la tua densità bidimensionale è questa:

$f(x,y)={{: ( 2 , ;0<1-x
per il calcolo delle marginali basta integrare sul dominio rispetto all'altra variabile (tu hai invertito gli estremi) ottenendo

$f(x)=int_(1-x)^(1)2dy=2x$ ; $0
$f(y)=int_(1-y)^(1)2dx=2y$; $0
le condizionate ovviamente vengono

$f(x|y)=1/y$

$f(y|x)=1/x$

Per il calcolo della probabilità condizionata che è richiesto....non serve alcun integrale doppio (nel senso che si possono evitare)....se ci pensi bene il risultato richiesto è dato dal valore dell'area in grigio diviso il valore dell''area del trapezio in rosso, ovvero $(1/8)/(3/8)=1/3$



dimmi se hai capito

ciao

[simonhackford]

Faccio confusione tra funzione di densità e probabilità e anche ad impostare gli estremi di integrazione.... adesso sto riguardando le definizioni per chiarire i concetti, anche se il mio problema è come applicarli...

Comunque credo di aver capito che devo considerare la distribuzione di probabilità nello spazio occupato dal solido, dove la funzione $f(x,y)$ di densità congiunta è l'altezza di questo solido, con dominio i valori compresi nella figura piana...Mentre la probabilità è l'integrale doppio della funzione di densità congiunta, che deve rispettare le proprietà della probabilità, per essere una funzione di probabilità...
si poi quell'errore banale della divisione me lo potevo risparmiare.....


Grazie mille!!