Vero o falso con speranza matematica

[feddy]

Buongiorno a tutti, non so bene come risolvere questo vero o falso

Sia $m \in RR$ e sia $X$ una v.a. a valori reali che ammette speranza matematica $\mathbb{E}[X]$ finita, allora $\mathbb{E}[max(X,m)] \leq max(\mathbb{E}[X],m)$

Sol.:

Penso mi convenga determinare prima chi sia il $max$ tra $X$ e $m$ al variare di $m$.

1° caso.

$max(X,m)=X$ Questo accade se $X(w)=c >m$ $\forall w$.

Quindi $max (\mathbb{E}[X],m)= \mathbb{E}[X]$ e la disuguaglianza è verificata.

2° caso.

$max(X,m)=m$ se $X(w) Quindi $max (\mathbb{E}[X],m)= m$.
Pertanto avrei $E[m] \leq m$.



Però non saprei... non sono per niente sicuro

[Antimius]

Però ci potrebbero essere casi in cui $X$ assume valori sia sopra che sotto $m$, per degli opportuni $\omega$. Prova a vedere che succede con una Bernoulliana di parametro $1/2$ e con $m=1/2$.

[Lo_zio_Tom]

La disuguaglianza è falsa. Infatti la nostra variabile è la seguente

$Max[X;m]$

se vale l'evento $B: x<=m$ allora il valore atteso è $m$, che evidentemente è anche $m>=mu_(x|B)$

se invece vale l'evento $B: x>m$ allora la media (evidentemente $mu_(x|B)>m$)sarà quella della seguente distribuzione

$F_X(x|B)=(P(X<=x;X>m))/(P(X>m))=(F_X(x)-F_(X)(m))/(1-F_X(m))$

derivando si ottiene subito

$f_(X)(x|B)=(f_(X)(x))/(1-F_(X)(m))=1/(1-F_X(m) )f_(X)(x)$

e quindi il valore atteso sarà sicuramente $>=E(X)$ essendo $1/(1-F_X(m) )>1$


questo mi sembra ragionevole.....