Vero o Falso

[feddy]

Durante l'esame di oggi mi sono imbattuto in questo vero o falso *facoltativo), abbastanza carino che pero' mi ha fatto venire qualche dubbio...

Testo
Sia $X$ una variabile aleatoria a valori in $RR$ che ammette densita $f_X$ e sia $M>0$ una costante. La variabile aleatoria $Y=max(X,M)$ ammette densita' ?

Io l'ho risolta così:

Per vedere se ha densità cerco prima la sua funzione di ripartizione. Per $t$ positivo:
$P(max(X,M)t$ o $Mt)=0$. Nel secondo $P(M
$ F_Y(t)={ (F_x(t)) ,( 0 ):} $

Per trovare la densità derivo $F_Y(z)$. Quindi $f_Y(t)=f_X(t)$, per $M Il che mi dovrebbe bastare per dire che $Y$ ammette densita'... inoltre avrei $ int_(-\infty)^(+\infty) f_Y dy = int_(M)^(+\infty) f_X(t) dt $


Fatemi sapere che ne pensate

[Lo_zio_Tom]

Così come hai fatto però non viene una densità, ne manca un pezzo: infatti $int_(M)^(+oo)f_X (t)dt=1-F_X (M) !=1$

Viene quindi una densità mista

$f_(m a x)(t)-={{: ( F_X (M) ,;t=M ),( f_X (t) ,; t>M ),( 0 , ; a l t r o v e ) :}$

Così funziona

[feddy]

Fino alla densità mista ci sono (grazie mille), ma non capisco: questa ha integrale che vale $1$ su $RR$ ? Perché così su due piedi non mi sembra risulti $1$

[Lo_zio_Tom]

Perché il dominio della funzione Max è $[M;+oo) $

e se integri ottieni

$F_X (M)+int_(M)^(+oo )f_(X)(t)dt=F_X (M)+1-F_X (M)=1$

Questo è esattamente come hai fatto tu ma hai dimenticato che in $t=M $ la funzione concentra una massa di probabilità positiva pari a $P (X <=M) $

Se ancora non ne fossi convinto te lo mostro graficamente:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Come si vede dal grafico il dominio della funzione $Y=max(X,M)$ (basta guardare l'immagine di X) è $S_Y=[M;+oo)$

Per calcolare la distribuzione di Y osserviamo che

$F_Y(y)=0$ se $y
$F_Y(y)=int_(-oo)^(M)f_X(x)dx=F_X(M)$ se $y=M$

$F_Y(y)=F_X(M)+F_X(y)-F_X(M)=F_X(y)$ se $y>M$

per calcolare la densità dobbiamo osservare che in $y=M$ la funzione è discreta e quindi non si deve fare la derivata ma

$f_Y(y)=F_X(M)-F_X(M^-)=F_X(M)$

quindi in definitiva ottieni

$f_Y(y)-={{: ( F_X(M) , ;y=M ),( f_X(y) , ;y>M ),( 0 , ; al t r o v e) :}$

cvd

[feddy]

Oh ora mi è tutto chiaro, mi era sfuggito il fatto che andasse trattata come v.a discreta, per il resto ci sono .
L'esame è andato molto bene e per questo ti devo ringraziare molto

[Lo_zio_Tom]

"feddy":
L'esame è andato molto bene e per questo ti devo ringraziare molto

ed io ne sono contento, così come sono felice di esserti stato utile....anche i tuoi quesiti erano spesso decisamente interessanti.....

[feddy]

Ahaha per quello devi ringraziare il docente, non certo me