Verifica ipotesi

[ErSalamandra]

Il tempo di attesa (in minuti) ad uno sportello bancario è descritto da una variabile aleatoria
X ~ N(u ; σ^2 ) . Vengono effettuate 5 rilevazioni in 5 giorni diversi, ottenendo:
7 13 3 8 14
1. Si fornisca un intervallo di confidenza al 95% per l’attesa media allo sportello bancario.
2. Il direttore di una filiale sostiene che l’attesa agli sportelli della sua filiale è inferiore
all’attesa media degli sportelli di tutto il gruppo bancario, che è u = 10 minuti.
a. Impostare un appropriato sistema di ipotesi per sottoporre a verifica la tesi del
direttore
b. Si testino le ipotesi di cui sopra fissando a = 0.01
c. È possibile sostenere l’affermazione del direttore?
3. Si assuma ora che la varianza della popolazione sia nota e pari a 16, ovvero X ~ N(u ;16) .
Si calcolino il p-value e la potenza del test per H0: u= 10 contro H1: u = 5 avendo fissato
a = 0.1

Tempo fa avevo problemi con questo esercizio, ho ripassato un po' di teoria ed oggi mi ci sono rimessa, vorrei sapere se il suo svolgimento è corretto o presenta ancora degli errori.

SVOLGIMENTO:

La prima cosa che vediamo è che la varianza non è nota, quindi devo calcolarmi come prima cosa sia la media che la varianza.

$ bar(X) = (7+13+3+8+14)/5 = 9 $

Ora per trovare la varianza S^2 mi calcolo i valori delle xì alla seconda, per poi applicare la formula.

Le xì alla seconda sono rispettivamente: 49 - 169 - 9 - 64 - 196

$ S^2 = (x^2 - nbar(x)^2) / (n-1) $

Da cui deriva che :

$ S^2 =(487-405)/4 = 20,5 $

Ora posso calcolarmi l'intervallo di confidenza al 95% che corrisponde ad una $ a/2= 0,025 $ con 4 gdl (n-1, 5-1 = 4) a cui corrisponde una t = 2,78.
$ Cu0,95[9+- 2,776- (4,52)/(2,24)] $

Risultato:

$ [3,39 ; 14,61] $

Ora per il punto 2 a mi chiede impostare il sistema:

$ { ( H0:u=10),( H1:u<10 ):} $

b mi chiede di verificare le ipotesi del direttore ad un livello a = 0,01

$ ta4;0,01 = 3,75 $ la regione di rifiuto sarà quindi $ t < -ta $

Mi calcolo t :

$ t= 9-10 . (2,24)/(4,52) = -0,49 $

Essendo $ -0,49 > -3,75 $ Non è possibile sostenere l'affermazione del diretto perchè H0 non può essere rifiutata

[ErSalamandra]

Per quanto riguarda il punto 3:

Il p value della t standard non ho capito come si calcola, dovrei cercare 0,49 in tabella con gdl 4?

Per quanto riguarda la potenza del test ho risolto in questo modo:

$ beta = Pr (a c c e t t a re H0 | H1) $

Quindi:
ora la varianza è nota quindi uso la normale standardizzata
Con un a=0,1 Z= 1,281
$ bar(X) = u - ta . sigma / sqrtn = 10 - 1,281 . (2,24)/(4) = 9,28 $

Da qui mi calcolo beta:

$ Pr ( bar(x) > 9,28| u=10) $

E poi svolgo i calcoli... vorrei sapere se il procedimento è giusto

[ErSalamandra]

up

[ErSalamandra]

Penso di aver capito allora. Confrontare la potenza del test significa che trovo il valore di X critico con la prima U= 10 e che invece per la probabilità utilizzo H1 quindi u=5?

[ErSalamandra]

$ P (Z < (9-10) . (2,24)/4) $

Da qui ne deriva che $ P (Z < -0,56) $ quindi il p-value = 0,288

Verifico la potenza:

$ beta = Pr(a c c e t t a r e H0|H1) $

Za a 0,1 = 1,281

Quindi mi calcolo la X critica

$ bar(X) = -1,281 . 4/(2,24) + 10 = 7,71 $

Allora:

$ beta = Pr (bar(X) > 7,71 | u=5) $

$ Pr (Z > (7,71 - 5) . (2,24)/4) = Pr (Z> 1,51) = 0,0655 $