Varianza,media,pdf

[marcoderamo93]

Eh già siamo ancora qua
Ho un'altro esercizio :
Sia $X ~exp(3)$ e sia $Y=e^X$
(a) Calcolare $E(Y )$,$ Var(Y )$.
(b) Calcolare la funzione di densità di $Y$ , evidenziando per quali valori
la funzione di densità è non nulla.
(Facolatativo: Se ho $Z~Gamma(alpha,lambda)$ calcolare media e varianza di $Z^2$)

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Per il punto a) ho fatto una piccola osservazione infatti

$M(t)=E(e^Xt)=lambda/ (lambda-t)$ per una distribuzione esponenziale,quindi facilmente posso intuire che $E(e^X)=3/2$

$E(g^2(X))=\int_0^infty (e^x)^2 f(x)dx=\int_0^infty (e^x)^2 3*e^-(3x)dx=3$

$VAR(Y)=3-(3/2)^2=9/4$




b)
dalla definizione
$P(Y<=y)=P(e^X
per il punto facoltativo
$E(Z^2)=(alpha(alpha+1))/(lambda^2)=mu$
$VAR(Z^2)=E(Z^4-E^2(Z^2))$ dove $E(Z^4)=(alpha(alpha+1)(alpha+2)(alpha+3))/(lambda^4)$ mentre $E^2(Z^2)=mu^2$

questo è quello che sono riuscito a cacciarci Sarà corretto? Grazie a tutti

[shadow881]

Ciao. Io l avrei risolto come te. Ma chiaramente aspetta l'intervento di qualcuno del mestiere

[marcoderamo93]

Grazie...vediamo se qualcuno ci/mi risponde

[Bokonon]

I conti sono esatti ma l'esposizione formale è terrible

"Sasuke93":$f(y)=1/y3e^-(3ln(y))$

Magari qua potevi semplificarla in $f(y)=3/y^4$

"Sasuke93":ed è non nulla per ogni y diversa da zero

Questa frase non è dotata di senso compiuto. Ti si chiede quale sia il nuovo supporto.
$ { ( f(y)=3/y^4 (1,oo)),( f(y)=0 (-oo,1] ):} $

P.S. Data $f(y)=lambda/y^(lambda+1)$, volendo, puoi dimostrare che, per $b=0,1,2...$, allora $int_1^(oo) y^bf(y) dy$ converge a $lambda/(lambda-b)$ solo se $lambda>b$
In altre parole, hanno scelto $lambda=3$ affinchè esistessero i momenti primo e secondo...e basta.

[marcoderamo93]

Grazie mille per la risposta.

Se avessi scritto $f(y)=3/y^4 1_[(1;oo)]$ andava bene lo stesso?

Anche se non capisco perchè $1$ viene considerato. La funzione non si annulla per $y=1$ o no?

[Bokonon]

"Sasuke93":
Se avessi scritto $f(y)=3/y^4 1_[(1;oo)]$ andava bene lo stesso?

Per me si...ma siamo nel regno di Tommik, quindi: $f_Y(y)=3/y^4\mathbb{I}_{(1;oo)}(y)$

"Sasuke93":
Anche se non capisco perchè $1$ viene considerato. La funzione non si annulla per $y=1$ o no?

La funzione in se è matematicamente definita ma, statisticamente parlando, descrive un processo geometrico nel continuo e risponde a domande del tipo "quanto tempo in media deve passare affinchè accada questo o quello?"
Che senso ha parlare, allora, di tempo zero?

Poi matematicamente (e anche statisticamente) non cambia nulla dato che un punto non ha area.

P.S. In realtà nella mia risposta mi riferisco alla esponenziale, ma questa distribuzione potrebbe avere un senso...mah, non lo so, sono andato per automatismo ma ci sarebbe da riflettere un poco di più e non ci ho voglia

[marcoderamo93]

Va benissimo cosi. Ti ringrazio moltissimo mi sei stato di aiuto

Ps: approposito di Tommik. E' da un pò che non si sente,spero che sia tutto apposto