Varianza della media, risoluzione analitica
Ciao a tutti,
è la prima volta che scrivo nel forum e mi chiedevo se qualcuno mi potesse aiutare, scusate se se all'interno delle formule qualcosa non è scritto correttamente ma ho avuto qualche problema con le frazioni.
Durante la risoluzione dell'equazione di informazione di Fisher mi trovo al punto in cui dovrei risolvere il seguente passaggio:
E $\mu$" - $\mu$)$^2$ (varianza della media)
dove x è la variabile normalmente distribuita $mu$ e $sigma$$^2$
$\mu$" rappresenta lo stimatore della media e $\mu$ rappresenta la media della popolazione.
sapendo che $mu$" = $1/T$$\sum_{x=1}^T x $
posso riscrivere l'espressione nel modo seguente
E($1/T$$\sum_{x=1}^T x $ - $mu$ )$^2$
Sviluppando il quadrato ottengo
E $1/t$$\sum_{x=1}^T x^2$ + $mu$$^2$ - 2*$mu$$1/T$$\sum_{x=1}^T x$ )
Applicando l'operatore valore atteso, ottengo:
E($1/t$$\sum_{x=1}^T x$)$^2$ + E$mu$$^2$ - 2*$mu$E$1/T$$\sum_{x=1}^T x$
($1/T$)$^2$($\sum_{x=1}^T E( x$)$^2$) + E$mu$$^2$ - 2*$mu$E$1/T$$\sum_{x=1}^T x$
sapendo che E($x^2$) = $sigma$$^2$ + $mu$$^2$
ora sostituisco nell'espressione E($x^2$) = $sigma$$^2$ + $mu$$^2$ e conisderando che
($\sum_{x=1}^T ( x$) = T
e
E$1/T$$\sum_{x=1}^T x$ = $1/T$E $\sum_{x=1}^T x$ =$1/T$T$mu$
posso scrivere
($1/T$)$^2$(T($mu$$^2$+$sigma$$^2$))+$mu$$^2$- 2$mu$$^2$
semplificando T ottengo e sottraendo i $mu$ ottengo
$(mu^2+sigma^2)/T-mu^2$
che diventa
$(sigma^2)/T - ((T-1)mu^2)/T$
So però che la varianza della media dovrebbe restituire come risultato $sigma^2/T$, in quali passaggi commetto un errore?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ciao
è la prima volta che scrivo nel forum e mi chiedevo se qualcuno mi potesse aiutare, scusate se se all'interno delle formule qualcosa non è scritto correttamente ma ho avuto qualche problema con le frazioni.
Durante la risoluzione dell'equazione di informazione di Fisher mi trovo al punto in cui dovrei risolvere il seguente passaggio:
E $\mu$" - $\mu$)$^2$ (varianza della media)
dove x è la variabile normalmente distribuita $mu$ e $sigma$$^2$
$\mu$" rappresenta lo stimatore della media e $\mu$ rappresenta la media della popolazione.
sapendo che $mu$" = $1/T$$\sum_{x=1}^T x $
posso riscrivere l'espressione nel modo seguente
E($1/T$$\sum_{x=1}^T x $ - $mu$ )$^2$
Sviluppando il quadrato ottengo
E $1/t$$\sum_{x=1}^T x^2$ + $mu$$^2$ - 2*$mu$$1/T$$\sum_{x=1}^T x$ )
Applicando l'operatore valore atteso, ottengo:
E($1/t$$\sum_{x=1}^T x$)$^2$ + E$mu$$^2$ - 2*$mu$E$1/T$$\sum_{x=1}^T x$
($1/T$)$^2$($\sum_{x=1}^T E( x$)$^2$) + E$mu$$^2$ - 2*$mu$E$1/T$$\sum_{x=1}^T x$
sapendo che E($x^2$) = $sigma$$^2$ + $mu$$^2$
ora sostituisco nell'espressione E($x^2$) = $sigma$$^2$ + $mu$$^2$ e conisderando che
($\sum_{x=1}^T ( x$) = T
e
E$1/T$$\sum_{x=1}^T x$ = $1/T$E $\sum_{x=1}^T x$ =$1/T$T$mu$
posso scrivere
($1/T$)$^2$(T($mu$$^2$+$sigma$$^2$))+$mu$$^2$- 2$mu$$^2$
semplificando T ottengo e sottraendo i $mu$ ottengo
$(mu^2+sigma^2)/T-mu^2$
che diventa
$(sigma^2)/T - ((T-1)mu^2)/T$
So però che la varianza della media dovrebbe restituire come risultato $sigma^2/T$, in quali passaggi commetto un errore?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ciao
Risposte
gli errori secondo me stanno nel fatto che il quadrato non lo identifichi bene con le parentesi (non gli dai lo scope corretto).
per me l'errore è che $(\frac{1}{T}\sum x)^2 \ne (\frac{1}{T})^2 \sum x^2$.
Per esempio se la sommatoria avesse solo 2 numeri avresti che $(\frac{1}{T}(x_1+x_2))^2 \ne (\frac{1}{T})^2 (x_1^2+x_2^2)$
Per esempio se la sommatoria avesse solo 2 numeri avresti che $(\frac{1}{T}(x_1+x_2))^2 \ne (\frac{1}{T})^2 (x_1^2+x_2^2)$
Ok allora
($1/T$$\sum_{x=1}^T x$)$^2$ posso esprimerlo come
($1/T$)$^2$($\sum_{x=1}^T x$)$^2$ e l'operatore valore atteso lo applico solo a E[($\sum_{x=1}^T x$)$^2$] però a questo punto non so più come procedere, non so in qual altro modo posso esprimerlo..
($1/T$$\sum_{x=1}^T x$)$^2$ posso esprimerlo come
($1/T$)$^2$($\sum_{x=1}^T x$)$^2$ e l'operatore valore atteso lo applico solo a E[($\sum_{x=1}^T x$)$^2$] però a questo punto non so più come procedere, non so in qual altro modo posso esprimerlo..
"Henry919":
($1/T$)$^2$($\sum_{x=1}^T x$)$^2$ e l'operatore valore atteso lo applico solo a E[($\sum_{x=1}^T x$)$^2$] però a questo punto non so più come procedere, non so in qual altro modo posso esprimerlo..
Premesso che la notazione non mi è chiarissima e che quindi potrei dire delle grandi fesserie, immagino che queste $x$ siano in realtà $T$ variabili aleatorie gaussiane (e magari anche indipendenti) che io chiamerei $X_i$. OK?
In questo caso, penso che la somma delle $X_i$ sia ancora una gaussiana e il quadrato della somma, una volta normalizzato, dovrebbe essere di legge chi-quadro... Non so se possa servire...
io dentro la parentesi aggiungerei e sottrarrei $\mu$ sviluppando i quadrati avresti la varianza, un $\mu^2$ e un terzo fattore, vedi se ti è utile.
"retrocomputer":[/quote].
[quote="Henry919"]
In questo caso, penso che la somma delle $X_i$ sia ancora una gaussiana e il quadrato della somma, una volta normalizzato, dovrebbe essere di legge chi-quadro... Non so se possa servire...
Sarebbe un chi quadrato se le variabili fossero a media zero e varianza unitaria, ma in questo caso non lo sono.
Non sono neanche chi quadro non centrati perchè in questo caso la media può avere qualsiasi valore, ma ancora una volta la varianza è unitaria
"niandra82":
Sarebbe un chi quadrato se le variabili fossero a media zero e varianza unitaria, ma in questo caso non lo sono.
Non sono neanche chi quadro non centrati perchè in questo caso la media può avere qualsiasi valore, ma ancora una volta la varianza è unitaria
Sì, dicevo infatti dopo avere normalizzato: la somma $X$ ha legge $N(T\mu,T\sigma^2)$ e si può scrivere come $X=\sqrt{T\sigma^2}Y+T\mu$, con $Y\sim N(0,1)$. Se ne fa il quadrato e dovrebbe venire una combinazione con una variabile chi-quadro e una normale standard di cui forse non è difficile calcolare la speranza...
Scusatemi non ho capito bene i passaggi per lo sviluppo di ($\sum_{x=1}^T x$)$^2$ riuscireste a riportarli...
effettivamente rileggendo quello che ho scritto è una grande cavolata, non si può fare 
Confermo quanto riportato da retrocompuer "Premesso che la notazione non mi è chiarissima e che quindi potrei dire delle grandi fesserie, immagino che queste xsiano in realtà T variabili aleatorie gaussiane (e magari anche indipendenti) che io chiamerei Xi. OK? "
Mi sono dimenticato di riportare il primo sviluppo di $\sum_{x=1}^T x$)$^2$ risolvendo il quadrato si ottiene la sommatoria dei quadrati della variabili Xt e i prodotti tra le variabili (confermo che si tratti di variabili indipendenti) che sono pari a zero. In formule
($\sum_{x=1}^T $$x_t$$$$^2$) + $\sum_{x=1}^T $$x_t$$$ * $\sum_{x=1}^S $$x_s$$$
a destra del più diventa zero e rimane solo:
($\sum_{x=1}^T $$x_t$$$$^2$)
è lo sviluppo di questi passaggio che mi crea dei problemi o perlomeno credo che di aver commesso l'errore qui..
Mi sono dimenticato di riportare il primo sviluppo di $\sum_{x=1}^T x$)$^2$ risolvendo il quadrato si ottiene la sommatoria dei quadrati della variabili Xt e i prodotti tra le variabili (confermo che si tratti di variabili indipendenti) che sono pari a zero. In formule
($\sum_{x=1}^T $$x_t$$$$^2$) + $\sum_{x=1}^T $$x_t$$$ * $\sum_{x=1}^S $$x_s$$$
a destra del più diventa zero e rimane solo:
($\sum_{x=1}^T $$x_t$$$$^2$)
è lo sviluppo di questi passaggio che mi crea dei problemi o perlomeno credo che di aver commesso l'errore qui..
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