Variabili aleatorie esponenziali
Ciao a tutti,
starei cercando di risolvere il seguente problema:
Un sistema e' formato dai componenti 1 e 2 in parallelo tra loro e da un componente 3 messo in serie ai
primi due. I tempi di vita Ti dei tre componenti sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione
esponenziale di media 2 giorni per i = 1; 2 e di media 3 giorni per i = 3. Calcolare:
(1) la funzione di sopravvivenza P(T > t) del tempo di vita T del sistema;
(2) il tempo medio di vita del sistema;
(3) la probabilita' che il primo componente non funzioni in t = 6 giorni sapendo che il sistema in
t = 6 funziona.
Mi sono bloccata già al primo punto. Avrei detto che la probabilità che il sistema funzioni è data dalla probabilità che funzioni il terzo componente per (1 - probabilità che nessuno tra 1 e 2 funzioni) e quindi direi:
\(\displaystyle P(T>t) = P(T_3 > t) * (1 - [ P(T_1
E' giusto? Anche se lo fosse, e dubito, poi non so come andare avanti, il risultato riportato è in allegato.
Spero che ora la formula sia accettabile e anche se si tratta di una banalità per favore tenete conto per me non lo è, visto che sto chiedendo aiuto, perchè non mi è stato spiegato.
starei cercando di risolvere il seguente problema:
Un sistema e' formato dai componenti 1 e 2 in parallelo tra loro e da un componente 3 messo in serie ai
primi due. I tempi di vita Ti dei tre componenti sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione
esponenziale di media 2 giorni per i = 1; 2 e di media 3 giorni per i = 3. Calcolare:
(1) la funzione di sopravvivenza P(T > t) del tempo di vita T del sistema;
(2) il tempo medio di vita del sistema;
(3) la probabilita' che il primo componente non funzioni in t = 6 giorni sapendo che il sistema in
t = 6 funziona.
Mi sono bloccata già al primo punto. Avrei detto che la probabilità che il sistema funzioni è data dalla probabilità che funzioni il terzo componente per (1 - probabilità che nessuno tra 1 e 2 funzioni) e quindi direi:
\(\displaystyle P(T>t) = P(T_3 > t) * (1 - [ P(T_1
E' giusto? Anche se lo fosse, e dubito, poi non so come andare avanti, il risultato riportato è in allegato.
Spero che ora la formula sia accettabile e anche se si tratta di una banalità per favore tenete conto per me non lo è, visto che sto chiedendo aiuto, perchè non mi è stato spiegato.
Risposte
Scritte così le formule si capiscono e mi sembrano corrette.
Più precisamente, la variabile che descrive il funzionamento del sistema è la seguente
$T=min[X_3;max(X_1,X_2)]$
quindi, indicando con $S_T(t)=P(T>t)$ la funzione di sopravvivenza otteniamo subito:
$S_(T)(t)=e^(-t/3)[1-(1-e^(-t/2))^2]=...=2e^(-5/6 t)-e^(-4/3t)$
che coincide con la soluzione del tuo libro. Uno (Oppure zero per la CDF), ovviamente, se $t<0$ essendo una funzione di durata
Una volta nota la distribuzione, per calcolare la media usi la definizione ecc ecc
cordiali saluti
Più precisamente, la variabile che descrive il funzionamento del sistema è la seguente
$T=min[X_3;max(X_1,X_2)]$
quindi, indicando con $S_T(t)=P(T>t)$ la funzione di sopravvivenza otteniamo subito:
$S_(T)(t)=e^(-t/3)[1-(1-e^(-t/2))^2]=...=2e^(-5/6 t)-e^(-4/3t)$
che coincide con la soluzione del tuo libro. Uno (Oppure zero per la CDF), ovviamente, se $t<0$ essendo una funzione di durata
Una volta nota la distribuzione, per calcolare la media usi la definizione ecc ecc
cordiali saluti
Hai ragione in effetti, grazie ancora e buona giornata
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