Variabili aleatorie discrete congiunte

[irolokirt]

ho un esercizio che mi lascia alcuni dubbi



è facile trovare le probabilità : (X=0 , Y=0 )=0.2 e le marginali di y 0.2 e 0.5

per le restanti avevo pensato di procedere cosi:
avendo E[X]:

$ E[X]=0*P(X=0)+5*P(x=5)=3 $
permettendo che sia giusto otterrei che $ P(X=5)=3/5 $

e adesso?
le variabili X e Y non sono indipendenti quindi
$ P(X=5),P(y=2)=P(X=5)*P(Y=2|X=5) $

ho provato ad impostare qualche sistema in modo che tornassero le somme ma non sono riuscito a trovare alcun risultato

qualche aiuto?
grazie

[Lo_zio_Tom]

Prima di tutto, senza fare alcun ragionamento ma solo completando la tabella arrivi a questo punto

${: ( X Y , 0 , 1 , 2 , t o t ),( 0 , 0.2 , 0.2 , , ),( 5 , 0 , 0.3 , , ),( t o t , 0.2 , 0.5 , 0.3 , 1.0 ) :}$


dopoidiché (come hai già fatto),

$E(X)=0\cdotp(x=0)+5\cdotp(x=5)=3$

significa che

$p(x=5)=0,6$

e quindi termini la compilazione della tabella

${: ( X Y , 0 , 1 , 2 , t o t ),( 0 , 0.2 , 0.2 , , 0.4 ),( 5 , , 0.3 , 0.3 , 0.6 ),( t o t , 0.2 , 0.5 , 0.3 , 1.0 ) :}$

[irolokirt]

ma X e Y sono indipendenti?
cioè nel caso non lo fossero le probabilità marginali non sono uguali alle singole densità di X e Y ??

[Lo_zio_Tom]

che non siano indipendenti lo vedi subito dal fatto che ci sono caselle vuote...per essere indipendenti i valori dentro la tabella (probabilità congiunte) dovrebbero tutti essere il prodotto delle marginali

Le distribuzioni delle due marginali le leggi appunto ai margini della tabella


$X={{: ( 0 , 5 ),( 4/10 , 6/10 ) :}$

$Y={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 2/10 , 5/10 , 3/10 ) :}$

[irolokirt]

io pensavo che siccome X e Y non sono indipendenti allora una volta trovato
$ P(X=5)=0.6 $ non si potesse sostituire al P(X=5) delle marginali , ma mi sbagliavo dato che le funzioni di probabilità marginali sono sempre le stesse è la $ f(xy) $ che non si puo esprimere tramite la loro moltiplicazione infatti $ P(Y=2)*P(X=5) $ non fa 0 !

chiaro