Variabili aleatorie congiunte

[Edwavit]

Non riesco a capire quest'esercizio e come si svolge:
Densità congiunta.
\[f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-(x+y)} & \mbox{if }\ 0
a) $X$ e $Y$ sono indipendenti fra loro?
b)Calcolare la densità di probabilità di $Z=X+Y$

Inoltre vorrei capire come riconoscere quando due variabili aleatorie $X$ e $Y$ con densità di probabilità congiunta sono indipendenti fra loro generalmente, non solo in questo caso. Grazie in anticipo.

[hamming_burst]

"Edwavit":Non riesco a capire quest'esercizio e come si svolge:
Densità congiunta.
\[f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-(x+y)} & \mbox{if }\ 0
a) $X$ e $Y$ sono indipendenti fra loro?

un criterio immeditato è utilizzare la relazione $f(x,y) = f(x)*f(y)$ se i due estremi son uguali ($\forall (x,y)$) sono indipendenti.
In pratica ti trovi le marginali, moltiplichi. se sono uguali alla congiunta sono indipendenti (puoi passare anche per la cdf integrando, ma la relazione sopra è una sua implicazione).

in generale sapere se non sono indipendenti, non è così semplice; da quanto ho potuto vedere ci sono casi continui non proprio così semplici da dimostrare, ma questo metodo sopra è abb immediato.

b)Calcolare la densità di probabilità di $Z=X+Y$

trova le marginali $X$ e $Y$ da $(X,Y)$, e ti calcoli la nuova legge $g(x,y) = x + y$

[Edwavit]

Ok per il punto b). Però quando trovo le marginali, la marginale di Y ok è facile, perché x è definita tra 0 e y, ma come trovo la marginale di X? Dov'è definito y?
Comunque potrebbe essere che le v.a. X e Y sono dipendenti perché x è definita tra 0 e y, quindi dipende x dipende da y?

[hamming_burst]

"Edwavit":Ok per il punto b). Però quando trovo le marginali, la marginale di Y ok è facile, perché x è definita tra 0 e y, ma come trovo la marginale di X? Dov'è definito y?
Comunque potrebbe essere che le v.a. X e Y sono dipendenti perché x è definita tra 0 e y, quindi dipende x dipende da y?

ah scusa non avevo nemmeno guardato gli intervalli di definizione...

Direi che l'insieme di definzione è ${0x}$.

Per b) ci son anche altri modi più veloci per la somma. Ma predilogono che X e Y siano indipendenti.

[DajeForte]

L'insieme della v.a. doppia è la regione illimitata (diciamo a forma di triangolo) del primo quadrante del piano (x,y) delimitata dall'asse y e dalla bisettrice.
Da questo vedi anche che le due regioni (unidimensionali) dove varia la X e la Y sono entrambe $(0,+infty)$.
per ottenere le marginali devi intregrare la congiunta rispetto ad una variabile (x per ottenere la Y e viceversa).
In particolare per avere la densità di Y integri in x sulla regione $(0,y)$. per l'altra integri tra $(x,+infty)$.
le due variabili sono chiaramente dipendenti.
Per la somma devi utilizzare la congiunta integrandola su $x+y

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[retrocomputer]

"hamming_burst":
in generale sapere se non sono indipendenti, non è così semplice; da quanto ho potuto vedere ci sono casi continui non proprio così semplici da dimostrare, ma questo metodo sopra è abb immediato.

C'è il trucchetto di controllare il supporto della densità congiunta (dov'è diversa da zero): se non è un rettangolo (o unione di rettangoli), allora $X$ e $Y$ non possono essere indipendenti (essere un rettangolo è una condizione necessaria di indipendenza).

[Edwavit]

Grazie mille, siete stati gentilissimi nonchè soddisfacenti

[hamming_burst]

"retrocomputer":
(essere un rettangolo è una condizione necessaria di indipendenza).

interessante questo, in effetti a pensarci non è tanto una fesseria (nota ironica).
Grazie retrò