Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane

[Kroldar]

Testo dell'esercizio:
Due v.a. $X$ e $Y$ indipendenti, gaussiane, a media nulla e varianza (uguale) $sigma^2$ sono sottoposte alle seguenti trasformazioni:
$Z=X+Y$
$W=2X-Y$
Determinare la pdf congiunta di $Z$ e $W$.

Ho provato a farlo con le trasformazioni $2 to 2$ e il risultato che mi esce è:

$f_(Z,W) = 1/3 * 1/(2pisigma^2) * e^((-(5z^2 - 6zw + 2w^2))/(9*2sigma^2))$

Non sono sicuro di aver fatto bene (anzi ho seri dubbi), dunque gradirei che qualcuno mi mostrasse il procedimento intero corretto.

Rilancio e generalizzo:
Siano $X$ e $Y$ due v.a. congiuntamente gaussiane e siano noti il vettore delle medie e la matrice di covarianza.
Siano $Z$ e $W$ due combinazioni lineari di $X$ e $Y$ del tipo:
$Z=aX+bY$
$W=cX+dY$
dove $a,b,c,d in RR$.
Esibire un metodo generale per calcolare il coefficiente di correlazione $rho_(Z,W)$ e la pdf congiunta di $Z$ e $W$.

[_Tipper]

Sia $X \in \mathbb{R}^{n}$ una variabile aleatoria vettoriale gaussiana, sia $m_{X} \in \mathbb{R}^{n}$ il vettore atteso e sia $\Sigma_{X} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ la matrice di covarianza.

Sia $Y \in \mathbb{R}^{m}$ una variabile aleatoria definita come:

$Y=AX+b$ con $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ e $b \in \mathbb{R}^{m}$

$Y$ è una variabile aleatoria gaussiana, perché combinazione lineare di variabili aleatore gaussiane, inoltre:

$m_{y}=Am_{X}+b$, dove $m_{Y}$ è il valore atteso di $Y$

$\Sigma_{Y}=A\Sigma_XA^{T}$ dove $\Sigma_{Y}$ è la matrice di covarianza di $Y$.

Conoscendo valore atteso e matrice di covarianza puoi risalire alla densità di probabilità congiunta di$Y$.

[_luca.barletta]

Consideriamo il vettore $(X,Y)^T$, il vettore delle medie è $mu=(0,0)^T$ e la matrice di covarianza è $ululC=[[sigma^2 ,0],[0,sigma^2]]$. Sappiamo che $(X,Y)^T~N(mu,C)$. Ora applichiamo la trasformazione lineare:
$[[Z],[W]]=ululG[[X],[Y]]$
dove $ululG=[[1,1],[2,-1]]$

abbiamo che $[[Z],[W]]~N(ululGmu,ululGululCululG^T)$

facciamo un po' di conti:
$ululGululCululG^T=[[2sigma^2,sigma^2],[sigma^2,5sigma^2]]=ululSigma$

la ddp congiunta sarà:
$f_(Z,W)(z,w)=1/(2pi*3sigma^2)exp(-1/2[z,w]ululSigma^(-1)[[z],[w]])=1/(2pi*3sigma^2)exp(-1/(2*9sigma^2)(5z^2-2zw+2w^2))

credo di aver risposto anche alla generalizzazione

[Kroldar]

Innanzitutto grazie a Tipper e luca.barletta per l'attenzione.
Mi conforta il fatto che il risultato mio era giusto (a meno di un errore di conti all'esponente), anche se ci ero arrivato per vie diverse (trasformazioni di variabili aleatorie)...
L'unica cosa che non capisco è questa: so che la pdf congiunta di due v.a. congiuntamente gaussiane con varianza uguale è data da

$1/(2pi sigma^2 sqrt(1-rho^2)) e^(............)$ tralasciando l'esponente di $e$

Ma se il risultato è davvero giusto, verrebbe $sqrt(1-rho^2) = 3$ e tale relazione è soddisfatta solo per valori di $rho$ immaginari... cosa c'è sotto? Era questa la cosa che mi faceva maggiormente dubitare del mio risultato...
Ipotizziamo di calcolare la pdf congiunta con le trasformazioni $2 to 2$ e quindi non avere la matrice di covarianza sotto mano... come si calcola il coefficiente di correlazione in questo caso? Ad esempio in questo esercizio verrebbe $sqrt(1-rho^2) = 3 =>rho = jsqrt(8)$ ma ovviamente non può essere il valore giusto...

[_luca.barletta]

"Kroldar":
L'unica cosa che non capisco è questa: so che la pdf congiunta di due v.a. congiuntamente gaussiane con varianza uguale è data da

non va bene l'ipotesi che hai messo, infatti Z e W non hanno la stessa varianza, e il 3 che esce è conseguenza anche di questo fatto