Variabili aleatorie
1) Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie indipendenti con densità binomiale $B(2,p)$ e siano $S=X+Y$ e $T=X-Y$. $S$ e $T$ sono indipendenti? Quanto vale la loro covalenza?
Sono alle prime armi quindi non so come procedere. Fin'ora ho lavorato con le binomiali del tipo $B(1,p)$ che possono assumere solo i valori zero e uno. Ma in questo caso, non sapendo che valori possono prendere le variabili aleatorie, come faccio a procedere? Quello che posso dire è che
$E=E[X]+E[Y]=2p+2p=4p$ e analogo per $E[T]$, così come $V=V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2Cov[X,Y]=4p(1-p)+2Cov[X,Y]$ e per $V[T]=V[X-Y]=V[X]+V[-Y]+2Cov[X,-Y]=V[X]+V[Y]-2Cov[X,Y]=4p(1-p)-2Cov[X,Y]$
Per $E[ST]=E[X^2-Y^2]=E[X^2]-E[Y^2]$... e poi come procedo? Sono ad un passo dal calcolarmi $Cov(S,T)=E[ST]-E*E[T]$, ma mi manca proprio $E[ST]$. Poi posso concludere che se questa covalenza viene diversa da zero, $S$ e $T$ sono indipendenti (senza verificare densità congiunta e marginale, il ché non ho la minima idea di come si faccia?
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Al di là di questo esempio, cosa posso dire in generale, date due bernoulliane $X$ e $Y$ di parametri $n,p$ e $m,q$, di
- $X+Y$? Va come una bernoulliana di parametri $n+m, p+q$?
- $P{XY=1}$? Perchè vale $nmpq(1-p)^(n-1)(1-q)^(m-1)$
- Infine perché se $p=q$ allora $X+Y$ è una bernoulliana di parametri $n+m,p$?
Sono alle prime armi quindi non so come procedere. Fin'ora ho lavorato con le binomiali del tipo $B(1,p)$ che possono assumere solo i valori zero e uno. Ma in questo caso, non sapendo che valori possono prendere le variabili aleatorie, come faccio a procedere? Quello che posso dire è che
$E
Per $E[ST]=E[X^2-Y^2]=E[X^2]-E[Y^2]$... e poi come procedo? Sono ad un passo dal calcolarmi $Cov(S,T)=E[ST]-E
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Al di là di questo esempio, cosa posso dire in generale, date due bernoulliane $X$ e $Y$ di parametri $n,p$ e $m,q$, di
- $X+Y$? Va come una bernoulliana di parametri $n+m, p+q$?
- $P{XY=1}$? Perchè vale $nmpq(1-p)^(n-1)(1-q)^(m-1)$
- Infine perché se $p=q$ allora $X+Y$ è una bernoulliana di parametri $n+m,p$?
Risposte
Dunque intanto puoi calcolare $E [X^2]=V [X]+E^2[X] $
Indipendenza stocastica implica incorrelazione ma non viceversa, tranne nel modello gaussiano dove vale la coimplicazione.
Se però trovi una $cov !=0$ allora le variabili sono correlate e quindi non indipendenti
Con questo dovresti risolvere il problema..per le altre numerose domande risponderò con più calma, ma molte risposte le puoi trovare in miei precedenti interventi
Indipendenza stocastica implica incorrelazione ma non viceversa, tranne nel modello gaussiano dove vale la coimplicazione.
Se però trovi una $cov !=0$ allora le variabili sono correlate e quindi non indipendenti
Con questo dovresti risolvere il problema..per le altre numerose domande risponderò con più calma, ma molte risposte le puoi trovare in miei precedenti interventi
Grazie, allora la covarianza l'ho calcolata e viene zero. Quindi posso dire che le variabili sono non correlate. Ma cosa posso dire quindi circa l'indipendenza o meno?
Che le variabili S è T non siano indipendenti è ovvio dato che sono costruite a partire dalle stesse X e Y.
Basta usare la definizione e vedere se c'è almeno un caso in cui ad es
$P (S|T) !=P (S) $
..e non hai che da scegliere perché di casi così ne trovi molti
Basta usare la definizione e vedere se c'è almeno un caso in cui ad es
$P (S|T) !=P (S) $
..e non hai che da scegliere perché di casi così ne trovi molti
Ok quindi se costruisco delle variabili con delle altre che sono indipendenti, allora anch'esse sono indipendenti.
Invece per le ultime domande di teoria che ho scritto (sono tutti quesiti presi da vecchie prove in itinere della mia facoltà ... non mi sembrano affatto facili)?
Invece per le ultime domande di teoria che ho scritto (sono tutti quesiti presi da vecchie prove in itinere della mia facoltà ... non mi sembrano affatto facili)?
"Luca":
Ok quindi se costruisco delle variabili con delle altre che sono indipendenti, allora anch'esse sono indipendenti.
In generale è esattamente il contrario.
Prendiamo l'esempio in questione
Abbiamo che $P(S=1)=p_1$ e $P(T=0)=p_2$
ma abbiamo anche che $P(S=1|T=0)=0$ quindi S e T NON sono indipendenti.
spero che sia chiaro....
Prima di rispondere alle altre domande te ne faccio una io...Qualche tempo fa ti avevo detto di cancellare un messaggio doppio nella Stanza Scuola Secondaria di II grado...lo hai fatto?
Ok mi ero dimenticato, ho provato a farlo ora ma non si riesce più ... possibile?
Ritornando all'esempio, i dubbi mi si sono chiariti ma non troppo. Ma data la mia situazione non mi importa per ora capire il perché , se tu mi dici che la composizione di due v.a. indipendenti genera v.a. dipendenti lo prendo alla lettera e lo applicherò in altri esercizi. Per ora mi interessava di più conoscere la risposta alle altre tre domande.... anche perché ho un'altro esercizio identico applicato ai parametri di una gaussiana, e proprio non riesco a capire come si modificano i parametri a seguito di una qualunque trasformazione.
Ritornando all'esempio, i dubbi mi si sono chiariti ma non troppo. Ma data la mia situazione non mi importa per ora capire il perché , se tu mi dici che la composizione di due v.a. indipendenti genera v.a. dipendenti lo prendo alla lettera e lo applicherò in altri esercizi. Per ora mi interessava di più conoscere la risposta alle altre tre domande.... anche perché ho un'altro esercizio identico applicato ai parametri di una gaussiana, e proprio non riesco a capire come si modificano i parametri a seguito di una qualunque trasformazione.
Non puoi applicare ciò che ti ho detto senza fare i dovuti conti.
Nell'esempio che ti ho mostrato, se ad esempio $T=X-Y=0$ significa che $X=Y$ e quindi, se sappiamo che $T=0$, ovviamente non è possibile che $S=X+Y=1$. In altri termini il verificarsi di T modifica la probabilità del verificarsi di S e quindi le variabili sono fra loro dipendenti.
Per il resto delle domande:
3) si dimostra immediatamente utilizzando la funzione generatrice dei momenti e le sue proprietà.
2) Nel caso in esame $P (XY=1) =P (X=1;Y=1) $ e quindi data l'indipendenza ottieni $P (X=1)P (Y=1) $ da cui subito il risultato.
1) è falso. Altrimenti il 3) (che invece è corretto) verrebbe $B (n+m; 2p ) $. in generale (se non hai altre informazioni dal testo) non puoi dire nulla circa la distribuzione di $Z=X+Y$ se non che è una v.a. discreta con supporto in $z=0,1,...,n+m$ ma la sua distribuzione va calcolata analiticamente (non è difficile)
Non puoi cancellare quel messaggio perché ormai (dopo oltre 15 giorni da quando te l'ho detto) ha avuto risposte.
Se hai altri esercizi che non riesci a fare puoi tranquillamente postarli in un topic separato, non dimenticandoti di inserire anche le tue bozze risolutive....qualcuno ti aiuterà sicuramente
PS: un altro si scrive senza l'apostrofo
ciao
Nell'esempio che ti ho mostrato, se ad esempio $T=X-Y=0$ significa che $X=Y$ e quindi, se sappiamo che $T=0$, ovviamente non è possibile che $S=X+Y=1$. In altri termini il verificarsi di T modifica la probabilità del verificarsi di S e quindi le variabili sono fra loro dipendenti.
Per il resto delle domande:
3) si dimostra immediatamente utilizzando la funzione generatrice dei momenti e le sue proprietà.
2) Nel caso in esame $P (XY=1) =P (X=1;Y=1) $ e quindi data l'indipendenza ottieni $P (X=1)P (Y=1) $ da cui subito il risultato.
1) è falso. Altrimenti il 3) (che invece è corretto) verrebbe $B (n+m; 2p ) $. in generale (se non hai altre informazioni dal testo) non puoi dire nulla circa la distribuzione di $Z=X+Y$ se non che è una v.a. discreta con supporto in $z=0,1,...,n+m$ ma la sua distribuzione va calcolata analiticamente (non è difficile)
Non puoi cancellare quel messaggio perché ormai (dopo oltre 15 giorni da quando te l'ho detto) ha avuto risposte.
Se hai altri esercizi che non riesci a fare puoi tranquillamente postarli in un topic separato, non dimenticandoti di inserire anche le tue bozze risolutive....qualcuno ti aiuterà sicuramente
PS: un altro si scrive senza l'apostrofo
ciao
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