Variabile Z a partire da due variabili gaussiane
Si ha $X~N (1,1) $ e $Y~N (2,4)$.
Il coefficiente di covarianza $p (x,y)=1/2$ e $Z=X+tY $
1) Si determini la pdf di Z
2) Si formi la variabile aleatoria
V= 1 se Z>n, 0 se Z <=n
Calcolare la pdf di V in funzione di t e n.
3) Si determini la relazione tra n e t affinché la varianza di V valga $1/4$
La 1) è facile.
$E [Z]=aE [X]+bE [Y]=1+2t $
$cov (x,y)=p (x,y)sqrt (V [X])sqrt (V [Y])=1/2*1*2=1$
$V[Z]=a^2V [X]+b^2*V [Y]+2ab*cov (x,y)=1+t^2*4+2(1*t)*1=1+4t^2+2t $
$Z~N (1+2t, 1+4t^2+2t) $ e i valori di E [Z] e V [Z] vanno inseriti nella formula della pdf per le variabili gaussiane.
Ora, per i punti 2) e 3) non ho idea di cosa fare.
Il coefficiente di covarianza $p (x,y)=1/2$ e $Z=X+tY $
1) Si determini la pdf di Z
2) Si formi la variabile aleatoria
V= 1 se Z>n, 0 se Z <=n
Calcolare la pdf di V in funzione di t e n.
3) Si determini la relazione tra n e t affinché la varianza di V valga $1/4$
La 1) è facile.
$E [Z]=aE [X]+bE [Y]=1+2t $
$cov (x,y)=p (x,y)sqrt (V [X])sqrt (V [Y])=1/2*1*2=1$
$V[Z]=a^2V [X]+b^2*V [Y]+2ab*cov (x,y)=1+t^2*4+2(1*t)*1=1+4t^2+2t $
$Z~N (1+2t, 1+4t^2+2t) $ e i valori di E [Z] e V [Z] vanno inseriti nella formula della pdf per le variabili gaussiane.
Ora, per i punti 2) e 3) non ho idea di cosa fare.
Risposte
Anche gli altri punti sono facili. $V $ è una bernulliana di varianza pari a $F_Z (n)[1-F_Z (n )]=1/4$ e quindi senza molti sforzi trovi $n=1+2t $ che è la relazione richiesta
Non mi è chiaro. Fz (n) a cosa corrisponde?
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