Vari esercizi probabilità a posteriori
Salve, sono ancora inceppata sulla probabilità a posteriori 
1)tre cacciatori sparano contemporanemente ad un uccello.
il primo ha probabilità 60% di colpire = 3/5
il secondo ha probabilità 70% di colpire =7/10
il terzo ha probabilità 80% di colpire = 2/5
Nel corpo del volatile sono stati trovati 2proiettili. quale è la probabilità p che il primo cacciatore non abbia colpito l'uccello?
Soluzione= 56/113
Come ho provato a risolverlo:
E= nel corpo del volatile sono stati trovati 2 proiettili
Le ipotesi che ho fatto sono
H1= il primo cacciatore non ha colpito l'uccello
H2= il primo cacciatore ha colpito l'uccello
Uso la formula
$ P(H1|E)= (P(H1)P(E|H1)) / (P(H1)P(E|H1) + (P(H2)P(E|H2)) $
Credo che $ P(H1) = 2/5 $ e $ P(H2) = 3/5 $
$ P(E|H1) = 3/2 $ questo valore mi è uscito facendo questo ragionamento(non so se sia corretto): dato che il primo cacciatore non ha colpito l'uccello gli altri due dovrebbero colpirlo ed ho sommato la probabilità degli altri due 7/10 +4/5
$ P(E|H2) = 1 $
Ovviamente è sbagliato perchè non mi trovo, e credo che l'errore sia nelle probabilità condizionate
____________________________________________________________________________________________
2)Su 100 yogurt ce ne sono 10 non buoni. Un cliente ne compra due e li mangia entrambi. Egli accusa dolori allo stomaco causati, naturalmente, da almeno uno yogurt non buono. Qual'è la probabilità P che fossero entrambi non buoni?
Soluzione= 1/21
E=il cliente accusa dolori causati da almeno uno yougurt non buono
H1= entrambi non buoni
H2= non entrami non buoni
$ P(H1|E)= (P(H1)P(E|H1)) / (P(H1)P(E|H1) + (P(H2)P(E|H2)) $
$ P(E|H1) = 1 $
$ P(E|H2) = 1/2 $
Questa volta ho trovato difficoltà per calcolare
$ P(H1) = ? $ inizialmente credevo che semplicemente bastasse consierare che erano 2 yougurt su 10, ma in realtà in totale sono 100, ho fatto vari conti ma non mi trovo mai
$ P(H2) = ? $ stessa cosa
Grazie mille
1)tre cacciatori sparano contemporanemente ad un uccello.
il primo ha probabilità 60% di colpire = 3/5
il secondo ha probabilità 70% di colpire =7/10
il terzo ha probabilità 80% di colpire = 2/5
Nel corpo del volatile sono stati trovati 2proiettili. quale è la probabilità p che il primo cacciatore non abbia colpito l'uccello?
Soluzione= 56/113
Come ho provato a risolverlo:
E= nel corpo del volatile sono stati trovati 2 proiettili
Le ipotesi che ho fatto sono
H1= il primo cacciatore non ha colpito l'uccello
H2= il primo cacciatore ha colpito l'uccello
Uso la formula
$ P(H1|E)= (P(H1)P(E|H1)) / (P(H1)P(E|H1) + (P(H2)P(E|H2)) $
Credo che $ P(H1) = 2/5 $ e $ P(H2) = 3/5 $
$ P(E|H1) = 3/2 $ questo valore mi è uscito facendo questo ragionamento(non so se sia corretto): dato che il primo cacciatore non ha colpito l'uccello gli altri due dovrebbero colpirlo ed ho sommato la probabilità degli altri due 7/10 +4/5
$ P(E|H2) = 1 $
Ovviamente è sbagliato perchè non mi trovo, e credo che l'errore sia nelle probabilità condizionate
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2)Su 100 yogurt ce ne sono 10 non buoni. Un cliente ne compra due e li mangia entrambi. Egli accusa dolori allo stomaco causati, naturalmente, da almeno uno yogurt non buono. Qual'è la probabilità P che fossero entrambi non buoni?
Soluzione= 1/21
E=il cliente accusa dolori causati da almeno uno yougurt non buono
H1= entrambi non buoni
H2= non entrami non buoni
$ P(H1|E)= (P(H1)P(E|H1)) / (P(H1)P(E|H1) + (P(H2)P(E|H2)) $
$ P(E|H1) = 1 $
$ P(E|H2) = 1/2 $
Questa volta ho trovato difficoltà per calcolare
$ P(H1) = ? $ inizialmente credevo che semplicemente bastasse consierare che erano 2 yougurt su 10, ma in realtà in totale sono 100, ho fatto vari conti ma non mi trovo mai
$ P(H2) = ? $ stessa cosa
Grazie mille
Risposte
1° quesito.
Le probabilità che il volatile venga colpito 2 volte sono le seguenti:
da A e B ma non C $6/10*7/10*2/10=84/1000$
da A e C ma non B $6/10*3/10*8/10=144/1000$
da B e C ma non A $4/10*7/10*8/10=224/1000$
Sapendo che ciò è successo abbiamo $84+144+224=452$ casi favorevoli.
Di questi 224 sono quelli in cui A non ha colpito.
Pertanto la probabilità che A non abbia fatto centro è $224/452=56/113$
Le probabilità che il volatile venga colpito 2 volte sono le seguenti:
da A e B ma non C $6/10*7/10*2/10=84/1000$
da A e C ma non B $6/10*3/10*8/10=144/1000$
da B e C ma non A $4/10*7/10*8/10=224/1000$
Sapendo che ciò è successo abbiamo $84+144+224=452$ casi favorevoli.
Di questi 224 sono quelli in cui A non ha colpito.
Pertanto la probabilità che A non abbia fatto centro è $224/452=56/113$
2° quesito.
La probabilità che ci sia uno yogurt avariato è: $10/100*90/99*2=1.800/9.900$
La probabilità che tutti e due siano avariati è: $10/100*9/99=90/9.900$
La probabilità che tutti e due siano buoni: $90/100*89/99=8.010/9.900$
Sapendo che è stato male, ci interessano solo i primi due eventi.
Pertanto i casi favorevoli sono $1.800+90=1.890$
E la probabilità da noi cercata è $90/1.890=1/21$
La probabilità che ci sia uno yogurt avariato è: $10/100*90/99*2=1.800/9.900$
La probabilità che tutti e due siano avariati è: $10/100*9/99=90/9.900$
La probabilità che tutti e due siano buoni: $90/100*89/99=8.010/9.900$
Sapendo che è stato male, ci interessano solo i primi due eventi.
Pertanto i casi favorevoli sono $1.800+90=1.890$
E la probabilità da noi cercata è $90/1.890=1/21$
Grazie mille "superpippone" per i calcoli, sono molto chiari.
Grazie mille Sergio per tutte le spiegazioni e l'immensa pazienza avuta. Mi rendo conto che, avendo iniziato da poco a studiare questa materia, non sono ancora entrata nell'ottica degli esercizi e commetto tanti errori di ragionamento e non. Grazie ancora a tutti, mi state dando una grossa mano
Grazie mille Sergio per tutte le spiegazioni e l'immensa pazienza avuta. Mi rendo conto che, avendo iniziato da poco a studiare questa materia, non sono ancora entrata nell'ottica degli esercizi e commetto tanti errori di ragionamento e non. Grazie ancora a tutti, mi state dando una grossa mano
Perdonatemi, ma rifacendo tutti i conti nel secondo esercizio, non capisco i prodotti per calcolare le probabilità
E' stata usata qualche formula in particolare?
E' stata usata qualche formula in particolare?
"superpippone":
2° quesito.
La probabilità che ci sia uno yogurt avariato è: $10/100*90/99*2=1.800/9.900$
La probabilità che tutti e due siano avariati è: $10/100*9/99=90/9.900$
La probabilità che tutti e due siano buoni: $90/100*89/99=8.010/9.900$
Sapendo che è stato male, ci interessano solo i primi due eventi.
Pertanto i casi favorevoli sono $1.800+90=1.890$
E la probabilità da noi cercata è $90/1.890=1/21$
Tutto chiarissimo, GRAZIE
Non vorrei abusare della vostra disponiblità, ma ho altri esercizi che non riesco a risolvere...chissà se riuscirò mai a imparare a svolgerli correttamente
1) un laureando, per la battitura di una pagina della tesi, si rivolge ad un negozio in cui si trovano 3 dattilografe. Ognuna di esse può commettere un numero di errori che ha distribuzione di Poisson.
la prima commette mediamente 2 errori, la seconda 3, la terza 4.
A fine battitura, il laureando trova nel testo 5 errori. Sapendo che ognuna di esse aveva uguale probabilità di essere scelta per l'incarico, qual'è la probabilità che la tesi sia stata battuta dalla prima dattilografa?
Soluzione $ q= 2^5 /(2^5 + 3^5 e^-1 +4^5e^-2 $
Ho capito che si tratta sempre di probabilità a posteriori, che la probabiltà di ciascuna dattilografa di essere sceltà è 1/3, ma non so come usare Poisson
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2)Una persona ha lanciato 5volte una moneta, ed è nota che è uscita almeno una volta testa.
Calcolare la probabilità che sia uscita testa al primo lancio.
soluzione= 16/31
E= è uscita almeno una volta testa
H1= è uscita testa al primo lancio
H2= non è uscita testa al primo lancio, ma cmq esce (ossia il complemento di H1)
Non ho considerato il caso in cui non esca testa perchè credo che poi si annulli l'addendo di riferimento.
$ P(H1|E) = (P(E|H1)P(H1))/(P(E|H1)P(H1) + P(E|H2)P(H2) $
$ P(E|H1)= 1 $
$ P(E|H2)= 15/32 $ ho calcolato questa probabilità pensando che ho $ 2^5 $ possibili combinazioni, di cui 16 iniziano con T, le altre 16 con C, una è formata da tutte C, quindi ho fatto 32-16-1=15
$ P(H1)= 31/32 $ qui ho pensato di usare la distribuzione geometrica, in particolare la formula $ 1-(1-p)^5 $ con p=1/2
$ P(H2)= 1/32 $ essendo la H1 complementata ho pensato di fare $ 1-31/32 $ (Ma non so se si può fare in questo caso)
(ho provato anche a fare un altro ragionamento qui, ossia la proabilità che non esca testa al primo
lancio,ma che cmq esca, quindi 15/32, ma nemmeno mi trovo)
Ottengo $ (31/32)/( 31/32 + 15/32*1/32) = $ e non mi trovo
1) un laureando, per la battitura di una pagina della tesi, si rivolge ad un negozio in cui si trovano 3 dattilografe. Ognuna di esse può commettere un numero di errori che ha distribuzione di Poisson.
la prima commette mediamente 2 errori, la seconda 3, la terza 4.
A fine battitura, il laureando trova nel testo 5 errori. Sapendo che ognuna di esse aveva uguale probabilità di essere scelta per l'incarico, qual'è la probabilità che la tesi sia stata battuta dalla prima dattilografa?
Soluzione $ q= 2^5 /(2^5 + 3^5 e^-1 +4^5e^-2 $
Ho capito che si tratta sempre di probabilità a posteriori, che la probabiltà di ciascuna dattilografa di essere sceltà è 1/3, ma non so come usare Poisson
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2)Una persona ha lanciato 5volte una moneta, ed è nota che è uscita almeno una volta testa.
Calcolare la probabilità che sia uscita testa al primo lancio.
soluzione= 16/31
E= è uscita almeno una volta testa
H1= è uscita testa al primo lancio
H2= non è uscita testa al primo lancio, ma cmq esce (ossia il complemento di H1)
Non ho considerato il caso in cui non esca testa perchè credo che poi si annulli l'addendo di riferimento.
$ P(H1|E) = (P(E|H1)P(H1))/(P(E|H1)P(H1) + P(E|H2)P(H2) $
$ P(E|H1)= 1 $
$ P(E|H2)= 15/32 $ ho calcolato questa probabilità pensando che ho $ 2^5 $ possibili combinazioni, di cui 16 iniziano con T, le altre 16 con C, una è formata da tutte C, quindi ho fatto 32-16-1=15
$ P(H1)= 31/32 $ qui ho pensato di usare la distribuzione geometrica, in particolare la formula $ 1-(1-p)^5 $ con p=1/2
$ P(H2)= 1/32 $ essendo la H1 complementata ho pensato di fare $ 1-31/32 $ (Ma non so se si può fare in questo caso)
(ho provato anche a fare un altro ragionamento qui, ossia la proabilità che non esca testa al primo
lancio,ma che cmq esca, quindi 15/32, ma nemmeno mi trovo)
Ottengo $ (31/32)/( 31/32 + 15/32*1/32) = $ e non mi trovo
Per quanto riguarda il primo problema, nulla da fare.
Poisson è fuori dalla mia portata.
Per il secondo posso arrivarci con la logica.
Lanciando 5 volte una moneta ho $2^5=32$ sequenze.
Di queste 16 iniziano con T e 16 con C.
Sapendo che è uscita almeno una testa, escludo la sequenza CCCCC.
Quindi me ne restano 31, di cui 16 iniziano per T e 15 per C.
Quindi la probabilità che sia uscita testa al primo lancio è $16/31$.
Se ci sia una formula matematica per giungere alla soluzione, non lo so....
Poisson è fuori dalla mia portata.
Per il secondo posso arrivarci con la logica.
Lanciando 5 volte una moneta ho $2^5=32$ sequenze.
Di queste 16 iniziano con T e 16 con C.
Sapendo che è uscita almeno una testa, escludo la sequenza CCCCC.
Quindi me ne restano 31, di cui 16 iniziano per T e 15 per C.
Quindi la probabilità che sia uscita testa al primo lancio è $16/31$.
Se ci sia una formula matematica per giungere alla soluzione, non lo so....
Ho rifatto tutto grazie a voi. Grazie mille
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