Varabile aleatoria esponenziale

[Sk_Anonymous]

Non vorrei dire una castroneria,ma mi sembra di ricordare che la V.A. esponenziale è detta SENZA MEMORIA.
Qualcuno mi sa dire il perchè?

[_nicola de rosa]

"Ene@":Non vorrei dire una castroneria,ma mi sembra di ricordare che la V.A. esponenziale è detta SENZA MEMORIA.
Qualcuno mi sa dire il perchè?

Una variabile aleatoria $X$ memoryless se per ogni $t,s$:
$P(X>t+s|X>t)=P(X>s)$.

Per una variabile aleatoria esponenziale, con pdf $f_X(x)=lambda*e^(-lambda*x)*u(x)$, tale proprietà ha senso evidentemente se $t>0,s>0$.

Per una variabile aleatoria esponenziale si ha $P(X>s)=int_s^{+infty}f_X(x)dx=e^(-lambda*s)$ mentre $P(X>t+s|X>t)=(P(X>t+s,X>t))/(P(X>t))=(P(X>t+s))/(P(X>t))=(e^(-lambda*(t+s)))/(e^(-lambda*t))=e^(-lambda*s)=P(X>s)$ c.v.d

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Ene@"]Non vorrei dire una castroneria,ma mi sembra di ricordare che la V.A. esponenziale è detta SENZA MEMORIA.
Qualcuno mi sa dire il perchè?

Una variabile aleatoria $X$ memoryless se per ogni $t,s$:
$P(X>t+s|X>t)=P(X>s)$.

Per una variabile aleatoria esponenziale, con pdf $f_X(x)=lambda*e^(-lambda*x)*u(x)$, tale proprietà ha senso evidentemente se $t>0,s>0$.

Per una variabile aleatoria esponenziale si ha $P(X>s)=int_s^{+infty}f_X(x)dx=e^(-lambda*s)$ mentre $P(X>t+s|X>t)=(P(X>t+s,X>t))/(P(X>t))=(P(X>t+s))/(P(X>t))=(e^(-lambda*(t+s)))/(e^(-lambda*t))=e^(-lambda*s)=P(X>s)$ c.v.d[/quote]

Ok,grazie.Ma cosa significa che è senza memoria?

[pat871]

Se non sbaglio vale anche viceversa la cosa. Se vale $P[T > t+ s | T > t] = P[T>s]$ per ogni $t, s > 0$, allora $T$ è distribuita esponenzialmente.

@Enea: credo che si riferisce (ma non ne sono sicuro) al fatto che la probabilità di superare $s+t$, dato che hai superato la soglia $t$ è uguale alla probabilità di superare la soglia $s$. In questo modo $T$ si "dimentica" di aver percorso fino a $t$.
Se non ti convince, lascio la parola all'esperto