Valore atteso variabili aleatorie combinate

[mbistato]

Ciao ragazzi,
devo rispondere al seguente quesito:
Si consideri una sequenza di N variabili aleatorie $X_i$ indipendenti e distribuite esponenzialmente di parametro 2, con N variabile binomiale di parametri (n,1/4) indipendente dalle $X_i$. Quanto deve valere n affinchè $E[\sum_{i=1}^N X_i ]>=5$?

Sfruttando la linearità del valore atteso e sapendo che il valore atteso delle $X_i$ è 1/2, ho scritto:

$$E(X_1+...+ X_n)=nE(X_1)=n\frac{1}{2}=\frac{n}{2}$$

$$\frac{n}{2}>=5\ \ \Rightarrow n>=10$$

Quindi la risposta è n=10.

Ho ragionato bene?

[Lo_zio_Tom]

No. Tu hai calcolato $E (S|N=n ) $ ma a te serve $E (S) $

Quindi....

[mbistato]

Ciao tommik e grazie per la risposta.
Ora capisco anche come sfruttare il fatto che le variabili sono indipendenti:

$$E(S)=E(X_1+...+X_N)=E(N*X_1)=E(N)*E(X_1)=n*\frac{1}{4}*\frac{1}{2}=\frac{n}{8}$$

Da cui

$\frac{n}{8}>=5\ \Rightarrow\ n>=40$

[Lo_zio_Tom]

Giusto ma non capisco il procedimento

Occorreva sfruttare il fatto che

$E (S)=E [E (S|N)]=E (n mu)=muE (N) $

Comunque il risultato è ok

[mbistato]

Dal fatto che N e gli $X_i$ sono indipendenti, si ha che sono anche incorrelati, ovvero:

$$E(N*X_i)=E(N)*E(X_i)\ \forall i$$

[Lo_zio_Tom]

Sono in vacanza e senza libri ma non sono convinto che tutti i tuoi passaggi siano leciti. Io ti consiglio di fare così: per l'indipendenza fra $N $ e le $X_i $ ottieni

$E (S|N)=E (SigmaX|N=n)=E (Sigma X)=nmu $

E successivamente, per le proprietà del valore atteso condizionato:

$E (S)=E [E (S|N)]=E (Nmu)=muE (N) $

Ciao