Valore atteso prodotto di tre variabili dipendenti

[nick871]

Salve, sto cercando di sviluppare il valore atteso del prodotto di tre variabili aleatorie dipendenti, in modo da ricondurmi a dei valori in mio possesso. Tuttavia, essendo un calcolo che deriva da un mio lavoro di tesi, non so quante informazioni effettivamente mi mancano.

Io devo calcolare
\(\displaystyle E(XYZ) \)
in particolare conosco:

[*:1bbncgdk] \(\displaystyle corr(X,Y) \)[/*:m:1bbncgdk]
[*:1bbncgdk] \(\displaystyle corr(X,Z) \)[/*:m:1bbncgdk]
[*:1bbncgdk] \(\displaystyle E(X) \)[/*:m:1bbncgdk]
[*:1bbncgdk] \(\displaystyle E(Y) \)[/*:m:1bbncgdk]
[*:1bbncgdk] \(\displaystyle E(Z) \)[/*:m:1bbncgdk][/list:u:1bbncgdk]
Cercando di scomporre un attimo sono arrivato alle seguenti:


[*:1bbncgdk] \(\displaystyle E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)+E(X)cov(Y,Z)+E(Y)cov(X,Z)+E(Z)cov(X,Y)+E{[X-E(X)][Y-E(Y)][Z-E(Z)]} \)[/*:m:1bbncgdk]
[*:1bbncgdk] sapendo che \(\displaystyle cov(A,BC)=E(ABC)-E(A)E(BC) \)calcolare la \(\displaystyle cov(A,BC) \) con \(\displaystyle cov[XY,UV]=E(X)E(Y)cov[U,U]+E(x)E(v)cov(Y,U)...ecc \)[/*:m:1bbncgdk][/list:u:1bbncgdk]
ma dopo un po' di conti mi sembra di capire che ho necessariamente bisogno di conoscere un momento di terzo grado.

Avreste qualche suggerimento da darmi?
Avendo un valore per \(\displaystyle corr(Y,Z) \) potrei avvicinarmi a qualche soluzione? O devo per forza poter calcolare
\(\displaystyle E{[X-E(X)][Y-E(Y)][Z-E(Z)]} \)

Aggiungo che Y e Z sono due variabili identicamente distribuite.

Vi ringrazio anticipamente per qualsiasi aiuto.

Buon pomeriggio
Nicola

[fu^2]

valore-atteso-di-un-prodotto-t55372.html?hilit=%20markowitz

in questa discussione si è parlato di un problema analogo al tuo (leggi il mio primo intervento).




ps il titolo è incongruente... parli di cose indipendenti

[nick871]

Ciao, ora guardo ti ringrazio!!
PS: titolo sistemato

[DajeForte]

"fu^2 (dall'altro trh)":Da notare che se le variabili sono scorrelate allora vale la fattorizzazione $E[\prod_{s=1}^N X_s]=\prod_{s=1}^NE[X_s]$.

Qua bisogna specificare cosa intendi per scorrelate, perchè esistano cosi dove $Cov(X_i,X_j)=0 \quad forall i!=j$
ma la media prodotto non è uguale al prodotto delle medie.