Valore atteso e Varianza di una variabile aleatoria T di Student

[cgennari]

Buonasera a tutti,

vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente esercizio sull'argomento in oggetto ed avere gli opportuni chiarimenti.

Assegnate due variabili aleatorie X e Y indipendenti che seguono una distribuzione T di Student con 3 e 8 gradi di libertà, si determini:

a) $ Var (X+Y) $
b) $ E (Y²-X) $

Relativamente al quesito di cui al punto a) non ho avuto particolari problemi, giacché la varianza di una variabile aleatoria T-di Student è:

$ Var (X) = g/(g-2) $ con g > 2

calcolata nel modo seguente:

$ Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y) =
[3/(3-2) + 8 / (8-2)] =
3 + 1,33333 = 4,33333 $

Il problema è al punto b); infatti, poiché sui libri di testo risulta che il valore atteso di tale variabile aleatoria è:

$ E (X) = 0 $

Volevo sapere se per risolvere tale punto del quesito, dovrei partire dal modo in cui viene costruita una variabile aleatoria assolutamente continua T di Student come rapporto tra una variabile aleatoria Z normale standardizzata e una Y chi quadrato con g gradi di libertà, ovvero:

$ X=Z/sqrt(Y/g) $ con g > 0

Potete eventualmente illustrarmi passo per passo lo svolgimento ?

Grazie.

Cesare Gennari

[Lo_zio_Tom]

Le variabili X e Y sono indipendenti quindi

$E (Y^2-X )=E (Y^2)-E (X)=4/3$

Essendo $E (Y^2)=V (Y)+E^2 (Y)=V (Y) $ per la definizione di varianza

Ciao

[cgennari]

Ti ringrazio. Chiarissimo