V.a. normale standardizzata. Quesito
Ciao a tutti,
Sto pensando a come potrebbe essere risolto questo quesito. Lo espongo e vi dico come sto procedendo, cercate se possibile di darmi qualche suggerimento, vorrei arrivarci da solo!! grrr
Una v.a. $XsimN (1;2^2)$ abbiamo poi $Y=a+bX$; $b>0$. Si chiede la probabilità $P(|y-a-b|<=4b)$.
Subito ho trovato $YsimN(a+b;2^2b^2)$ per le proprietà della media e varianza (invariabilità alle trasformazioni lineari)
A questo punto come ausilio al ragionamento ho disegnato la funzione Normale (la curva di Gauss per intenderci). Per la v.a. $Y$ è centrata sulla media $a+b$.
Da qui in poi ho fatto diversi ragionamento sul grafico e l'unico spunto su cui potrei ricavare qualcosa è l'intervallo notevole per cui so che il 68.26% è all'interno dell'intervallo $+-sigma$ ovvero per la $Y: sigma=2b$.
Ho notato, inoltre, che l'ampiezza $2sigma$ nel caso della v.a. $Y$ è proprio il quantile richiesto, cioè $4b$...
Adesso non so bene come e se effettivamente questa cosa si possa sfruttare, inolte dovrei sicuramente standardizzare..ma non riesco ad individuare cosa (negli esercizi classici si standardizza il quantile richiesto per vedere la corrispondenza sulla v.a. standard, cioè media 0 e varianza 1)
Ogni spunto è ben accetto. Nel frattempo proverò a standardizzare...
Grazie
Sto pensando a come potrebbe essere risolto questo quesito. Lo espongo e vi dico come sto procedendo, cercate se possibile di darmi qualche suggerimento, vorrei arrivarci da solo!! grrr
Una v.a. $XsimN (1;2^2)$ abbiamo poi $Y=a+bX$; $b>0$. Si chiede la probabilità $P(|y-a-b|<=4b)$.
Subito ho trovato $YsimN(a+b;2^2b^2)$ per le proprietà della media e varianza (invariabilità alle trasformazioni lineari)
A questo punto come ausilio al ragionamento ho disegnato la funzione Normale (la curva di Gauss per intenderci). Per la v.a. $Y$ è centrata sulla media $a+b$.
Da qui in poi ho fatto diversi ragionamento sul grafico e l'unico spunto su cui potrei ricavare qualcosa è l'intervallo notevole per cui so che il 68.26% è all'interno dell'intervallo $+-sigma$ ovvero per la $Y: sigma=2b$.
Ho notato, inoltre, che l'ampiezza $2sigma$ nel caso della v.a. $Y$ è proprio il quantile richiesto, cioè $4b$...
Adesso non so bene come e se effettivamente questa cosa si possa sfruttare, inolte dovrei sicuramente standardizzare..ma non riesco ad individuare cosa (negli esercizi classici si standardizza il quantile richiesto per vedere la corrispondenza sulla v.a. standard, cioè media 0 e varianza 1)
Ogni spunto è ben accetto. Nel frattempo proverò a standardizzare...
Grazie
Risposte
Il procedimento è giusto. Continua...
\(\displaystyle \frac{4b}{\sigma}=\frac{4b}{2b}=??? \)
\(\displaystyle \frac{4b}{\sigma}=\frac{4b}{2b}=??? \)
Ciao,
Per primo ti ringrazio del suggerimento, non lo ho usato perchè non ho capito come hai impostato quell'equazione lì...In ogni caso ti mostro i miei passi avanti (forse). Come detto in precedenza ho standardizzato la nuova v.a. $|y-a-b|$ chiamandola $H$. Questo poichè se tentavo di effettuare la standardizzazione sul quantile $4b$ ovviamente non avevo nè media nè deviazione standard, pertanto:
$H=|y-a-b|$;
$HsimN(a+b-a-b;4b^2)$ cioè $HsimN(0;4b^2)$ Questo sempre per le proprietà della media e varianza.
A questo punto ho standardizzato il quantile richiesto per portarlo alla v.a. standardizzata $Z$:
$P(H<=4b)=P(Z<=(4b^2-0)/(2b)) = P(Z<=2b)$.
Ecco la conclusione a cui sono arrivato:
Dato che $2b$ era il $sigma$, cioè la deviazione standard, per la v.a. $Y$.
Ora che ho standardizzato so che v.a. $Z$ ha media 0 e varianza 1, quindi $sigma$ pari a 1. Pertanto la probabilità che c'è prima di $2b$(come è richiesto vista la standardizzazione) è come dire la probabilità prima di $sigma$ percui...dalla tavola dei valori della normale standardizzata vedo che è 0.8413 (84.13%).
Non sono convinto che il mio ragionamento sia corretto....Non so perchè.
Ovviamente non ho in risultato (ancora).
Grazie a tutti!
Per primo ti ringrazio del suggerimento, non lo ho usato perchè non ho capito come hai impostato quell'equazione lì...In ogni caso ti mostro i miei passi avanti (forse). Come detto in precedenza ho standardizzato la nuova v.a. $|y-a-b|$ chiamandola $H$. Questo poichè se tentavo di effettuare la standardizzazione sul quantile $4b$ ovviamente non avevo nè media nè deviazione standard, pertanto:
$H=|y-a-b|$;
$HsimN(a+b-a-b;4b^2)$ cioè $HsimN(0;4b^2)$ Questo sempre per le proprietà della media e varianza.
A questo punto ho standardizzato il quantile richiesto per portarlo alla v.a. standardizzata $Z$:
$P(H<=4b)=P(Z<=(4b^2-0)/(2b)) = P(Z<=2b)$.
Ecco la conclusione a cui sono arrivato:
Dato che $2b$ era il $sigma$, cioè la deviazione standard, per la v.a. $Y$.
Ora che ho standardizzato so che v.a. $Z$ ha media 0 e varianza 1, quindi $sigma$ pari a 1. Pertanto la probabilità che c'è prima di $2b$(come è richiesto vista la standardizzazione) è come dire la probabilità prima di $sigma$ percui...dalla tavola dei valori della normale standardizzata vedo che è 0.8413 (84.13%).
Non sono convinto che il mio ragionamento sia corretto....Non so perchè.
Ovviamente non ho in risultato (ancora).
Grazie a tutti!
ma $\sigma=2b$ e vuoi calcolare $P<=4b$, dunque se vuoi standardizzare hai $(4b)/(2b)=2$
Ciao!
Mi do del rincoglionito!!!non so perchè ho messo quel quadrato in più. Chiaramente hai ragione tu, ora con la tavola della normale standardizzata posso trovare il valore fino a 2. Ora non ce l'ho però posso dire di averlo risolto giusto!?!
Mi do del rincoglionito!!!non so perchè ho messo quel quadrato in più. Chiaramente hai ragione tu, ora con la tavola della normale standardizzata posso trovare il valore fino a 2. Ora non ce l'ho però posso dire di averlo risolto giusto!?!
"G3nd4rM3":
Ciao!
Mi do del rincoglionito!!!non so perchè ho messo quel quadrato in più. Chiaramente hai ragione tu, ora con la tavola della normale standardizzata posso trovare il valore fino a 2. Ora non ce l'ho però posso dire di averlo risolto giusto!?!
Ciao di nuovo,
Allora se ho fatto tutto correttamente ora posso dire che la standardizzazione portava a questo:
Dato $H=|y-a-b|$
$P(H<=4b)=P(Z<=2)$
A questo punto posso dire che il risultato è 0.9772. Però non riesco a capire fosse necessario ragionare sugli intervalli notevoli, oppure se facendolo avrei potuto risolvere in maniera diversa e più rapida.
Grazie a tutti.
Altri suggerimenti sono ben accetti, soprattutto altri iter risolutivi!
Buon WE
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