Urna di Polya - Martingale
Sono finalmente arrivato a studiare le martingale uff uff!!! Molto interessante il modello dell'urna di Polya:
Si hanno r palline rosse e c palline ciano in un'urna. Ad ogni passo si estrae una pallina a caso e si reinserisce nell'urna insieme ad un'altra pallina dello stesso colore di quella estratta. Il modello è molto utile, ad esempio descrive la diffusione di una malattia: la probabilità di contagio aumenta ogni volta che si ha un contatto con una persona contagiosa...
Ho un esercizio che fa entrare in gioco le martingale, ma avrei bisogno di aiuto:
Sia $X_n = (R_n)/(n+r+c)$ dove $R_n$ è il numero delle palline rosse e sia T il numero di estrazioni fino alla prima pallina rossa.
a) Dimostrare che $X_n$ è una martingala
b) Posto r = c = 1, calcolare $E(T+2)^(-1)$
c) Stimare superiormente $P(X_n >= 3/4 per qualche n)$
Fino ad ora ho svolto così:
a) $E[X_(n+1) | F_n] = E[(R_n)/(n+r+c) (R_n + 1)/(n+r+c+1) + (n+r+c-R_n)/(n+r+c) (R_n)/(n+r+c+1) | F_n] =$
$E[(R_n(R_n + n+r+c-R_n +1))/((n+r+c)(n+r+c+1)) | F_n] = E[(R_n)/(n+r+c) | F_n] = X_n$
b) $E[1/(T+2)] = 1/2 sum_1^(oo) 1/(n+2) 1/(n+1) = 1/2 (1-1/2) = 1/4$
qui ho il primo dubbio, anche perché questa parte non l'ho fatta io ma me l'hanno passata a lezione, quell' un mezzo prima della serie non me lo spiego, però in effetti così i conti quadrano... e comunque non si sfrutta che sia una martingala
c) so solo che viene $2/3$, ma non saprei proprio come mostrarlo...
Si hanno r palline rosse e c palline ciano in un'urna. Ad ogni passo si estrae una pallina a caso e si reinserisce nell'urna insieme ad un'altra pallina dello stesso colore di quella estratta. Il modello è molto utile, ad esempio descrive la diffusione di una malattia: la probabilità di contagio aumenta ogni volta che si ha un contatto con una persona contagiosa...
Ho un esercizio che fa entrare in gioco le martingale, ma avrei bisogno di aiuto:
Sia $X_n = (R_n)/(n+r+c)$ dove $R_n$ è il numero delle palline rosse e sia T il numero di estrazioni fino alla prima pallina rossa.
a) Dimostrare che $X_n$ è una martingala
b) Posto r = c = 1, calcolare $E(T+2)^(-1)$
c) Stimare superiormente $P(X_n >= 3/4 per qualche n)$
Fino ad ora ho svolto così:
a) $E[X_(n+1) | F_n] = E[(R_n)/(n+r+c) (R_n + 1)/(n+r+c+1) + (n+r+c-R_n)/(n+r+c) (R_n)/(n+r+c+1) | F_n] =$
$E[(R_n(R_n + n+r+c-R_n +1))/((n+r+c)(n+r+c+1)) | F_n] = E[(R_n)/(n+r+c) | F_n] = X_n$
b) $E[1/(T+2)] = 1/2 sum_1^(oo) 1/(n+2) 1/(n+1) = 1/2 (1-1/2) = 1/4$
qui ho il primo dubbio, anche perché questa parte non l'ho fatta io ma me l'hanno passata a lezione, quell' un mezzo prima della serie non me lo spiego, però in effetti così i conti quadrano... e comunque non si sfrutta che sia una martingala
c) so solo che viene $2/3$, ma non saprei proprio come mostrarlo...
Risposte
Fichissime le martingale vero. Non sai quanti risutati danno (anche se molto teorici).
a) Non ho ben capito la tua dimostrazione però si è una martingala.
b) A me quella formula non torno moto, ma invece di spendere tempo a capirla la ho calcolata per fatti miei e viene 0.25.
Prova a ricalcolarla.
c) Io te lo so dimostrare con il teorema di arresto opzionale. Se non lo hai fatto (ancora perchè lo farai) dovrai usare qualche maximal inequality for martingales.
a) Non ho ben capito la tua dimostrazione però si è una martingala.
b) A me quella formula non torno moto, ma invece di spendere tempo a capirla la ho calcolata per fatti miei e viene 0.25.
Prova a ricalcolarla.
c) Io te lo so dimostrare con il teorema di arresto opzionale. Se non lo hai fatto (ancora perchè lo farai) dovrai usare qualche maximal inequality for martingales.
Si è vero sono molto interessanti!!! Però ho davvero tante lacune non avendo mai fatto probabilità, e quindi fatico molto a capirle... ma sto colmando pian pianino! 
Nel primo punto $F_n$ sta semplicemente per la sigma algebra generata da $X_0 ,..., X_n$, ho semplicemente applicato la definizione e poi calcolato, sfruttando il fatto che ad ogni passo n ho n + r + c palline totali, quindi nel passo n+1 ho che $R_n$ può essere rimasto uguale o essere aumentato di 1, con relative probabilità, mentre le totali sono n + r + c + 1 (oddio mi sa che mi sono espresso malissimo). Non sono però riuscito a verificare che l'attesa del modulo di $X_n$ fosse finita...
Nel secondo punto sono d'accordo, quella formula non torna per nulla,io direi che quell'attesa si calcola così:
$1/3 1/2$ (passo uno becco la rossa) $+ 1/4 1/2 1/3$(passo uno ciano, passo due rossa) $+1/5 1/2 2/3 1/4$ (passo 1 e 2 ciano, passo 3 rossa) $+ 1/6 1/2 2/3 3/4 1/5 + ...$ $= sum_1^(oo) 1/(n+2) a_n$ dove definisco per ricorrenza $a_n = a_(n-1) (n-1) 1/(n+1)$. Mi devo riguardare le somme definite per ricorrenza, e fare i calcoli, ma ad occhio mi quadra (magari invece sto dicendo una cavolata)
Nel terzo, non ho fatto il criterio di arresto opzionale, ma con la disuguaglianza (l'unica che conosco) potrebbe venire: $P(max X_i >= k) <= (E|X_n| )/k$ e quindi quella stima vale (in quanto vale per il massimo) $4/3 E|X_n| = 4/3 E(X_n) = 4/3 E[(R_n)/(n+2)] $, da qui ne deduco che quell'attesa vale $1/2$, ma quanto a scriverla... pensavo di procedere come nel secondo punto e ricavare una successione per ricorrenza, ma mi sa sto facendo un gran macello...
Come cantava Venditti, "la probabilità non sarà mai il mio mestiere", (o forse non diceva proprio così...
) Intanto grazie per gli spunti, vedo un po' di ragionarci ancora...
Nel primo punto $F_n$ sta semplicemente per la sigma algebra generata da $X_0 ,..., X_n$, ho semplicemente applicato la definizione e poi calcolato, sfruttando il fatto che ad ogni passo n ho n + r + c palline totali, quindi nel passo n+1 ho che $R_n$ può essere rimasto uguale o essere aumentato di 1, con relative probabilità, mentre le totali sono n + r + c + 1 (oddio mi sa che mi sono espresso malissimo). Non sono però riuscito a verificare che l'attesa del modulo di $X_n$ fosse finita...
Nel secondo punto sono d'accordo, quella formula non torna per nulla,io direi che quell'attesa si calcola così:
$1/3 1/2$ (passo uno becco la rossa) $+ 1/4 1/2 1/3$(passo uno ciano, passo due rossa) $+1/5 1/2 2/3 1/4$ (passo 1 e 2 ciano, passo 3 rossa) $+ 1/6 1/2 2/3 3/4 1/5 + ...$ $= sum_1^(oo) 1/(n+2) a_n$ dove definisco per ricorrenza $a_n = a_(n-1) (n-1) 1/(n+1)$. Mi devo riguardare le somme definite per ricorrenza, e fare i calcoli, ma ad occhio mi quadra (magari invece sto dicendo una cavolata)
Nel terzo, non ho fatto il criterio di arresto opzionale, ma con la disuguaglianza (l'unica che conosco) potrebbe venire: $P(max X_i >= k) <= (E|X_n| )/k$ e quindi quella stima vale (in quanto vale per il massimo) $4/3 E|X_n| = 4/3 E(X_n) = 4/3 E[(R_n)/(n+2)] $, da qui ne deduco che quell'attesa vale $1/2$, ma quanto a scriverla... pensavo di procedere come nel secondo punto e ricavare una successione per ricorrenza, ma mi sa sto facendo un gran macello...
Come cantava Venditti, "la probabilità non sarà mai il mio mestiere", (o forse non diceva proprio così...
) Intanto grazie per gli spunti, vedo un po' di ragionarci ancora...
Allora per 1) avevo capito che F era a filtrazione ma c'è una media di troppo dal secondo passaggio in poi proprio perchè la stai facendo la media.
$E[X_(n+1)|F_n]\ =\ (R_n)/(r+c+n)\ (R_(n)+1)/(n+r+c+1)\ +\ (n+r+c-R_n)/(n+r+c)\ (R_n)/(n+r+c+1)\ =\ X_n$
a destra c'è la media dove in ciascun addendo il primo elemento è la probabilità il secondo è la modalità che la variabile assume.
2) Ci metti qualcosa di troppo:
T=1 ha probabilità $1/2$ abbiamo solo due palline.
T=2 $1/2\ 1/3$
T=3 $1/2\ 2/3\ 1/4$
in definitiva T=k ha probabilità $1/k\ 1/(k+1)$
Quindi $E[(T+2)^(-1)]\ =\ sum_(k=1)^(infty)1/(k)1/(k+1)1/(k+2)$
Per il 3) mi pare di capire che ti chieda $P(max_(n>=0)X_n>=3/4)$.
Si potrebbe essere un ragionamento. Magari ragionaci un altro po' perchè più che altro quelle diseguaglianze credo valgano soltanto quando X è positiva ma non ci metterei la mano sul fuoco.
Comunque in questo caso X è positiva. Quindi tutto dovrebbe filare; in particolare $E[|X_n|]=E[X_n]$; e come è la media di una martingala?
$E[X_(n+1)|F_n]\ =\ (R_n)/(r+c+n)\ (R_(n)+1)/(n+r+c+1)\ +\ (n+r+c-R_n)/(n+r+c)\ (R_n)/(n+r+c+1)\ =\ X_n$
a destra c'è la media dove in ciascun addendo il primo elemento è la probabilità il secondo è la modalità che la variabile assume.
2) Ci metti qualcosa di troppo:
T=1 ha probabilità $1/2$ abbiamo solo due palline.
T=2 $1/2\ 1/3$
T=3 $1/2\ 2/3\ 1/4$
in definitiva T=k ha probabilità $1/k\ 1/(k+1)$
Quindi $E[(T+2)^(-1)]\ =\ sum_(k=1)^(infty)1/(k)1/(k+1)1/(k+2)$
Per il 3) mi pare di capire che ti chieda $P(max_(n>=0)X_n>=3/4)$.
Si potrebbe essere un ragionamento. Magari ragionaci un altro po' perchè più che altro quelle diseguaglianze credo valgano soltanto quando X è positiva ma non ci metterei la mano sul fuoco.
Comunque in questo caso X è positiva. Quindi tutto dovrebbe filare; in particolare $E[|X_n|]=E[X_n]$; e come è la media di una martingala?
"DajeForte":
c'è una media di troppo dal secondo passaggio in poi proprio perchè la stai facendo la media.
Ed hai ragione!!!! Il bello è che l'ho riletta un sacco di volte per capire cosa ci fosse di sbagliato...
Chiarissimo il secondo punto, sull'ultimo punto: si la disuguaglianza vale solo per martingale non negative, l'attesa di una martingala è costante, mi basta quindi calcolarla in $X_0$... ed i conti tornano!!!
(era l'ultimo esercizio che mi mancava... mi devo riprendere, fortuna che sono a lavoro e posso autoprepararmi un mojito! ) Che dire... Grazieeeeee!!!!!!!!
"baal8282":
mi devo riprendere, fortuna che sono a lavoro e posso autoprepararmi un mojito!
Che fai lavori al pub?
Io pure voglio un mojito ma stasera mi sono acontentato di un po' di 
( 
)
Eh si... E non ti dico stanotte che calcolavo la serie telescopica sulla lavagnetta del menù mentre preparavo un assassin (ghiaccio tritato tequila whisky soda) come mi guardavano gli avventori DDD Fortuna che il titolare è taaaaanto paziente...
Hai una birra ed ora anche un mojito preparato dal sottoscritto ;D Birra e... matematica, ottima combinazione!!!
DDD Fortuna che il titolare è taaaaanto paziente...Hai una birra ed ora anche un mojito preparato dal sottoscritto ;D Birra e... matematica, ottima combinazione!!!
Rileggo ora il tuo messaggio di prima con attenzione, mi pare che la media la avevi calcolata bene!
Per dimostrare che ha media finita (a parte che è positiva e viene 1/2) ma poi X è una probabilità (non puoi avere più palline rosse rispetto al totale)
Quindi $|X_n|<=1$ ed hai fatto.
Ciao.
Per dimostrare che ha media finita (a parte che è positiva e viene 1/2) ma poi X è una probabilità (non puoi avere più palline rosse rispetto al totale)
Quindi $|X_n|<=1$ ed hai fatto.
Ciao.
Si era giusta nei conti, ma è vero che dovevo portare fuori dalla media i calcoli... Si in effetti in a) devo dire $E|X_n| <= 1$, non so ancora che è una martingala in quel punto, poi la calcolo nel punto c)...
Ciao DajeForte, grazie mille!!!!
Ciao DajeForte, grazie mille!!!!
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