Una ditta utilizza due macchine per produrre dei componenti...
Una ditta utilizza due macchine per produrre dei componenti. La prima macchina produce 50 pezzi l’ora, con una percentuale di pezzi difettosi del 3%. La seconda macchina produce 100 pezzi l’ora, con una percentuale di pezzi difettosi del 1%.
(a) Determinare la probabilità che un pezzo preso a caso sia difettoso.
(b) Determinare la probabilità che un pezzo trovato difettoso nella produzione sia stato prodotto dalla prima macchina.
(c) Mediamente dopo quanti pezzi la ditta ne produce uno difettoso?
[Risposta: a) 1/60; b) 3/5; c) 60]
Ho risolto il punto a) utilizzando la formula delle probabilità composte:
poiché la macchina A produce 50 pezzi l'ora e la B 150, vuol dire che la macchina A ne produce 50 su 150 totali in un'ora, mentre la B invece 100.
Con
\( A = "\text{il pezzo proviene dalla macchina A}" \) , \( B = "\text{il pezzo proviene dalla macchina B}" \),
\( D/A = "\text{il pezzo è difettoso dato che proviene dalla macchina A}" \) ,
\( D/B = "\text{il pezzo è difettoso dato che proviene dalla macchina B}" \),
\( D = "\text{il pezzo è difettoso}" \),
e quindi
\( P(A) = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}\), \( P(B) = \frac{100}{150} = \frac{2}{3}\)
\( P(D/A) = \frac{3}{100} \), \( P(D/B) = \frac{1}{100} \),
ottengo:
\( P(D) = P(A)P(D/A) + P(B)P(D/B) = \frac{1}{3} \frac{3}{100} + \frac{2}{3} \frac{1}{100} = \frac{1}{60}\),
Per il punto b) non sono stato così fortunato... ho pensato di applicare la formula di Bayes, ovvero:
\( P(D/A) = \frac{P(D)P(A)} { P(A) } \) --> \( P(D)P(A) = P(D/A) P(A) \)
e poiché, per definizione \( P(A/D) = \frac{P(D)P(A)}{ P(D)} \) ,
ottengo:
\( P(A/D) = \) [size=130] \( \frac{P(D/A) P(A)}{P(D)} = \) [/size] [size=160]\( \frac{\frac{3}{100} \frac{1}{3}}{\frac{1}{60}} = \frac{9}{10} \) [/size] , che confrontato alle soluzioni è un risultato sbagliato. Devo risolverlo in un altro modo?
La domanda a cui volevo arrivare è: come risolvo il punto c) ? Non ho capito che tipo di distribuzione di probabilità utilizzare per trovare la media (parola chiave "mediamente") di ogni quanto la fabbrica produce un prodotto difettoso... devo usare una distribuzione binomiale o di poisson? E soprattutto usando quali parametri? E come calcolo la media?
(a) Determinare la probabilità che un pezzo preso a caso sia difettoso.
(b) Determinare la probabilità che un pezzo trovato difettoso nella produzione sia stato prodotto dalla prima macchina.
(c) Mediamente dopo quanti pezzi la ditta ne produce uno difettoso?
[Risposta: a) 1/60; b) 3/5; c) 60]
Ho risolto il punto a) utilizzando la formula delle probabilità composte:
poiché la macchina A produce 50 pezzi l'ora e la B 150, vuol dire che la macchina A ne produce 50 su 150 totali in un'ora, mentre la B invece 100.
Con
\( A = "\text{il pezzo proviene dalla macchina A}" \) , \( B = "\text{il pezzo proviene dalla macchina B}" \),
\( D/A = "\text{il pezzo è difettoso dato che proviene dalla macchina A}" \) ,
\( D/B = "\text{il pezzo è difettoso dato che proviene dalla macchina B}" \),
\( D = "\text{il pezzo è difettoso}" \),
e quindi
\( P(A) = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}\), \( P(B) = \frac{100}{150} = \frac{2}{3}\)
\( P(D/A) = \frac{3}{100} \), \( P(D/B) = \frac{1}{100} \),
ottengo:
\( P(D) = P(A)P(D/A) + P(B)P(D/B) = \frac{1}{3} \frac{3}{100} + \frac{2}{3} \frac{1}{100} = \frac{1}{60}\),
Per il punto b) non sono stato così fortunato... ho pensato di applicare la formula di Bayes, ovvero:
\( P(D/A) = \frac{P(D)P(A)} { P(A) } \) --> \( P(D)P(A) = P(D/A) P(A) \)
e poiché, per definizione \( P(A/D) = \frac{P(D)P(A)}{ P(D)} \) ,
ottengo:
\( P(A/D) = \) [size=130] \( \frac{P(D/A) P(A)}{P(D)} = \) [/size] [size=160]\( \frac{\frac{3}{100} \frac{1}{3}}{\frac{1}{60}} = \frac{9}{10} \) [/size] , che confrontato alle soluzioni è un risultato sbagliato. Devo risolverlo in un altro modo?
La domanda a cui volevo arrivare è: come risolvo il punto c) ? Non ho capito che tipo di distribuzione di probabilità utilizzare per trovare la media (parola chiave "mediamente") di ogni quanto la fabbrica produce un prodotto difettoso... devo usare una distribuzione binomiale o di poisson? E soprattutto usando quali parametri? E come calcolo la media?
Risposte
È tutto giusto!!
Punto 2) hai solo sbagliato a semplificare l'ultima frazione:
$(3/100 1/3)/(1/60)=3/5$
Punto 3)
E' molto semplicemente il reciproco del punto 1).
Infatti, la probabilità di avere un difettoso è $p=1/60$. Ora definiamo la nuova variabile $Z$: si presenta il primo difettoso al primo pezzo prodotto, al secondo, al terzo ecc ecc....
di media:
Oppure, senza scomodare distribuzioni, valori attesi ecc ecc ma solo con un po' di buon senso, puoi vederla così:
la fabbrica produce 50+100=150 pezzi/ora con mediamente $1,5+1=2,5$ pezzi difettosi. Quindi mediamente un pezzo difettoso ogni $150/(2,5)=60$ pezzi
Ciao
Punto 2) hai solo sbagliato a semplificare l'ultima frazione:
$(3/100 1/3)/(1/60)=3/5$
Punto 3)
E' molto semplicemente il reciproco del punto 1).
Infatti, la probabilità di avere un difettoso è $p=1/60$. Ora definiamo la nuova variabile $Z$: si presenta il primo difettoso al primo pezzo prodotto, al secondo, al terzo ecc ecc....
$Z~ Ge(p)$
di media:
Oppure, senza scomodare distribuzioni, valori attesi ecc ecc ma solo con un po' di buon senso, puoi vederla così:
la fabbrica produce 50+100=150 pezzi/ora con mediamente $1,5+1=2,5$ pezzi difettosi. Quindi mediamente un pezzo difettoso ogni $150/(2,5)=60$ pezzi
Ciao
Ti ringrazio sei stato chiarissimo!!
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