Un po' di media aritmetica
Ciao. Se \( x_1,\dots,x_n \) sono \( n \) numeri reali, per un qualche \( n\in \mathbb N \), \( n\geqq 1 \), la loro media aritmetica è il numero \( \bar x \) definito come
\[
\bar x = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\text{.}
\]
L'interpretazione di \( \bar x \) è la seguente: se Tullio ha \( 6 \) biscotti, Levi ne ha \( 13 \) e Civita ne ha \( 2 \), e volessero distribuirseli in modo equo, conterebbero quanti biscotti ci sono in totale (\( 6 + 13 + 2 \)), e dividerebbero questo numero per quanti sono (\( 3 \)).
Ora. Sto cercando di capire come interpretare sulle righe di quello che ho scritto su, e come dimostrare, il seguente fatto: se \( x_1,\dots,x_n \) è un dataset, e \( 1\leqq k\leqq n - 1 \), detta \( \bar x \) la media degli \( x_i \) si ha
\[
\bar x = \frac{\frac{x_1 + \cdots + x_k}{k} + x_{k + 1} + \cdots + x_n}{n - k}\text{.}
\]
Non sapevo se metterlo nella sezione per le secondarie, dato che il livello è più o meno "guida di Giallozafferano".
\[
\bar x = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\text{.}
\]
L'interpretazione di \( \bar x \) è la seguente: se Tullio ha \( 6 \) biscotti, Levi ne ha \( 13 \) e Civita ne ha \( 2 \), e volessero distribuirseli in modo equo, conterebbero quanti biscotti ci sono in totale (\( 6 + 13 + 2 \)), e dividerebbero questo numero per quanti sono (\( 3 \)).
Ora. Sto cercando di capire come interpretare sulle righe di quello che ho scritto su, e come dimostrare, il seguente fatto: se \( x_1,\dots,x_n \) è un dataset, e \( 1\leqq k\leqq n - 1 \), detta \( \bar x \) la media degli \( x_i \) si ha
\[
\bar x = \frac{\frac{x_1 + \cdots + x_k}{k} + x_{k + 1} + \cdots + x_n}{n - k}\text{.}
\]
Non sapevo se metterlo nella sezione per le secondarie, dato che il livello è più o meno "guida di Giallozafferano".
Risposte
Non sembra nemmeno vero. Prova con 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1000000 per vari valori di $k$.
Bastano i suoi tre numeri per vedere che è falso.
Mhh. Quindi "non si può" proprio fare la media di \( n \) numeri prendendo prima la media di \( k \) numeri, e facendo poi la media di quello che viene fuori con i numeri rimanenti?
Faccio un'altra domanda. Almeno è vero che, se \( \bar x \) è la media degli \( x_1,\dots,x_n \), allora
\[
\bar x = \frac{x_1 + \cdots + x_n + \bar x}{n + 1}
\]Questo con i conti torna sempre.
Faccio un'altra domanda. Almeno è vero che, se \( \bar x \) è la media degli \( x_1,\dots,x_n \), allora
\[
\bar x = \frac{x_1 + \cdots + x_n + \bar x}{n + 1}
\]Questo con i conti torna sempre.
"marco2132k":
Mhh. Quindi "non si può" proprio fare la media di \( n \) numeri prendendo prima la media di \( k \) numeri, e facendo poi la media di quello che viene fuori con i numeri rimanenti?
certo che si può...basta farlo per bene...è come fare una media ponderata
"marco2132k":
Quindi "non si può" proprio fare la media di \( n \) numeri prendendo prima la media di \( k \) numeri, e facendo poi la media di quello che viene fuori con i numeri rimanenti?
Si può. Vedi "media ponderata" o "media pesata" (due nomi per la stessa cosa).
"marco2132k":
Faccio un'altra domanda. Almeno è vero che, se \( \bar x \) è la media degli \( x_1,\dots,x_n \), allora
\[
\bar x = \frac{x_1 + \cdots + x_n + \bar x}{n + 1}
\]Questo con i conti torna sempre.
Sì.
"marco2132k":
Mhh. Quindi "non si può" proprio fare la media di \( n \) numeri prendendo prima la media di \( k \) numeri, e facendo poi la media di quello che viene fuori con i numeri rimanenti?
Se $x^\prime$ è la media dei primi $k$ elementi ed $x^{\prime \prime}$ la media dei rimanenti $n-k$, allora:
$bar(x) = k/n x^\prime + (n-k)/n x^{\prime \prime}$.
"marco2132k":
Faccio un'altra domanda. Almeno è vero che, se \( \bar x \) è la media degli \( x_1,\dots,x_n \), allora
\[
\bar x = \frac{x_1 + \cdots + x_n + \bar x}{n + 1}
\]Questo con i conti torna sempre.
Certo... E basta fare due conti per dimostrarlo.
Ok, ho capito il discorso sulla media ponderata.
Basta fare due conti per dimostrarloSì avevo scarabocchiato un'induzione, da idiota quale sono, e non veniva. Adesso ho capito.
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