Trovare legge di una v.a. discreta
Buongiorno, non sono certo della mia risoluzione per questo esercizio, di cui purtroppo non conosco la soluzione.
Risoluzione:
i) Secondo me è corretto, perché la probabilità di estrarre la pallina $k$ è data dalla probabilità di trovare testa per la probabilità di pescarne una dall'urna.
ii) $ p_{X_i}(k)={ ( p/10, k=1,\ldots,10 ),( (1-p)/20, k=11,\ldots,30 ):} $
Per trovare il valore di $p$ tale per cui la probabilità risulti uniforme ho uguagliato le due quantità $p/10=(1-p)/20$, trovando $p=1/3$.
Con questo valore troverei $ p_{X_i}(k)={ ( 1/30, k=1,\ldots,10 ),( 1/30, k=11,\ldots,30 ):} $
iii) Utilizzo la formula: $\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^{10}k*p + \sum_{k=11}^{30} k(1-p)=11p + 41/2(1-p).$
Ho provato a computare il valore medio per $p=1/3$ e mi risulta $52/3 simeq 17.3$
Risoluzione:
i) Secondo me è corretto, perché la probabilità di estrarre la pallina $k$ è data dalla probabilità di trovare testa per la probabilità di pescarne una dall'urna.
ii) $ p_{X_i}(k)={ ( p/10, k=1,\ldots,10 ),( (1-p)/20, k=11,\ldots,30 ):} $
Per trovare il valore di $p$ tale per cui la probabilità risulti uniforme ho uguagliato le due quantità $p/10=(1-p)/20$, trovando $p=1/3$.
Con questo valore troverei $ p_{X_i}(k)={ ( 1/30, k=1,\ldots,10 ),( 1/30, k=11,\ldots,30 ):} $
iii) Utilizzo la formula: $\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^{10}k*p + \sum_{k=11}^{30} k(1-p)=11p + 41/2(1-p).$
Ho provato a computare il valore medio per $p=1/3$ e mi risulta $52/3 simeq 17.3$
Risposte
va più o meno bene.
Al punto i) immagino che il testo intenda dire che A si distribuisce come una uniforme discreta (non lo dici ma si intuisce)
Il calcolo della media è errato.
A parte il fatto che la media di una uniforme è nota ed è $E[X]=(a+b)/2=(1+30)/2=31/2$
....il calcolo è presto fatto:
$E[X]=p/10 sum_(k=1)^(10)k+(1-p)/20 sum_(k=11)^(30)k=p/10\cdot(1+10)/2\cdot10+(1-p)/20\cdot(11+30)/2\cdot20=...=(41-30p)/2$
che, per $p=1/3$ porge $E[X]=31/2$ come dev'essere.
[ot]quando si dice: "perdersi in un bicchier d'acqua"...ti sta chiedendo di fare la media aritmetica semplice fra i valori
$1,2,...,30=1/30 sum_(x=1)^(30)x$[/ot]
ciao
Al punto i) immagino che il testo intenda dire che A si distribuisce come una uniforme discreta (non lo dici ma si intuisce)
Il calcolo della media è errato.
A parte il fatto che la media di una uniforme è nota ed è $E[X]=(a+b)/2=(1+30)/2=31/2$
....il calcolo è presto fatto:
$E[X]=p/10 sum_(k=1)^(10)k+(1-p)/20 sum_(k=11)^(30)k=p/10\cdot(1+10)/2\cdot10+(1-p)/20\cdot(11+30)/2\cdot20=...=(41-30p)/2$
che, per $p=1/3$ porge $E[X]=31/2$ come dev'essere.
[ot]quando si dice: "perdersi in un bicchier d'acqua"...ti sta chiedendo di fare la media aritmetica semplice fra i valori
$1,2,...,30=1/30 sum_(x=1)^(30)x$[/ot]
ciao
Oh che scemo ! In effetti la media della uniforme la volevo fare per vedere se era correttoa aver ricavato quel $p=1/3$ che mi rendeva la distribuzione uniforme 
.
Grazie tommik per il tuo prezioso aiuto
.Grazie tommik per il tuo prezioso aiuto
Scusa se riscrivo qui, ma ho provato a calcolare quanto vale $Cov(X,A)=\mathbb{E}[XA]- \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[A]$.
Inizialmente mi sono un po' incasinato con i conti, poi però mi è venuto il dubbio che $X$ (che denota il numero della pallina pescata) sia indipendente da $A$, che è la probabilità di pescare una pallina dalla prima urna. Se così fosse, la covarianza varrebbe $0$.
Non saprei però come mostrare che sono indipendenti tramite la definizione
Inizialmente mi sono un po' incasinato con i conti, poi però mi è venuto il dubbio che $X$ (che denota il numero della pallina pescata) sia indipendente da $A$, che è la probabilità di pescare una pallina dalla prima urna. Se così fosse, la covarianza varrebbe $0$.
Non saprei però come mostrare che sono indipendenti tramite la definizione
non capisco la domanda.
Devi calcolare la covarianza o devi semplicemente dimostrare che X e A non sono indipendenti? Perché ovviamente
X: numero della pallina estratta e
A: pesco dalla prima urna
sono dipendenti....
$P(X>10)>0$ mentre $P(X>10|A)=0$
Devi calcolare la covarianza o devi semplicemente dimostrare che X e A non sono indipendenti? Perché ovviamente
X: numero della pallina estratta e
A: pesco dalla prima urna
sono dipendenti....
$P(X>10)>0$ mentre $P(X>10|A)=0$
Scusa effettivamente mi sono espresso male: devo calcolare la covarianza. Nel calcolo, quello che mi turba è $\mathbb{E}[XA]$. Perché $\mathbb{E}[X]=(41-30p)/2$ e $\mathbb{E}[A]=11/2$. Non so proprio come poter impostare la sommatoria di $\mathbb{E}[XA]$.
devi avere la legge congiunta $p(X,A)$
Il testo non me la da, posso provare a ricavarla:
$p(X,A)=P(X=h,A=k)=P(X=h \cap A=k)=P(X=h|A=k)/(P(A=k))=(p/10)/(1/10)=p$. Non ne sono molto sicuro però...
$p(X,A)=P(X=h,A=k)=P(X=h \cap A=k)=P(X=h|A=k)/(P(A=k))=(p/10)/(1/10)=p$. Non ne sono molto sicuro però...
Il problema è quello scritto in cima a questo post, mi si chiede di calcolare $Cov(X,A) $ . Solo che mi serve, come mi hai suggerito, la densità congiunta di $X,Y$, ma non so come fare. Altri modi non me ne vengono in mente
Esatto, la richiesta è quella. Non esiste proprio nessun modo per calcolare la legge congiunta?
Certamente, ti farò sapere. Grazie mille intanto!
"tommik":
A questo punto è davvero facile calcolare $E[XA]=E[X⋅IA]$ (detto anche correlazione) come
$E[XA]=sum_(k=1)^(10)k^2\cdot p/10$
Ti chiedo conferma su questo ragionamento, perche' non sono certo del motivo per cui compaia quel $k^2$. Piu' che altro non capisco la scrittura $E[X⋅IA]$.
Io l'ho interpretato cosi', utilizzando la definizione di valore atteso.
Poiche' $I$ e $A$ sono indipendenti, allora $\mathbb{E}[IA]=\sum_{k=1}^{10}k* p * k*1/10=p/10 \sum_{k=1}^{10}k^2=77/2p$
Pertanto $Cov(X,A)=77/2p - (11*(41-30p))/4$.
Ti devo ringraziare moltissimo in ogni caso perche' non vedevo proprio la soluzione
Dopo innumerevoli deliri, complicatissimi tentativi e ripassando mentalmente metà del programma di Statistica (a parziale discolpa, devo dire, senza avere libri a disposizione) sono finalmente arrivato alla soluzione (con un piccolo suggerimento, devo ammetterlo) che è di una banalità imbarazzante.....ma nel contempo rende l'esercizio simpatico 
Il testo invita infatti a verificare che la variabile $X$ si può scrivere così:
$X=pA+qB$ dove $p$ è la probabilità di Testa e $q$ è la probabilità di Croce.
ma allora, sfruttando la definizione di varianza ed il fatto che $A$ e $B$ sono indipendenti, possiamo anche scrivere che
$E[XA]=E[(pA+qB)A]=E[pA^2+qAB]=pE[A^2]+qE[AB]=p[Var[A]+E^2[A]]+qE[A]E$
il resto è banale dato che media e varianza di una distribuzione uniforme sono arcinote.
Devo scusarmi con Feddy perché gli ho dato diversi suggerimenti (anche interessanti) ma inconcludenti....va beh, almeno hai fatto una carrellata del programma...
PS: puoi guardare anche questo, postato da un utente ieri sera, dato che anch'esso è sulle distribuzioni Mixture
Il testo invita infatti a verificare che la variabile $X$ si può scrivere così:
$X=pA+qB$ dove $p$ è la probabilità di Testa e $q$ è la probabilità di Croce.
ma allora, sfruttando la definizione di varianza ed il fatto che $A$ e $B$ sono indipendenti, possiamo anche scrivere che
$E[XA]=E[(pA+qB)A]=E[pA^2+qAB]=pE[A^2]+qE[AB]=p[Var[A]+E^2[A]]+qE[A]E$
il resto è banale dato che media e varianza di una distribuzione uniforme sono arcinote.
Devo scusarmi con Feddy perché gli ho dato diversi suggerimenti (anche interessanti) ma inconcludenti....va beh, almeno hai fatto una carrellata del programma...
PS: puoi guardare anche questo, postato da un utente ieri sera, dato che anch'esso è sulle distribuzioni Mixture
Che dire tommik, ti sono infinitamente grato.
Per completezza posto i calcoli:
$Cov(X,A)=\mathbb{E}[XA]- \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[A]$.
$\mathbb{E}[A]=11/2$. Per cui $\mathbb{E^{2}}[A]=121/4$.
$\mathbb{E}=41/2$.
$V a r (A)=(10^2 - 1)/(12)= 99/12$
Perciò $ Cov(X,A) = 77p/2 +112.75(1-p) - (11(41-30p))/4$
L'esercizio che mi hai proposto mi è chiaro ! Grazie infinite.
Per completezza posto i calcoli:
$Cov(X,A)=\mathbb{E}[XA]- \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[A]$.
$\mathbb{E}[A]=11/2$. Per cui $\mathbb{E^{2}}[A]=121/4$.
$\mathbb{E}=41/2$.
$V a r (A)=(10^2 - 1)/(12)= 99/12$
Perciò $ Cov(X,A) = 77p/2 +112.75(1-p) - (11(41-30p))/4$
L'esercizio che mi hai proposto mi è chiaro !
Grazie infinite.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo