Trasformazione di variabile aleatoria

[faco1]

gentilmente qlc potrebbe dirmi il procedimento logico da usare per questo tipo di esercizi o indicarmi una dispensa che lo illustri

grazie

[faco1]

almeno un libro con questo tipo di esercizi qualcuno lo conosce

[Giova411]

Ciao! La gaussiana è la distr normale. Forse devi applicare questa formula e considerare che la densità la trovi derivando la distribuzione di probabilità. Un libro che ho buonino è il " Probabilità e statistica" di Spiegel della grandissima collana schaum's McGraw-hill. Dico grandissima perché è una collana famosa per i tanti esercizi svolti.

PS: sarà che sono io ma ancora al livello "genio" non ci sono arrivato... Anzi ... Ma sono io, il libro è buono per chi ha già delle basi sotto


PS2: costa poco, la 2 ediz solo 23 euretti

[_nicola de rosa]

"faco":gentilmente qlc potrebbe dirmi il procedimento logico da usare per questo tipo di esercizi o indicarmi una dispensa che lo illustri

grazie

Consideriamo la trasformazione $y=x^2-3x+2$ per $x>=-1$
Bisogna risolvere l'equazione $x^2-3x+2-y=0$ da cui $x=(3+-sqrt(4y+1))/2$
Consideriamo la soluzione $x=(3+sqrt(4y+1))/2$. Ora dire $x>=-1->(3+sqrt(4y+1))/2>=-1->sqrt(4y+1)>=-5$ e questa è sempre verificata per $4y+1>=0->y>=-1/4$ dal momento che la radice di un numero reale positivo è sempre un numero reale positivo.
Consideriamo la soluzione $x=(3-sqrt(4y+1))/2$. Ora dire $x>=-1->(3-sqrt(4y+1))/2>=-1->sqrt(4y+1)<=1$ e questa è sempre verificata per $-1/4<=y<=0$.
A questo punto allora conviene considerare i due intervalli separati $(-1/4,0)$ e $(0,+infty)$
Applicando il teorema di trasformazione di v.a si ha:
$-1/4f_Y(y)=(((e^(-(x-1)^2/2))/(sqrt(2Pi)))/|2x-3|)_(x=(3+sqrt(4y+1))/2)+(((e^(-(x-1)^2/2))/(sqrt(2Pi)))/|2x-3|)_(x=(3-sqrt(4y+1))/2)$=
$(e^(-(2+4y+2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1))))+((e^(-(2+4y-2sqrt(4y+1)))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1))))$

Se $y>0->f_Y(y)=(((e^(-(x-1)^2/2))/(sqrt(2Pi)))/|2x-3|)_(x=(3+sqrt(4y+1))/2)$=
$(e^(-(2+4y+2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1))))$

Consideriamo ora la trasformazione $Y=1$ per $X<-1$
In tal caso si ha $f_Y(y)=delta(y-1)int_-infty^(-1)(e^(-(x-1)^2/2))/(sqrt(2Pi))dx=delta(y-1)(1-int_-1^(+infty)(e^(-(x-1)^2/2))/(sqrt(2Pi))dx)=delta(y-1)(1-Q(-2))$

Per cui

$f_Y(y)=(e^(-(2+4y+2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1))))+(e^(-(2+4y-2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1)))),-1/4 $f_Y(y)=(e^(-(2+4y+2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1)))),y>0$
$f_Y(y)=delta(y-1)(1-Q(-2)),y=1$

[faco1]

grazie mille

[Giova411]

faco scusami per le CAGaTiNE che ho scritto ma ci ho provato anche perché vedevo che non ti rispondeva nessuno... Almeno ho tirato su il tuo quesito dai...
Meno male che è arrivato nicola de rosa che ti ha illustrato perfettamente come si fa... Ora che vedo la soluzione capisco che sono un ignorantone!

Il libro che ti ho consigliato non tratta questi argomenti in modo esauriente....

[faco1]

faco scusami per le CAGaTiNE che ho scritto ma ci ho provato anche perché vedevo che non ti rispondeva nessuno... Almeno ho tirato su il tuo quesito dai...
Meno male che è arrivato nicola de rosa che ti ha illustrato perfettamente come si fa... Ora che vedo la soluzione capisco che sono un ignorantone! Wink

Il libro che ti ho consigliato non tratta questi argomenti in modo esauriente....

nessun problema ,cmq ci hai provato capisco che è comodo dire "fatemi" l'eserczio.

[faco1]

Consideriamo la soluzione $x=(3-sqrt(4y+1))/2$. Ora dire $x>=-1->(3-sqrt(4y+1))/2>=-1->sqrt(4y+1)<=1$ e questa è sempre verificata per $-1/4<=y<=0$.
A questo punto allora conviene considerare i due intervalli separati $(-1/4,0)$ e $(0,+infty)$

scusa ma qui non viene $sqrt(4y+1)<=5$ quindi è verificare nell'intervallo $-1/4<=y<=6$

quindi come intervalli devo considerare $(-1/4,6)$ e$(6,+oo)$

[_nicola de rosa]

"faco":

Consideriamo la soluzione $x=(3-sqrt(4y+1))/2$. Ora dire $x>=-1->(3-sqrt(4y+1))/2>=-1->sqrt(4y+1)<=1$ e questa è sempre verificata per $-1/4<=y<=0$.
A questo punto allora conviene considerare i due intervalli separati $(-1/4,0)$ e $(0,+infty)$

scusa ma qui non viene $sqrt(4y+1)<=5$ quindi è verificare nell'intervallo $-1/4<=y<=6$

quindi come intervalli devo considerare $(-1/4,6)$ e$(6,+oo)$

ed hai ragione tu


Per cui

$f_Y(y)=(e^(-(2+4y+2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1))))+(e^(-(2+4y-2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1)))),-1/4 $f_Y(y)=(e^(-(2+4y+2sqrt(4y+1))/8)/(sqrt(2Pi(4y+1)))),y>6$
$f_Y(y)=delta(y-1)(1-Q(-2)),y=1$