Trasformazione di una variabile aleatoria

[Sk_Anonymous]

Sia $X$ una variabile aleatoria esponenziale di media unitaria.
Sia $Y$ la variabile aleatoria che si ottiene trasformando $X$ attraverso la funzione
$g(x)={(0,x<-1),(2x+2,-1<=x<0),(1-x,0<=x<1),(0,x>=1):}.
Calcolare densità di probabilità,media e varianza di $Y$.

[codino75]

$P_Y(0)=$ area sottesa da $f_X(x)$ per x<-1 e per x>1

[elgiovo]

"codino75":$P_Y(0)=$ area sottesa da $f_X(x)$ per x<-1 e per x>1

E' $f_Y(0)=delta(y)$ $cdot$ area sottesa ecc. ecc.

[Sk_Anonymous]

si,ma il fatto che la media è unitaria implica che

$f_X(x)={(0,x<=0),(e^(-x),x>0):}$?

[Sk_Anonymous]

Se non trovo $f_X(x)$ non posso calcolare nè densità nè media nè varianza di $Y$!

[elgiovo]

"Ene@":si,ma il fatto che la media è unitaria implica che

$f_X(x)={(0,x<=0),(e^(-x),x>0):}$?

Certamente.

[Sk_Anonymous]

Quindi data
$f_X(x)=ke^(-kx)*H(x)

la media è data da $k$?

[Sk_Anonymous]

Stando così le cose la $f_X(x)$ sta interamente nel primo quadrante pertanto la $g(x)$ si riduce semplicemente a

$g(x)={(1-x,0<=x<1),(0,x>=1):}$?

[elgiovo]

"Ene@":Quindi data
$f_X(x)=ke^(-kx)*H(x)

la media è data da $k$?

Non proprio... Infatti $E{X}=k int_(-oo)^(oo) xcdot e^(-kx)cdot "H"(x)dx=ldots$ (pss, si dice in giro che questo integrale si possa fare per parti...)

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":[quote="Ene@"]Quindi data
$f_X(x)=ke^(-kx)*H(x)

la media è data da $k$?

Non proprio... Infatti $E{X}=k int_(-oo)^(oo) xcdot e^(-kx)cdot "H"(x)dx=ldots$ (pss, si dice in giro che questo integrale si possa fare per parti...)[/quote]

Si,ma tale integrale si riduce a $-1/k[e^(-kx)*(kx+1)]_0^(+infty)
il che implica $1/k=E{X}$
quindi se media =$n$ => $k=1/n$
ok spero di avere capito bene

[elgiovo]

"Ene@":Stando così le cose la $f_X(x)$ sta interamente nel primo quadrante pertanto la $g(x)$ si riduce semplicemente a

$g(x)={(1-x,0<=x<1),(0,x>=1):}$?

Quel "pertanto" proprio non va... $g(X)$ non subisce alcuna modifica.

[elgiovo]

"Ene@":
il che implica $1/k=E{X}$
quindi se media =$n$ => $k=1/n$
ok spero di avere capito bene

Ok. Come vedi più che di capire si tratta di farsi due conti.

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":[quote="Ene@"]Stando così le cose la $f_X(x)$ sta interamente nel primo quadrante pertanto la $g(x)$ si riduce semplicemente a

$g(x)={(1-x,0<=x<1),(0,x>=1):}$?

Quel "pertanto" proprio non va... $g(X)$ non subisce alcuna modifica.[/quote]

Se $x<-1$ $g(x)=0$ pertanto $f_Y(y)$ avrà un impulso in zero la cui ampiezza è data da $int_(-infty)^(-1)f_X(x)dx$
ma in tale intervallo $f_X(x)$ è nulla perciò non ho impulsi.
se $-1<=x<0$ $g(x)=2x+2$
per cui sarebbe,se $0<=y<2$,$f_Y(y)=[(f_X(x))/|g^{\prime}(x)|]_(x=(y-2)/2)$ ma in tale intervallo la densità di probabilità di $X$ è nulla per cui anche in questo caso ho $f_Y(y)=0$
se $0<=x<1$,$g(x)=1-x$ per cui $f_Y(y)=[(f_X(x))/|g^{\prime}(x)|]_(x=1-y)=e^(-(1-y)),0<=y<1
infine se $x>=1$ ho un impulso in zero dato da $f_Y(y)=delta(y)*int_1^(+infty)e^(-x)dx=1/e*delta(y)$

è corretto?
Spero di si

[elgiovo]

Argh! E' il primo esercizio che fai sulle funzioni di una v.a., vero (o almeno uno dei primi)?

I) $y<0$ $to$ $f_Y(y)=0$, dal momento che non ci sono soluzioni inverse di $y=g(x)$.

II) $y=0$: ci sono infinite soluzioni inverse di $y=g(x)$. $f_Y(y)=delta(y)(int_(-oo)^(-1)f_X(x)dx+int_(1)^(oo)f_X(x)dx)=1/e delta(y)$.

III) $0
IV) $1
V) $y>2$ $to$ $f_Y(y)=0$ (vedi punto I).

Saluti.

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":Argh! E' il primo esercizio che fai sulle funzioni di una v.a., vero (o almeno uno dei primi)?

I) $y<0$ $to$ $f_Y(y)=0$, dal momento che non ci sono soluzioni inverse di $y=g(x)$.

II) $y=0$: ci sono infinite soluzioni inverse di $y=g(x)$. $f_Y(y)=delta(y)(int_(-oo)^(-1)f_X(x)dx+int_(1)^(oo)f_X(x)dx)=1/e delta(y)$.

III) $0
IV) $1
V) $y>2$ $to$ $f_Y(y)=0$ (vedi punto I).

Saluti.

ma se in $-1<=x<0$ $f_X(x)=0$ perchè devo considerare la soluzione $x_1=(y-2)/2$?

[codino75]

"elgiovo":[quote="codino75"]$P_Y(0)=$ area sottesa da $f_X(x)$ per x<-1 e per x>1

E' $f_Y(0)=delta(y)$ $cdot$ area sottesa ecc. ecc.[/quote]

infatti io ho scritto $P_Y(0)$, intendendo la probabilita' che Y assuma valore =0
avrei dovuto meglio scrivere: $P(Y=0)

[elgiovo]

"codino75":[quote="elgiovo"][quote="codino75"]$P_Y(0)=$ area sottesa da $f_X(x)$ per x<-1 e per x>1

E' $f_Y(0)=delta(y)$ $cdot$ area sottesa ecc. ecc.[/quote]

infatti io ho scritto $P_Y(0)$, intendendo la probabilita' che Y assuma valore =0
avrei dovuto meglio scrivere: $P(Y=0)[/quote]

Ok, avevo interpretato male

[elgiovo]

@ Ene@: ti chiedo di scusarmi perchè col mio paraocchi non mi ero reso conto che la tua soluzione è corretta.
Sono abituato a risolvere questi esercizi in altro modo, e in apparenza il mio risultato era diverso dal tuo. Non me ne volere
Buonanotte.

[Sk_Anonymous]

"elgiovo":@ Ene@: ti chiedo di scusarmi perchè col mio paraocchi non mi ero reso conto che la tua soluzione è corretta.
Sono abituato a risolvere questi esercizi in altro modo, e in apparenza il mio risultato era diverso dal tuo. Non me ne volere
Buonanotte.

Figurati!
Grazie mille