Trasformata di Mgf di Poisson

[totore88]

salve a tutti, sono nuovo del forum e scrivo perchè martedì prox ho la discussione dell'esame scritto che ho fatto ieri.
qll ke nn ho prprio capito cm svolgere è l'esercizio che chiede: "SI FORMULI (senza risolvere) LA FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI DEL QUADRATO DELLA V.A DI POISSON DI PARAMETRO $mu$?
io personalmente ho provato a risolverlo in 2 differenti modi secondo me entrambi sbagliati:
1) ponendo $Y=X^2$ => $∅_Y (t)=∅_(X^2) (t)$ con $∅_X=e^mu(e^t -1)$
ho calcolato $f_Y(y)=f_X(x)*(dx/dy)$ e ho applicato la definizione di speranza matematica:
$∅_Y (t)=E{e^yt}=∑_0^∞e^(yt) * e^(y^(1/2))/(y/2!)*e^-mu * 1/2y^(-1/2)$

2) essendo $∅_X=e^(mu(e^t -1))$ sfruttando Riproducibilità (?) => $∅_Y (t)=e^(mu(e^t -1)^2)$

spero di aver rispettato le regole del forum e ke qlcn di buon cuore possa aiutarmi

[Lo_zio_Tom]

non ti chiede di risolverla ma semplicemente di formulare la fgm della variabile in questione, in base alla definizione (che poi è semplicemente la definzione di una media)

Hai infranto qualche regola? Sì, questa:

3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. ..Non sono consentite parole abbreviate. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema.

(qundi a maggior ragione non sono consentite abbreviazione stile SMS e simili)


saluti

[totore88]

chiedendo scusa per le abbreviazioni, potresti dirmi esplicitamente quale sarebbe stata, secondo te, la risposta del quesito???

[totore88]

inoltre, visto che all'orale discutiamo il compito, sapreste dirmi se in quello che ho scritto ci sono errori (penso di si), quali e darmi una motivazione in modo che possa andare preparato a qualche domanda del prof.?
grazie infinite per l'attenzione!

[Lo_zio_Tom]

"totore88":"SI FORMULI (senza risolvere) LA FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI DEL QUADRATO DELLA V.A DI POISSON DI PARAMETRO $mu$

quindi ti chiede di dare la definizione di FGM, ovvero questa:

$G_(X^2)(t)=E[e^(tX^2)]$

ora, ricordando che, nel caso discreto, se $Y=g(X)$,

$E[Y]=sum_y yp(y)=sum_x g(x)p(x)$

Utilizzando la distribzione di $X$ ottieni subito


$G_(X^2)(t)=E[e^(tX^2)]=sum_x( e^(tx^2)mu^xe^(-mu))/(x!)$

fine

La proprietà di riproducibilità? Dice che la somma di $n $ $Po (theta ) $ iid è ancora una $Po (ntheta) $ e quindi non vedo come tu possa utilizzarla qui

Se vuoi calcolare la fgm utilizzando $f (y) $ la devi calcolare correttamente, come hai fatto tu è sbagliato.

"totore88":
ho calcolato $f_Y(y)=f_X(x)*(dx/dy)$

a parte il fatto che la formula è già sbagliata di suo, essendo invece $f_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]|d/(dy)g^(-1)|$ ma c'è un piccolo "dettaglio" da considerare: La di distribuzione di Poisson è discreta!

$f_Y (y)=P(Y=y)=P(X^2=y)=P(X=sqrt(y))=(e^(-lambda)lambda^sqrt (y))/(sqrt (y)!) $. Inoltre per definire una media a questo punto devi considerare che il dominio è $y=0,1,4,9.... $. In definitiva non mi pare una buona idea.

PS: l'articolo 3.4 del regolamento vieta di "uppare" un argomento se non almeno dopo 24 ore dalla domanda posta. Tale dvieto si estende implicitamente (e a maggior ragione) anche ai solleciti via PM.