TLC e Poisson

[frons79]

Siano $X_1, X_2, \... , X_100$ variabili aleatorie i.i.d. ognuna distribuita secondo una Poisson di parametro $\lamda=4$ e sia $S=X_1+ \... + X_100$.
Tenendo conto del Teorema del Limite Centrale calcolare la seguente probabilità: $P(S \leq 390)$

(Si tenga conto che alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z sono i seguenti: $z_0.69 = 0.5$, $z_0.955 = 1.695$, $z_0.965 = 1.812$, $z_0.975 = 1.96$, $z_0.985 = 2.17$, $z_0.99 = 2.326$, $z_0.995 = 2.576$).
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Su questo non ho proprio alcun bagliore di idee su come si possa svolgere
Grazie a tutti coloro che sapranno illuminarmi

[Lo_zio_Tom]

ti sta semplicemente dicendo che, dato che il campione è grande, puoi utilizzare la distribuzione normale per il calcolo richiesto....e ciò grazie al TLC

[frons79]

"tommik":ti sta semplicemente dicendo che, dato che il campione è grande, puoi utilizzare la distribuzione normale per il calcolo richiesto....e ciò grazie al TLC

Si ma la mia questione era come procedere operativamente per passare dalla distribuzione di Poisson del testo a una Normale standardizzata.
All'inizio avevo pensato alla formula, generale per la standardizzazione di una distribuzione, tipo:
\[
Z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
\]
sostituendovi ciò che già so, cioè media e varianza che sono uguali a $\lamda$, ma per media e dimensione del campione?

[Lo_zio_Tom]

boh....sinceramente non capisco quale difficoltà trovi......forse non conosci il TLC

il TLC dice che:

Sia ${X_(n}$ una successione di va iid con varianza finita e non nulla (ok, nel nostro caso sono poisson con varianza $lambda=4$)

Allora la successione

$Z_(n)=(sum_(i)x_(i)-nmu)/(sigmasqrt(n))$

converge in legge alla CDF Z (normale standard)


quindi sostituendo abbiamo che

$(S-400)/(2\cdot10)=Z$


quindi basta fare $(390-400)/20=-0,5$ ed andare a leggere il risultato fra i quantili proposti (il primo)

[frons79]

"tommik":boh....sinceramente non capisco quale difficoltà trovi......forse non conosci il TLC

il TLC dice che:

Sia ${X_(n}$ una successione di va iid con varianza finita e non nulla (ok, nel nostro caso sono poisson con varianza $lambda=4$)

Allora la successione

$Z_(n)=(sum_(i)x_(i)-nmu)/(sigmasqrt(n))$

converge in legge alla CDF Z (normale standard)


quindi sostituendo abbiamo che

$(S-400)/(2\cdot10)=Z$


quindi basta fare $(390-400)/20=-0,5$ ed andare a leggere il risultato fra i quantili proposti (il primo)

Grazie mille in realtà era quello che avevo provato a fare anche io all'inizio, solo che avevo sbagliato a scrivere la formula, e quindi il risultato non compariva tra i quantili proposti mandandomi in panico, facendomi scartare il ragionamento

[Lo_zio_Tom]

quindi il risultato cercato è......?

[frons79]

"tommik":quindi il risultato cercato è......?

Dai quantili proposti nel testo è 69%

[Lo_zio_Tom]

"frons79":[quote="tommik"]quindi il risultato cercato è......?

Dai quantili proposti nel testo è 69%[/quote]

non penso proprio

[frons79]

scusa, $1-p(Z \leq 0.5)$

[Lo_zio_Tom]

vorrei sapere il risultato non come ci si arriva..anche perché si fa a mente senza tanti conti...(sì comunque ora è giusto)...prima ho visto una formula sbagliata (o ho visto male io ho l'hai corretta)

[frons79]

"tommik":vorrei sapere il risultato non come ci si arriva..anche perché si fa a mente senza tanti conti...(sì comunque ora è giusto)...prima ho visto una formula sbagliata (o ho visto male io ho l'hai corretta)

No era proprio scritta male la formula dall'inizio.