Test d'ipotesi
ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizio:
una ditta produce CD e li garantisce al 99% (ovvero acquistando un CD a caso nel 99% dei casi non è difettoso). noi ne acquistiamo 500 CD e ne troviamo 7 difettosi. siamo stati truffati?
a) scegliere un modello statistico ed un'ipotesi nulla opportuna per giudicare se c'è truffa oppure no.
b) impostare ed eseguire un test al livello $\alpha = 0.02$ che consente al giudice di emettere un verdetto.
c) fino a che livello il giudice emette lo stesso verdetto?
sol: il primo punto l'ho risolto cosi:
risolvo l'esercizio con il test d'ipotesi scegliendo come:
$H_0$ (ipotesi nulla): non c'è truffa
$H_1$ (ipotesi alternativa): c'è truffa
b) io userei il test per popolazioni bernulliane e quindi usando la formula $Z_n= (X-po)*(frac{po(1-po)}{n})^(-1/2)$ dove n=500, X indica la media campionaria e po è un valore compreso tra 0,1. non so come andare avanti ma soprattutto se quello che sto facendo abbia un senso.
ringrazio in anticipo per la risposta, buona giornata
una ditta produce CD e li garantisce al 99% (ovvero acquistando un CD a caso nel 99% dei casi non è difettoso). noi ne acquistiamo 500 CD e ne troviamo 7 difettosi. siamo stati truffati?
a) scegliere un modello statistico ed un'ipotesi nulla opportuna per giudicare se c'è truffa oppure no.
b) impostare ed eseguire un test al livello $\alpha = 0.02$ che consente al giudice di emettere un verdetto.
c) fino a che livello il giudice emette lo stesso verdetto?
sol: il primo punto l'ho risolto cosi:
risolvo l'esercizio con il test d'ipotesi scegliendo come:
$H_0$ (ipotesi nulla): non c'è truffa
$H_1$ (ipotesi alternativa): c'è truffa
b) io userei il test per popolazioni bernulliane e quindi usando la formula $Z_n= (X-po)*(frac{po(1-po)}{n})^(-1/2)$ dove n=500, X indica la media campionaria e po è un valore compreso tra 0,1. non so come andare avanti ma soprattutto se quello che sto facendo abbia un senso.
ringrazio in anticipo per la risposta, buona giornata
Risposte
più o meno...[strike].c'è un errore nella Statistica test[/strike] EDIT: non avevo letto che con $X$ intendevi la media campionaria....puoi scrivere bar(x) fra i simboli del dollaro, ma meglio ancora bar(p) essendo una media sulla proporzione
Il modello scelto e la statistica sono corretti. In pratica stai applicando una nota proprietà degli stimatori di massima verosimiglianza che afferma che tali stimatori sono asintoticamente normali di media pari alla media della popolazione e di varianza pari al membro di destra della disuguaglianza di Cramér Rao
e poi devi definire il sistema di ipotesi in numeri.....per il resto ok
${{: ( H_0: p_0=0.01 ),(H_1: p_1>0.01 ) :}$
così si capisce cosa vuoi andare a provare: un test sulla proporzione unilaterale.
La statistica test è questa:
$(bar(p)-p_0)/sqrt((p_0(1-p_0))/n)~N(0;1)$
ora puoi sostituire i dati del problema e guardare le tavole....come hai scritto tu il sistema come fai a sapere se devi escludere solo una coda (quella di destra, in questo caso ) o entrambe?
Quindi ti basta sostituire i dati per ottenere la seguente statistica
$(0.014-0.01)/sqrt((0.01*0.99)/500)=0.8989$
tale valore dà un P-value di circa 18.4% quindi la conclusione è che non siamo stati truffati.
c) applichi la formula inversa concludendo che il giudice emette lo stesso verdetto di "non truffa" fino a 9 cd danneggiati (P-value 3.6%) mentre rifiuta l'ipotesi di lavoro da 10 cd danneggiati (P.value=1.2%) in su.
Il modello scelto e la statistica sono corretti. In pratica stai applicando una nota proprietà degli stimatori di massima verosimiglianza che afferma che tali stimatori sono asintoticamente normali di media pari alla media della popolazione e di varianza pari al membro di destra della disuguaglianza di Cramér Rao
e poi devi definire il sistema di ipotesi in numeri.....per il resto ok
${{: ( H_0: p_0=0.01 ),(H_1: p_1>0.01 ) :}$
così si capisce cosa vuoi andare a provare: un test sulla proporzione unilaterale.
La statistica test è questa:
$(bar(p)-p_0)/sqrt((p_0(1-p_0))/n)~N(0;1)$
ora puoi sostituire i dati del problema e guardare le tavole....come hai scritto tu il sistema come fai a sapere se devi escludere solo una coda (quella di destra, in questo caso ) o entrambe?
Quindi ti basta sostituire i dati per ottenere la seguente statistica
$(0.014-0.01)/sqrt((0.01*0.99)/500)=0.8989$
tale valore dà un P-value di circa 18.4% quindi la conclusione è che non siamo stati truffati.
c) applichi la formula inversa concludendo che il giudice emette lo stesso verdetto di "non truffa" fino a 9 cd danneggiati (P-value 3.6%) mentre rifiuta l'ipotesi di lavoro da 10 cd danneggiati (P.value=1.2%) in su.
grazie mille!!! sei stato chiarissimo!!
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